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吉林省扶余一中2010届高三上学期第三次月考数学试题(理科)


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吉林省扶余县第一中学 2009--2010 学年度上学期第三次月考试题 数 学(理科)
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,只交答题纸和 答题卡,试题自己保留。

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
注意事项 1.答题前,考生在答题纸和答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的班级、 姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的。
2 1.若空集 ?是 x x ? a, a ? R 的真子集, 则实数 a 的取值范围是

?

?

A.

?0, ???
1 ) 2

B.

?0, ???
1 2x ? 1

C.

? ??,0?
1 1 (x ? ) 2x ? 1 2

D.

? ??,0?
1 | 2x ? 1

2. 与函数 y ? 0.1lg(2 x?1) 的图象相同的函数是 A. y ? 2 x ? 1 ( x ? B. y ? C. y ? D. y ?|

3. 设 f , g 都是由 A 到 B 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 映射 f 的对应法则是表 1 原象 象 映射 g 的对应法则是表 2 原象 象 则与 f [ g (1)] 相同的是 A. g[ f (1)] B. g[ f (2)] C. g[ f (3)] D. g[ f (4)] 1 4 1 3 2 4 3 2 4 1

2 3

3 1

4 2

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4. 对 a、b ? R, 记 max?a,b? ? ? 的最小值是 A. ? 1 5. 已 知 函 数 B.

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?a,a ? b ,函数 f ( x) ? max?sin x, cos x?( x ? R) ?b,a ? b

2 2

C. ?

2 2

D.1

f ( x) ? ( x ? a)( x? b)( 其 中 a ? b ) 的 图 象 如 下 面 右 图 所 示,则 函 数
f(x) -1 0 y

g ( x) ? a x ? b 的图象是

1 x

A.

B.

C.

D.

6. 若 偶 函 数 f ?x ? ? x ? R ? 满 足 f ?x ? 2? ? f ?x ? 且 x ? ?0,1? 时 , f ?x ? ? x, 则 方 程

f ?x ? ? l o 3 g x 的根的个数是
A. 4 个 个 7. 条件 p : A.充要条件 条件 B. 5 个 C. 6 个 D. 多于 6

? ? ? ? ? ,条件 q : f ( x) ? logtan? x 在 (0,??) 内是增函数,则 p 是 q 的 4 2
B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

8. 已知向量 a ? (1 ? sin ? ,1) , b ? ( ,1 ? sin ? ) ,若 a ∥ b ,则锐角 ? 等于 A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 75 ?

1 2

9. 已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 , a ? 1 , a ? 4 ,则 an ? A.4 ? ? ?

?3? ?2?

n

B.4 ? ? ?

?2? ?3?

n

C.4 ? ?

?3? ? ?2?

n ?1

D.4 ? ?

?2? ? ?3?

n ?1

10. 若数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? a n ? 1 ( a ? R ,且 a ? 0 ),则此数列是 A.等差数列 数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D. 既不是等差数列,也不是等比

11. 数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ? n(an?1 ? an ) ,则数列 ?an ?的通项 an ? A. 2n ? 1
2 B. n

C. (

n ? 1 n ?1 ) n

D.

n

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12. 数列 ?an ?中, an ? A. 2008

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1 2009 ,若 ?an ?的前 n 项和为 ,则项数 n 为 2010 n(n ? 1)
B. 2009 C.

2010

D. 2011

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:(大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13. 定义集合运算: A ? B ? z ? x y ? xy , x ? A, y ? B ,设集合 A ? ? 1,0?, B ? ?2,3?,则
2 2

?

?

集合 A ? B 的所有元素之和为

14. 设 y ? f ( x) 是 一 次 函 数 , 若 f ? 0? ? 1 且 f ?1? , f ? 4? , f ?13? 成 等 比 数 列 , 则

f ? 2? ? f ? 4? ??? f ? 2n? ?
15. 已知函数 f ( x) ?

3x ? 2 1 1 2 2009 ( x ? ) ,求 f ( )? f( ) ??? f ( ) 的值 2x ? 1 2 2010 2010 2010
2

16. 设函数 f ?x ? ? x ? 1 ?x ? a ? 为奇函数,则 a ? ___________ 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17. (本小题满分 10 分) 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? a) ,若 f ' (?1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在 [ ?
2

?

?

3 ,1] 2

上的最大值和最小值。 18.(本题满分 12 分) 已知向量 a = (sin? ,1) , b = (1, cos? ) , ? ⑴ 若 a ⊥ b ,求 ? ; ⑵ 求| a + b |的最大值. 19.(本题满分 12 分) 设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . ⑴ 求 y ? f ( x) 的表达式; ⑵ 求 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 20.(本题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 .

?
2

?? ?

?
2



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⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式;

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⑵ 若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 bn ,设 Tn ? b1b2 ?bn ,且 Tn ? 1 ,求 n 的值. 21.(本题满分 12 分) 设向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (sin x, 3sin x) , x ? R ,函数 f ( x) = a ? ( a + b ). ⑴ 求函数 f ( x ) 的最大值与单调递增区间; ⑵ 求使不等式 f ?( x) ? 2 成立的 x 的取值集合.

22.(本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). ⑴ 证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; ⑵ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶ 若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.

参考答案
1~12 13. 18


BCACA ABBCC DB 14. n(2n ? 3)
3 2

15. 3012

16. 0
2

17.解:∵ f (?1) ? 0,由f ( x) ? x ? ax ? x ? a, f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 ,

? 3 ? 2a ? 1 ? 0, a ? 2,

………………………………………………………3 分 ………………………………………………………4 分 得:

? f ?( x) ? 3x 2 ? 4x ? 1
1 由f ?( x) ? 3( x ? )( x ? 1) 3

当 f ?( x ) ? 0时, x ? ?1或x ? ?

1 3

……………………………………………5 分

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?1 ? x ? ? 当 f ?( x) ? 0时,
因此, f ( x) 在区间 [ ? 且

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1 3

…………………………………………………6 分

f ( x) 极大值

3 1 1 ,?1]和[? ,1] 内单调递增,而在 [ ?1,? ] 内单调递减, 2 3 3 1 50 3 13 ? f (?1) ? 2, f ( x) 极小值 ? f (? ) ? f (? ) ? 又 3 27 2 8

50 13 , ? 27 8 3 3 13 ? f ( x)在[? ,1]上的最大值 f (1) ? 6, 最小值 f (? ) ? ,………………….…10 分 2 2 8 f (1) ? 6, 且
18. 解:(1)若 a⊥b,则 sinθ+cosθ=0, 由此得 tanθ=-1( ? 所以 θ= ? ……………………….. 2 分

?
2

?? ?

?
2

),

?
4



…………………………………………………….. 6 分

(2)由 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),得 |a+b|= (sinθ+1)2+(1+cosθ)2= 3+2(sinθ+cosθ) = π 3+2 2sin(θ+ ), …………………………………10 分 4

π 当 sin(θ+ )=1 时,|a+b|取得最大值, 4 π 即当 θ= 时,|a+b|最大值为 2+1.……………………………… 12 分 4 19. 解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c,则 f′(x)=2ax+b,…………..…2 分理 又已知 f′(x)=2x+2 ∴a=1,b=2. …………………………....4 分理 2 ∴f(x)=x +2x+c 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式Δ =4-4c=0,即 c=1 2 故 f(x)=x +2x+1. ……………………………………………………..6 分理 (2)依题意,有所求面积=

?

0 ?1

1 1 ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ( x 3 ? x 2 ? x) |0 …..12 分理 ?1 ? 3 3
? a1 ? d ? ?20 ?? 2 分, ? 2a1 ? 8d ? ?28

20. 解:⑴设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

解得 ?

?a1 ? ?22 ?? 4 分 d ? 2 ?

?an ? ?22 ? 2(n ?1) ? 2n ? 24??6 分
⑵?log2 bn ? 2n ? 24?bn ? 22n?24 ?? 8 分

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?Tn ? b1b2 ?bn ? 22(1?2???n)?24n ? 2n( n?1)?24n ??10 分
令 n(n ? 1) ? 24n ? 0 ,得 n ? 23 ∴当 n ? 23 时, Tn ? 1?? 12 分 21. 解 : (1)

f ( x) ? a? (a ? 2b) ? a 2 ? 2a? b ? sin2 x ? cos2 x ? 2(sin2 x ? 3sin x cos x)

3 1 ? cos 2 x ? ) 2 2 ? ? ? ? 2 ? 2(sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ………………………….……3 分 6 6 6 ? ∴当 sin(2 x ? ) ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 4 …………………………………………….4 分 6 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) , 2 6 2 6 3 ? ? ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ] (k ? Z) ………………………………..…6 分 6 3 ? ? (2) 由 f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ,得 f ?( x) ? 4 cos(2 x ? ) ………………………….8 分 6 6 ? 1 ? ? ? 由 f ?( x) ? 2 ,得 cos(2 x ? ) ? ,则 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 6 2 3 6 3 ? ? ? x ? k? ? (k ? Z) . ……………………………………………………….10 分 即 k? ? 12 4 ? ? ? ? ∴使不等式 f ?( x) ? 2 成立的 x 的取值集合为 ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z? ……12 分 12 4 ? ? ? 1 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2(sin 2 x ?
22. ⑴证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,
?

an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ,…………………………………………………2 分
?

an ?2 ? an ?1 ? 2(n ? N ? ) an ?1 ? an

? a1 ? 1, a2 ? 3 ,??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列
…4 分理。。6 分文[来源:学,科,网] ⑵解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
………………………………………………8 分理。。。。。。

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12 分文 ⑶证明:? 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

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? (an ?1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn ,
①………………………………………………………9 分

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1. ②
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即, (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③………10 分

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ④
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即, bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, ………………………………………………………11 分

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列…………………………………12 分

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