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吉林省扶余一中2010届高三上学期第三次月考数学试题(理科)


金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 吉林省扶余县第一中学 2009---2010 吉林省扶余县第一中学 2009--2010 学年度上学期第三次月考试题
理科) 数 学(理科) 本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,只交答题纸和 答题卡,试题自己保留。

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
注意事项 1.答题前,考生在答题纸和答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的班级、 姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的。 1.若空集 Φ 是 x x 2 ≤ a, a ∈ R 的真子集, 则实数 a 的取值范围是 A.

{

}

( 0, +∞ )

B.

[0, +∞ )

C.

( ?∞, 0]

D.

( ?∞, 0 )

2. 与函数 y = 0.1lg( 2 x ?1) 的图象相同的函数是 A. y = 2 x ? 1 ( x >

1 ) 2

B. y =

1 2x ? 1

C. y =

1 1 (x > ) 2x ? 1 2

D. y =|

1 | 2x ? 1

3. 设 f , g 都是由 A 到 B 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 映射 f 的对应法则是表 1 原象 象 映射 g 的对应法则是表 2 原象 象 则与 f [g (1)] 相同的是 A. g[ f (1)] B. g [ f ( 2)] C. g[ f (3)] D. g [ f ( 4)] 1 4 1 3 2 4 3 2 4 1

2 3

3 1

4 2

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4. 对 a、b ∈ R, max{a,b} = ? 记 的最小值是 A. ? 1 5. 已 知 函 数 B.

? a ,a ≥ b ,函数 f ( x) = max{sin x, cos x}( x ∈ R) ?b,a < b

2 2

C. ?

2 2

D. 1

f ( x ) = ( x ? a )( x ? b) ( 其 中 a > b ) 的 图 象 如 下 面 右 图 所 示,则 函 数
f(x) -1 0 y

g ( x) = a x + b 的图象是

1 x

A. 6. 若 偶 函 数 f ( x )

B.

C.

D. 且 x ∈ [0,1] 时 , f ( x ) = x, 则 方 程

(x ∈ R ) 满 足 f (x + 2) = f (x )

f ( x ) = log 3 x 的根的个数是
A. 4 个 个 7. 条件 p : B. 5 个 C. 6 个 D. 多于 6

π π < α < ,条件 q : f ( x ) = log tan α x 在 (0,+∞) 内是增函数,则 p 是 q 的 4 2
B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

A.充要条件 条件

8. 已知向量 a = (1 ? sin θ ,1) , b = ( ,1 + sin θ ) ,若 a ∥ b ,则锐角 θ 等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

1 2

9. 已知等比数列 {an } 的前三项依次为 a ? 1 , a + 1 , a + 4 ,则 an =

?3? A.4 ? ? ? ?2?

n

?2? B.4 ? ? ? ?3?

n

?3? C.4 ? ? ? ?2?

n?1

?2? D.4 ? ? ? ?3?

n?1

10. 若数列 {a n }的前 n 项和 S n = a n ? 1 ( a ∈ R ,且 a ≠ 0 ),则此数列是 A.等差数列 数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D. 既不是等差数列,也不是等比

11. 数列 {a n }中, a1 = 1, a n = n ( a n +1 ? a n ) ,则数列 {a n }的通项 a n = A. 2n ? 1 B. n 2 C. (

n + 1 n ?1 ) n

D. n

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12. 数列 {a n }中, a n = A. 2008

1 2009 ,若 {a n }的前 n 项和为 ,则项数 n 为 n( n + 1) 2010
B. 2009 C.

2010

D. 2011

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
二、填空题:(大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13. 定义集合运算: A ? B = z = x y + xy , x ∈ A, y ∈ B ,设集合 A = { }, B = {2,3} ,则 1,0
2 2

{

}

14. 设 y = f ( x ) 是 一 次 函 数 , 若 f ( 0 ) = 1 且 f (1) , f ( 4 ) , f (13) 成 等 比 数 列 , 则

集合 A ? B 的所有元素之和为

f ( 2 ) + f ( 4 ) + L + f ( 2n ) =

15. 已知函数 f ( x ) =

16. 设函数 f ( x ) = x 2 + 1 ( x + a ) 为奇函数,则 a = ___________ 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17. (本小题满分 10 分) 已知 a 为实数,函数 f ( x ) = ( x + 1)( x + a ) ,若 f ' ( ?1) = 0 ,求函数 y = f (x ) 在 [ ?
2

(

3x ? 2 1 1 2 2009 ( x ≠ ) ,求 f ( )+ f( ) +L+ f ( ) 的值 2x ? 1 2 2010 2010 2010

)

3 ,1] 2

上的最大值和最小值。 18.(本题满分 12 分) 已知向量 a = (sin θ ,1) , b = (1, cos θ ) , ? ⑴ 若 a ⊥ b ,求 θ ; ⑵ 求| a + b |的最大值. 19.(本题满分 12 分) 设 y = f ( x ) 是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f ′( x ) = 2 x + 2 . ⑴ 求 y = f ( x ) 的表达式; ⑵ 求 y = f ( x ) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 20.(本题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 中, a2 = ?20, a1 + a9 = ?28 .

π
2

<θ <

π
2



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⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 若数列 {bn } 满足 an = log 2 bn ,设 Tn = b1b2 L bn ,且 Tn = 1 ,求 n 的值. 21.(本题满分 12 分) 设向量 a = (sin x, cos x ) , b = (sin x, 3 sin x ) , x ∈ R ,函数 f ( x ) = a ? ( a + b ). ⑴ 求函数 f ( x ) 的最大值与单调递增区间; ⑵ 求使不等式 f ′( x ) ≥ 2 成立的 x 的取值集合.

22.(本题满分 12 分)
* 已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 ? 2an ( n ∈ N ).

⑴ 证明:数列 {an +1 ? an } 是等比数列; ⑵ 求数列 {an } 的通项公式; ⑶ 若数列 {bn } 满足 4 1 4
b ?1 b2 ?1

...4bn ?1 = ( an + 1)bn ( n ∈ N * ), 证明 {bn } 是等差数列.

参考答案
1~12 13. 18 BCACA ABBCC DB 14. n ( 2 n + 3) 15. 3012 16. 0

17.解:∵ f , ?1) = 0,由f ( x) = x 3 + ax 2 + x + a, f ′( x) = 3 x 2 + 2ax + 1 , (

∴ 3 ? 2a + 1 = 0, a = 2,

………………………………………………………3 分 ………………………………………………………4 分 得:

∴ f ′( x) = 3 x 2 + 4 x + 1
1 由f ′( x ) = 3( x + )( x + 1) 3

当 f ′( x ) > 0时,x < ?1或x > ?

1 3

……………………………………………5 分

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当 f ′( x ) < 0时, 1 < x < ? ? 因此, f (x ) 在区间 [ ? 且

1 3

…………………………………………………6 分

f ( x ) 极大值

3 1 1 ,?1]和[ ? ,1] 内单调递增,而在 [ ?1,? ] 内单调递减, 2 3 3 1 50 3 13 又 = f ( ?1) = 2, f ( x ) 极小值 = f ( ? ) = f (? ) = 3 27 2 8

50 13 > , 27 8 3 3 13 ∴ f ( x)在[? ,1]上的最大值 f (1) = 6, 最小值 f (? ) = ,………………….…10 分 2 2 8 f (1) = 6, 且
18. 解:(1)若 a⊥b,则 sinθ+cosθ=0, 由此得 tanθ=-1( ? 所以 θ= ? ……………………….. 2 分

π
2

<θ <

π
2

),

π
4



…………………………………………………….. 6 分

(2)由 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),得 |a+b|= (sinθ+1)2+(1+cosθ)2= 3+2(sinθ+cosθ) = π 3+2 2sin(θ+ ), …………………………………10 分 4

π 当 sin(θ+ )=1 时,|a+b|取得最大值, 4 π 即当 θ= 时,|a+b|最大值为 2+1.……………………………… 12 分 4 19. 解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c,则 f′(x)=2ax+b,…………..…2 分理 又已知 f′(x)=2x+2 ∴a=1,b=2. …………………………....4 分理 2 ∴f(x)=x +2x+c 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式Δ=4-4c=0,即 c=1 2 故 f(x)=x +2x+1. ……………………………………………………..6 分理 (2)依题意,有所求面积=



0 ?1

1 1 ( x 2 + 2 x + 1)dx = ( x 3 + x 2 + x) |01 = …..12 分理 ? 3 3
?a1 + d = ?20 LL 2 分, ?2a1 + 8d = ?28

20. 解:⑴设数列 {an } 的公差为 d ,则 ?

解得 ?

?a1 = ?22 LL 4 分 ?d = 2

∴ an = ?22 + 2(n ? 1) = 2n ? 24LL 6 分
2 n ? 24 LL 8 分 ⑵Q log 2 bn = 2n ? 24 ∴ bn = 2

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∴ Tn = b1b2 L bn = 22(1+ 2 +L+ n ) ? 24 n = 2 n ( n +1) ? 24 n LL 10 分
令 n ( n + 1) ? 24 n = 0 ,得 n = 23 ∴当 n = 23 时, Tn = 1LL 12 分 21. 解 : (1)

f ( x) = a (a + 2b) = a 2 + 2a b = sin 2 x + cos 2 x + 2(sin 2 x + 3 sin x cos x)
3 1 ? cos 2 x ? ) 2 2

= 1 + 1 ? cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 + 2(sin 2 x ?
= 2 + 2(sin 2 x cos
∴当 sin(2 x ? 由 2 kπ ?

π

π
6

? cos 2 x sin ) = 2 + 2sin(2 x ? ) ………………………….……3 分 6 6 6

π

π

) = 1 时, f ( x) 取得最大值 4 …………………………………………….4 分

π
2

≤ 2x ?

π
6

≤ 2 kπ +

π
2

,得 kπ ?

π
6

≤ x ≤ kπ +

π
3

(k ∈ Z) ,

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [ kπ ? (2) 由 f ( x ) = 2 + 2 sin(2 x ?

π

) ,得 f ′( x) = 4 cos(2 x ? ) ………………………….8 分 6 6 π 1 π π π 由 f ′( x ) ≥ 2 ,得 cos(2 x ? ) ≥ ,则 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ + , 6 2 3 6 3

π

, kπ + ] (k ∈ Z) ………………………………..…6 分 6 3

π

π

即 kπ ?

π

12

≤ x ≤ kπ +

π

4

(k ∈ Z) . ……………………………………………………….10 分

∴使不等式 f ′( x ) ≥ 2 成立的 x 的取值集合为 ? x kπ ?

? ?

π
12

≤ x ≤ kπ +

π

? , k ∈ Z ? ……12 分 4 ?

22. ⑴证明:Q an + 2 = 3an +1 ? 2an ,


a n + 2 ? a n +1 = 2(a n +1 ? a n ) ,…………………………………………………2 分


a n + 2 ? a n +1 = 2( n ∈ N + ) a n +1 ? a n

Q a1 = 1, a 2 = 3 ,∴{an +1 ? an } 是以 a2 ? a1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列
…4 分理。。6 分文[来源:学,科,网] ⑵解:由(I)得 an +1 ? an = 2n ( n ∈ N * ),

∴ an = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + ... + ( a2 ? a1 ) + a1

= 2n?1 + 2n? 2 + ... + 2 + 1 = 2n ? 1(n ∈ N * ).
………………………………………………8 分理。。。。。。

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12 分文 ⑶证明:Q 4 1 4
b ?1 b2 ?1

...4bn ?1 = ( an + 1)bn , ∴ 4(b1 +b2 +...+bn )? n = 2nbn ,
①………………………………………………………9 分

∴ 2[(b1 + b2 + ... + bn ) ? n] = nbn ,

2[(b1 + b2 + ... + bn + bn +1 ) ? (n + 1)] = (n + 1)bn +1. ②
②-①,得 2(bn +1 ? 1) = ( n + 1)bn +1 ? nbn , 即, ( n ? 1)bn +1 ? nbn + 2 = 0. ③………10 分

nbn + 2 ? (n + 1)bn +1 + 2 = 0. ④
④-③,得 nbn + 2 ? 2nbn +1 + nbn = 0, 即, bn + 2 ? 2bn +1 + bn = 0, ………………………………………………………11 分

∴ bn + 2 ? bn +1 = bn +1 ? bn (n ∈ N * ),

∴{bn } 是等差数列…………………………………12 分

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