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数学:第一章《三角函数》教案(新人教A版必修4)


第一章三角函数专题复习
教学目的: 1、对必修 4 第一章重点知识进行专题复习; 2、对必修 4 第一章热点问题进行专题探究。 教学重点、难点 重点、难点: 1. 任意角和弧度制问题的解题策略 2. 扇形的弧度和面积问题常见题目及解法 3. 活用诱导公式解题 4. 三角函数的图象及性质知识总结 5. 求初相 ? 的题型及解法分析 教学过程: (一)任意角和弧度制问题

例 1、 已知集合

A ? {? |? ?

k? 2? ,k ? Z} ? {? |? ? 2 k? ? ,k ? Z} 2 3 ,

B ? {? | ? ?

2 k? ? ,k ? Z} ? {? | ? ? k? ? ,k ? Z} 3 2 ,那么集合 A、B 的关系是什么?解:

考虑在

?0, 2?? 内,A、B 的子集分别为
?


2? 4? 3? ,?, , ,2? } 2 3 3 2 ? 2? 4? 3? B1 ? {0, , , , ,2? } 2 3 3 2 A1 ? {0,
再利用周期性,知 B 是 A 的真子集。 例 2、 已知集合 A ? {? |30 ? k ? 360 ? ? ? 90 ? k ? 360 ,k ? Z} ,
? ? ? ?

B ? {? |?45? ? k ? 360? ? ? ? 45? ? 360? ,k ? Z} ,求 A∩B。
解:如图,集合 A 中角的终边在阴影(Ⅰ)内,集合 B 中的角的终边在阴影(Ⅱ)内,因此 集合 A∩B 中的角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分,所以

A ? B ? {? |30? ? k ? 360? ? ? ? 45? ? k ? 360? ,k ? Z}

-1-

y (I) 45°
30°

O (II) -45°

x

(二)扇形的弧度和面积问题常见题目及解法 例 3、解答下列各题: 2 (1)已知扇形的周长为 10cm,面积为 4cm 求扇形圆心角的弧度数; (2)已知扇形的圆心角为 72°,半径等于 20cm,求扇形的面积; (3) 已知扇形的周长为 40cm, 当它的半径和圆心角取什么值时, 才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少? 解: (1)设扇形的圆心角的弧度数为 ? (0 ? ? ? 2? ) ,弧长为 l,半径为 r,依题意得

?l ? 2r ? 10 ? ?1 ? 2 lr ? 4 ?
消去 l 得: r ? 5r ? 4 ? 0
2

解之得 r1 ? 1,r2 ? 4 当 r=1 时,l=8,此时 ? ? 8rad ? 2?rad ,不合题意,应舍去

当 r=4 时,l=2,此时

??

2 1 ? (rad ) 4 2

(2)设扇形弧长为 l,半径为 r。

? 72 ? ? 72 ?

?

180 2 ? l ? ?r ? ? ? 20 ? 8? (cm) 5 1 1 ? S ? lr ? ? 8? ? 20 ? 80? (cm2 ) 2 2
(3)设扇形的圆心角为θ ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S,则 l ? 2r ? 40

?

2? (rad ) 5

? l ? 40 ? 2r 1 1 ? S ? lr ? ? (40 ? 2r )r 2 2
? 20r ? r 2 ? ?(r ? 10) 2 ? 100
-2-

∴ 当 半 径 为 r = 10cm 时 , 扇 形 的 面 积 最 大 , 最 大 值 为 100cm , 此 时

2

??

l 40 ? 2 ? 10 ? ? 2rad r 10 。 2? 4? ) ? cos(n? ? ) 3 3 的值( n ? Z )

(三)活用诱导公式

例 4、 求

sin(2n? ?

解: (1)当 n 为奇数时

原式

? sin

2? 4? ? ( ? cos ) 3 3

? sin(? ?
? sin

?
3

) ? [ ? cos(? ?

?
3

)]

?
3

? cos

?
3

?

3 1 3 ? ? 2 2 4

(2)当 n 为偶数时

原式

? sin

2? 4? ? cos 3 3

? sin(? ? ? sin
?

?
3

) ? cos(? ?

?
3

)

?

? ( ? cos ) 3 3

?

3 1 3 ? (? ) ? ? 2 2 4

(四)三角函数的图象及性质知识总结 1. 能熟练画出函数 y ? Asin(?x ? ?) ? B 的草图,会研究其奇偶性,单调性,周期,最值。 已知图象会求 A,ω ,φ ,B。 2. 熟练掌握三角函数(正弦、余弦、正切)的图象、奇偶性、单调性、最值 3. 求三角函数的周期最常用的四种方法: (1)公式法: y ? Asin(?x ? ?) ? B 的最小正周期是

T?

2? | ?| ;

(2) y ? A tan(?x ? ?) ? B 的最小正周期是

T?

? | ?| ;

(3)图象法:利用图象变换画出函数图象观察其周期; (4)定义法。 4. 三角函数最值的求法: 同角三角函数基本关系式,诱导公式及两角和差倍角公式 y ? a sin x ? bcos x 化归为如
-3-

下类型求解: (1)基本型 y ? Af (?x ? ?) ? B (2)一元二次函数型; (3)单调型(利用函数单调性求解) 5. 三角函数变换要抓住如下三个要点: (1)变换前后的两个函数必须函数名相同、系数同正同负才能开始变换,否则先用诱导 公式变形。这由教材 y ? sin x ? y ? A sin(?x ? ?), A ? 0, ? ? 0 不难得出如上结论。 (2)在图象变换顺序上、周期与相位的变换要注意,每一次变换都是对 x 而言。如:

y ? sin 2 x ?右移 ? y ? sin 2( x ? ? ? ?
6

?
6

) ? sin(2 x ?

?
3

)
而不是

y ? sin(2 x ?

?
6

)

(3)正难则反:正面难解,反面求之,往往出其不意,效果甚佳。 6. 三角函数奇偶性的判定方法: (1)定义法:先求定义域,化简,判断。 (2)图象法。 7. 形如 y ? Af (?x ? ?) ? B 的三角函数单调性的判定方法: (1)复合函数法; (2)若能化成 A>0 且ω >0 可用还原法求解; (3)图象法求解。 8. 型如 y ? Af (?x ? ?) ? B 三角函数的对称中心、对称轴的求法(A>0,B≠0)

-4-

名称 定义域 值域 周期性 奇偶性

y ? A sin(?x ? ? ) ? B
R

正弦型函数

y ? A tan(?x ? ? ) ? B

正切型函数

?x ? ? ? k ? ?
R

?
2

,k ?Z

[ B ? A, B ? A]

2? ? |? | |? | ? 非奇非偶 ?x ? ? ? k? ? 函数为偶函数 2 ? ? ? ? ? ? 2 k ? ? ?x ? ? ? ? 2 k ? 上 ? ? k ? ? ?x ? ? ? ? k ? 上 是 2 2 2 2
是增函数

单调性

?

3? ? 2 k ? ? ?x ? ? ? ? 2 k? 上 2 2

增函数

是减函数 对 称 性 中 心 轴

??x ? ? ? k? ? ?y ? B

?x ? ? ? k ? ?
如图 1
y

?
2

k? ? ??x ? ? ? 2 ? ?y ? B ?
无 如图 2

图象

A+B

?? 2
B O -A+B

?
2

?

3? 2

? 2
x

图1

-5-

y

?? 2

?? 4
B

?

?
O

2

4

3? 4

3? 2

5? 4

?2
x

图2 例 5、 判断下列函数的奇偶性 ①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx ⑤y=1-cos(-3x-5π ) 分析:根据函数的奇偶性的概念判断 f(-x)=±f(x)是否成立;若成立,函数具有奇偶性(定 义域关于原点对称) ;若不成立,函数为非奇非偶函数 解: (过程略)①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数 例 6、求函数 y=-3cos(2x-

1 π )的最大值,并求此时角 x 的值。 3 1 2 π =2 kπ + π 得 x= kπ + π , (k∈Z) 3 3

分析:求三角函数的最值时要注意系数的变化。 解:函数的最大值为:y max =|-3|=3,此时由 2x例7、 求函数 y ?

1 的定义域。 1 ? tan x

1 解:要使函数 y ? 有意义,则有 ? 1 ? tan x ?
即 x ? k? ?

?

1? tan x ? 0 x ? kx ?

?
2

( k ?Z )

?
4

, 且x ? k? ?

?
2

, (k ? Z )

所以,函数的定义域为{χ ︱χ ∈R 且 x ? k? ? 小结: 终边相同角 象 区 限 角 间 角

?
4

, x ? k? ?

?
2

,k ? Z }

任意角的概念

角度制与弧度制 诱 导 公 式 任意角的三角函数 符号法则 三角函数线

弧长与扇形面积公式

同角函数关系 函数

-6-

三角函数图象与性质

-7-


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