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A卷2015年高二下期末考数学(理科)答案


仙游一中 2014—2015 学年度下学期期末考试

高二数学(理科)(A 卷)试卷答案与评分标准
一.选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1 D

2 B

3 C

4 D

5 A

6 A

/>
7 B

8 C

9 A

10 B

11 D

12 C

二.填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. _100_______.14. ?3 15. __0__.16._①②③④__

解析: 5. ln c ? ? , ln d ? e ln ? 。

设 f ( x) ? e ln x ? x ,由 f ( x ) 在 ? 0 , e? 上为增函数,在 ?e , ? ?? 上为减函数, 得 f (? ) ? f (e) ,于是 f (? ) ? e ln ? ? ? ? f (e) ? e ln e ? e ? 0 。 ∴

e ln ? ? ? ,即 ln d ? ln c ,于是 d ? c , ? e ? e ? 。 e e ? ? 又显然, a ? e ? ? ? d , c ? e ? ? ? b 。于是, a ? d ? c ? b 。 2 C4 3 ? 9. P ? B A ? ? 4 2 8
11. 先考虑 DEF 的涂色再考虑 ABC 的涂色。分类考虑问题,若只用 3 种颜色,涂色方案有
3 3 4 3 1 C5 A3 ? 2 ? 120 种,若只用 4 种颜色,涂色方案有 C5 A4 C3 ? 3 ? 1080 种,若用 5 种颜色, 3 2 涂色方案有 A5 A3 ? 2 ? 720 种.所以所求的概率为 P ?

1080 108 9 ? ? 120 ? 1080 ? 720 192 16

12. 由条件知 b ? 6ln a ? 2a , d ? 2c ? 6 ,令 y1 ? 6ln x ? 2x2 , y2 ? 2x ? 6 ,
2

则 令 y1 ?
/

6 3 ? 4x ? 2 得 x ? 1 或 x ? ? ( 舍 去 ) , 此 时 y1 ? ?2 所 以 x 2

m?

2? 1 ? ? ( ?2 ) 6 ? 2 5 ,所以 m ? 20 ,以下解答略。 5

11 2 11 15.令 t ? x ? 1 ,则 x ? t ? 1 ,从而 (2t ?1) ? a0 ? a1t ? a2t ? L a11t



?? ? (2t ? 1)12 ?? ? a1t 2 a2t 3 a11t12 ? a t ? ? ? L ? C ? ? 24 ? ? 0 2 3 12 ? ? ? ?

a t2 a t3 a t12 (2t ? 1)12 ? a0t ? 1 ? 2 ? L 11 ? C 24 2 3 12 a a a 1 令t ? 0得C ? ,令 t ? 1 得 a0 + 1 + 2 +? + 11 = 0 24 2 3 12

?x ?2 x ?2 x ' 知存在常数 C 使得 f ( x)e? x ? xe?2 x ? C , 16. f ( x)e ' ? ?1 ? 2 x ? e ? xe

?

?

?

?

由 f ? 0? ? 0 得 C ? 0 所以 f ( x) ? xe , f '( x) ? ?1 ? x ? e? x ,
?x

可得 f ( x ) 在 (??,1) 单调增,在 (1, ??) 单调减,因此有极大值,没有极小值,①正确;

x )在 (??, 2) 单 调 减 , 在 (2, ??) 单 调 增 , 其 中 f ''( x) ? ? x ? 2? e? x 可 知 f ' ( 1 x ? ??, f '( x) ? 0 ,且 f '( x) ? 0 ,大致图像如上图,最小值 f '(2) ? ? 2 ,所以②正确; e 由图像可知在 (2, ??) , f ''( x) ? 0 ,原函数 f ( x ) 为下凸函数,故③正确; a b f (a) ? a ? b ? f (b) ,若 a ? b ,可知 a ? 1 ? b ,所以1 ? ea ? e ,由 ea ? Z 知 ea ? 2 , e e a b ln 2 n 2 b a ? ln 2 所以 a ? b ? ,设 e ? n 则 2 ? n ,因此 n ? 4, b ? ln 4 (舍去 n ? 2 ),同 e e 2 理 a ? b 时, b ? ln 2, a ? ln 4 ,共计两组解,故④正确

三.解答题(本大题有 6 小题,共 70 分,写出必要的计算和证明过程)
17.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)
1 C4 ? 2 4? 2 1 ? ? . …………………… 4 分 4 A4 24 3 (Ⅱ) X 的所有可能取值为: ?8 , ?1 , 6 , 20 . ……………………

6分

P( X ? ?8) ?

1 9 9 C4 ?2 1 , ? P ( X ? ? 1) ? ? , 4 4 A4 24 A4 3

P( X ? 6) ?
X
P
-8

2 C4 6 , ? 4 A4 24

P( X ? 20) ?
20

1 1 , ? 4 A4 24

-1

6

3 8

1 3

1 4

1 24
…………………… 10 分 12 分 ……………………

且 EX ? ?3 ?

1 3 5 ? ? ? ?1 . 3 2 6

18.(本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分) 已知点 P (c,

3 x2 y 2 c ) 在以 F (c, 0) 为右焦点的椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上,斜率为 1 的直 2 a b

线 m 过点 F 与椭圆 ? 交于 A,B 两点,且与直线 l : x ? 4c 交于点 M . (Ⅰ) 求椭圆 ? 的离心率 e ; (Ⅱ) 试判断直线 PA , PM , PB 的斜率是否成等差数列?若成 等差数列,给出证明;若不成等差数列,请说明理由. 解: (Ⅰ) 因为点 P (c,
4

3 x2 y 2 c 2 9c 2 c ) 在椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1 上, 所以 2 ? 2 ? 1 . a 4b 2 a b
2 2 4 4 2

整理得, 4a ? 17a c ? 4c ? 0 ,即 4e ? 17e ? 4 ? 0 , 解得 e ?

1 1 或 e ? 2 (舍),所以离心率 e ? . 2 2

……………………4 分

(Ⅱ)直线 PA , PM , PB 的斜率成等差数列,证明如下: 由(Ⅰ)知, a ? 2c, b ? 3c ,∴椭圆 E : 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 直线 m 的方程为 y ? x ? c .代入椭圆方程并整理, 得 7 x ? 8cx ? 8c ? 0 .
2 2

……………………5 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 PA , PM , PB 的斜率分别为 k1,k2,k3,

8c 8c 2 则有 x1 ? x2 ? . , x1 ? x2 ? ? 7 7 可知 M 的坐标为 (4c,3c) .

……………………7 分

3 3 7 y1 ? c y2 ? c 2 x1 x2 ? c( x1 ? x2 ) ? 5c 2 2 2 2 所以 k1 ? k3 ? ? ? ?1 x1 ? c x2 ? c x1 x2 ? c( x1 ? x2 ) ? c 2 3 2( c ? 3c) 2k 2 ? 2 ?1, ……………………11 分 c ? 4c ∴ k1 ? k3 ? 2k2 .
故直线 PA , PM , PB 的斜率成等差数列. 20.(本小题满分 12 分) ……………………12 分

* 2 2 * 解:(Ⅰ)第 n n ? N 个等式是 f n ? f n ?1 ? f 2 n ?1 , n ? N ;……………………3 分

?

?

?

?

f f f2 f f f f f ? 1, 4 ? 3, 6 ? 4, 8 ? 7, 即 2 , 4 , 6 , 8 分别是 ?ln ? 中的第 1,2,3,4 项 f1 f 2 f3 f 4 f1 f2 f3 f4 f * 由此归纳出一个结论是:对任意 n ? N 均有 2 n ? ln .……………………………5 分 fn
(Ⅱ)

下面我们用数学归纳法证明对任意 n ? N 均有
*

f2n ? ln 和 fn2 ? fn2?1 ? f 2n?1 fn

f2 ? 1 ? l1 , f12 ? f 22 ? f3 ,等式成立;………………6 分 f1 f * (2)假设当 n ? k ? k ? N ? , 时,等式成立,即 2 k ? lk 且 f k2 ? f k2 ?1 ? f 2 k ?1 ………7 分 fk
证明:(1)当 n ? 1 时,
2 则当 n ? k ? 1 时 f2k ?2 ? f2k ?1 ? f2k ? fk2 ? fk2 ?1 ? f k lk ? f k ?1 ? f k ?lk ? f k ?

因为当 k ? 1 时 f1 ? l1 ? 2 ? 2 f 2 ,当 k ? 2 时 f k ? lk ? fk ? fk ?1 ? f k ?1 ? f k ?1 ? f k ?1 ? 2 f k ?1 所以

f2k ?2 ? fk2?1 ? fk ?lk ? fk ? ? fk2?1 ? 2 fk fk ?1 ? fk ?1 ? fk ?1 ? 2 fk ? ? fk ?1 ? fk ?2 ? fk ? ? fk ?1lk ?1 f 即 2 k ? 2 ? lk ?1 f k ?1
2 2 2 2 2 2 所以 f k ?1 ? f k ? 2 ? f k ?1 ? ? f k ?1 ? f k ? ? f k ?1 ? 2 f k f k ?1 ? f k ?1 ? f k ? f 2 k ? 2 ? f 2 k ?1 ? f 2 k ?3 2

所以,当 n ? k ? 1 时,等式也成立;………………………………………………………11 分 综上,由(1)、(2)知,对任意 n ? N 均有
*

f2n ? ln 和 fn2 ? fn2?1 ? f 2n?1 .………12 分 fn

21.(本小题满分 12 分)

? ? a ?? ?1? ?1 ? a ln x ? ? x ? 0 ? x ? ? ? x ? 1? ? x ?1 ? a ln x ? ?1 ax ? a ln x ? a ? 1 ? ?? ? ' ? 解:(Ⅰ) f ? x ? ? ,……1 分 2 2 ? x ? 1? ? x ? 1?
令 g ? x ? ? ax ? a ln x ? a ?1,

a a ? x ? 1? ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增; x x (Ⅱ) a ? 1 时 g ? x ? ? x ? ln x ? 2 ,
a ? 0 时 g' ? x? ? a ?

a ? 0 时 g ? x ? ? ?1 为常函数,不具有单调性。

………2 分 ………3 分

e e2 g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? 2 ? ln ? 0 , g ? 4 ? ? 4 ? ln 4 ? 2 ? ln ? 0 , 3 4 设 g ? b ? ? 0 ,则 b ? ? 3, 4 ? 。
g ( x) ? 0 ,
所以当 x ? ?1, b ? 时, f

………4 分

因为此时 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增可知当 x ? ?1, b ? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ?b, ??? 时,

b ?1 ? g ?b? ? 0 ,? b ? ln b ? 2 ? 0 ,即 ln b ? b ? 2 ,
所以 f ? b ? ? b , ?b ??3,4? ,? f ?b? ? ?3,4? ,

? x ? ? 0 ;当 x ??b, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 , b ?1 ? ln b ? 当 x ? b 时, f ? x ?min ? f ? b ? ? ,
'

……6 分

? n ? 3 ,故正整数 n 的值为 1、2 或 3。

x ?1 ? ln x ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, f ? x ? ? 3 恒成立,即 ? 3, x ?1 3 ? x ? 1? 3 ? x ? 1? 2x ? 3 3 ?1 ? ? 2 ? ? x ? 1? , , ln x ? 1 ? ln x ? x x x x 令 x ? 1 ? n ? n ? 1?
, 得 ln ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? ? 2?

………8 分

3 3 1 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 3? ? ? …12 分 n ? n ? 1? ? 1 n ? n ? 1? ? n n ?1 ?

则 ln ?1 ? 1? 2? ? ln3 ( n ? 1 暂时不放缩)

? 1 1? ln ?1 ? 2 ? 3? ? 2 ? 3 ? ? ? , ......... ..., ? 2 3? 1 ? ?1 ln ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? ? 2 ? 3? n ? n ?1 ? . ? ? 以上 n 个式子相加得:
1 ? ?1 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ln ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? ? ln 3 ? 2 ? n ? 1? ? 3 ? 2 ? n ? 1 ? ? ? 7 3 5 3 5 ? ln e ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n ?1 2 n ?1 2
所以 ln ?1 ? 1? 2? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? ? 2n ? 即 ?1 ? 1? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1?? ??e
2n? 5 2

?

?

5 , 2
……………………………12 分



(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

已知:如图,P 是⊙O 的直径 AB 延长线上的一点, 割线 PCD 交⊙O 于 C、D 两点,弦 DF 与直径 AB 垂 直,H 为垂足,CF 与 AB 交于点 E.
(Ⅰ)若 OB=4,AD=

,求线段 DF 的长.

(Ⅱ)求证:PA·PB=PO·PE; 【答案】 (Ⅰ) 在直角△ABD 中,AD2=AH?AB,即 8=8AH,所以 AH=1,BH=7,又 DH2=AH?HB,

即 DH2=7,所以 DF=
(Ⅱ)证明:连接 OD.

.………5 分

∵AB 是⊙O 的直径,弦 DF 与直径 AB 垂直, H 为垂足,C 在⊙O 上, ∴∠DOA=∠DCF,∴∠POD=∠PCE. 又∵∠DPO=∠EPC,∴△PDO∽△PEC,

PD PO 即 PD·PC=PO·PE. ? PE PC 由割线定理得 PA·PB=PD·PC,∴PA·PB=PO·PE. ……………10 分



(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1 : 圆 C2 :? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, x = ? 2,
2 2

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(Ⅰ)求

C1 , C2 的极坐标方程;

(Ⅱ) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积

?
4

设 C2 与 C3 的交点为 M , N ? ? ? R? ,

,求 ?C2 MN 的

【答案】(Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程为

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .……………………………………………5 分
(Ⅱ)将 ? =
2 ? 代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 4

?1 = 2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = .……………10 分 2 2

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a , b 为实数,且 a ? 0, b ? 0 , (Ⅰ)求证: (a ? b ? )(a ?
2

1 a

1 1 ? ) ?9; b a2

(Ⅱ)求 (5 ? 2a)2 ? 4b2 ? (a ? b)2 的最小值。 【答案】(Ⅰ)证明:因为 a ? 0, b ? 0 ,所以



同理可证 由①,②结合不等式的性质得



……………………………5 分
2 2 2 2 2 2 (Ⅱ) ? ?(5 ? 2a) ? 4b ? (a ? b) ? ?? ?1 ? 1 ? 2 ? ? ? ?(5 ? 2a) ?1 ? 2b ?1 ? ( a ? b) ? 2 ? , 2

所以 (5 ? 2a ) ? 4b ? ( a ? b) ?
2 2 2

25 , 6

5 ? 2a 2b a ? b 25 5 ? ? ,b ? , 时取等号,解得 a ? 1 1 2 12 12 25 5 25 , b ? 时, (5 ? 2a)2 ? 4b2 ? (a ? b)2 取最小值 。 所以当 a ? 12 12 6
当且仅当 …………………………………………10 分


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