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人教版数学必修5 第二章 数列 2.5 等比数列前n项和(二)


§2.5 等比数列前 n 项和(二)
【对点讲练】 一.等比数列前 n 项和的证明问题 例 1 设{an}是由正数组成的等比数列, Sn 是其前 n 项和, log0.5Sn+log0.5Sn+2 证明: >log0.5Sn+1. 2 证明设{an}的公比为 q,由题设知 a1>0,q>0, 当 q=1 时, Sn=na1,从而 Sn· n+2-S2+

1=na1· S (n+2)a1-(n+1)2a2=-a2<0. n 1 1 a1(1-qn) 当 q≠1 时, Sn= , 1-q + + 2 a1(1-qn)(1-qn 2) a2(1-qn 1)2 1 从而 Sn· n+2-S2+1= S - =-a2qn<0. n 1 (1-q)2 (1-q)2 综上知, Sn· n+2<S2+1,∴ 0.5(Sn· n+2)>log0.5S2+1. S log S n n log0.5Sn+log0.5Sn+2 即 >log0.5Sn+1. 2 【总结】本题关键是证明 Sn· n+2<S2+1.证明时要分 q=1 和 q≠1 两种情况. S n 【变式 1】 已知等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别为 Sn, S2n, S3n,求证: S2+S2 =Sn(S2n n 2n +S3n). 证明方法一设此等比数列的公比为 q,首项为 a1, 当 q=1 时,则 Sn=na1, S2n=2na1, S3n=3na1, S2+S2 =n2a2+4n2a2=5n2a2, Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2a2, n 2n 1 1 1 1 ∴ 2+S2 =Sn(S2n+S3n). Sn 2n a1 a1 a1 当 q≠1 时,则 Sn= (1-qn), S2n= (1-q2n), S3n= (1-q3n), 1-q 1-q 1-q ? a1 ? [(1-qn)2+(1-q2n)2]=? a1 ?2· n 2 (2+2qn+q2n). ∴ 2+S2 = 1-q 2· Sn 2n ? ? ?1-q? (1-q ) · ? a1 ? (1-qn)2· 又 Sn(S2n+S3n)= 1-q 2· (2+2qn+q2n), ? ? ∴ 2+S2 =Sn(S2n+S3n). Sn 2n 方法二根据等比数列性质,有 S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn), S3n=Sn+qnSn+q2nSn,∴ 2+S2 =S2+[Sn(1+qn)]2=S2(2+2qn+q2n), Sn 2n n n Sn(S2n+S3n)=S2(2+2qn+q2n).∴ 2+S2 =Sn(S2n+S3n). Sn 2n n 二.等比数列前 n 项和的实际应用 例 2 为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨,该矿区计划从 2010 年开始出口,当年出口 a 吨,以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年,设第 n 年出口量为 an 吨,试求 an 的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划 10 年后终止该矿区的出口,问 2010 年最多出口多少吨? (保留一位小数) 参考数据: 0.910≈0.35. 【解答】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项 a1=a,公比 q=1-10%=0.9, - ∴ n=a· n 1 (n≥1). a 0.9 a(1-0.910) (2)10 年的出口总量 S10= =10a(1-0.910). 1-0.9 8 ∵ 10≤80,∴ S 10a(1-0.910)≤80,即 a≤ ,∴ a≤12.3.故 2010 年最多出口 12.3 吨. 1-0.910 【总结】 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键,运算中往往要运用指数或对数不等式, 常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算,对其结果要按照要求保留一定的精 确度.

【变式 2】 一个热气球在第一分钟上升了 25m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前 一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125m 吗? 【解答】用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度,由题意, 4 4 得 an+1=5an,因此,数列{an}是首项 a1=25,公比 q=5的等比数列. 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为: ? ?4?n? a1(1-qn) 25×?1-?5? ? 4 Sn=a1+a2+…+an= = =125×?1-?5?n?<125. ? ? ?? 4 1-q 1-5 故这个热气球上升的高度不可能超过 125m. 三.等差数列、等比数列的综合问题 1 21 1 例 3 设{an}是等差数列,bn=?2?an,已知:b1+b2+b3= 8 ,b1b2b3=8,求等差数列的通项 an. ? ? ?1? bn+1 ?2?an+1 ?1? 1 【解答】设等差数列{an}的公差为 d,则 b = 1 =?2?an+1-an=?2?d. ? ? n ? ?an ?2? 1 1 1 ∴ 数列{bn}是等比数列,公比 q=?2?d.∴ 1b2b3=b3=8,∴ 2=2. b 2 ? ? b

?b +b = 8 ∴ ? 1 b ?b · =4
1 3 1 3

17

?b1=1 ?b1=2 ?b1=1 ? ? ? 8 或? 8 时,q2=16,∴ ,解得? q=4(q=-4<0 舍去) 1 .当? ?b3=2 ?b3=8 ?b3=2 ? ? ?

1 1 - 1 - - - 此时,bn=b1qn 1=?8?· n 1=22n 5.由 bn=?2?5 2n=?2?an,∴ n=5-2n. a ? ?4 ? ? ? ?

?b1=2 ? 1 1 1 ? 当? q= ? 1 时,q2=16,∴ 4?q=-4<0舍去? b3=8 ? ?
1 - 1 - ?1 - 此时,bn=b1qn 1=2· 4?n 1=?2?2n 3=?2?an,∴ n=2n-3. a ? ? ? ? ? ? 综上所述,an=5-2n 或 an=2n-3. 【总结】(1)一般地,如果{an}是等差数列,公差为 d,且 cn=can (c>0 且 c≠1),那么数列{cn}是等 比数列,公比 q=cd. (2)一般地,如果{an}是各项为正数的等比数列,公比为 q,且 cn=logaan(a>0 且 a≠1),那么数列 {cn}为等差数列,公差 d=logaq. 【变式 3】在等比数列{an}中,an>0 (n∈ *),公比 q∈ N (0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; S1 S2 Sn (2)设 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 1 + 2 +…+ n 最大时,求 n 的值. 【解答】 (1)∵ 1a5+2a3a5+a2a8=25,∴ 2+2a3a5+a2=25, a a3 5 又 an>0,∴ 3+a5=5.又 a3 与 a5 的等比中项为 2,∴ 3a5=4, a a 1 - 1 - 而 q∈ (0,1),∴ 3>a5,∴ 3=4,a5=1.∴ 2,a1=16,∴ n=16×?2?n 1=25 n. a a q= a ? ?

(2)bn=log2an=5-n,∴ n+1-bn=-1, b n(9-n) Sn 9-n ∴ n}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列,∴ n= 2 ,∴n = 2 , {b S Sn Sn Sn ∴ n≤8 时, n >0;当 n=9 时, n =0;当 n>9 时, n <0. 当 S1 S2 S3 Sn ∴ n=8 或 9 时, 1 + 2 + 3 +…+ n 最大. 当 【课堂小结】 1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列的性质既有 类似的部分,又有区别,要在应用中加强记忆.同样,用好其性质也会降低解题的运算量,从而 减少错误. 2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程时,仔细体会两种情 形中解方程组的方法的不同之处. 3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定 a1 与项数 n 的实际含义,同 时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题. 【课时作业】 一.选择题 1.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内,该厂的总 产值为( ) A.1.14a B.1.15a C.10(1.15-1)a D.11(1.15-1)a 【解答】D 解析注意去年产值为 a,今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴ 1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1). 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2+a2+…+a2等于( ) 1 2 n 1 n A.(2n-1)2 B.2(2 -1)2 1 C.4n-1 D.3(4n-1) 【解答】D - 解析易知{an}为等比数列且 an=2n 1.∴ 2}也是等比数列,a2=1,公比为 4. {an 1 1-4n 1 ∴ 2+a2+…+a2= a1 = (4n-1). 2 n 1-4 3 3.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第 10 次 着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A.300 米 B.299 米 C.199 米 D.166 米 【解答】A 1 39 解析小球 10 次着地共经过 100+100+50+…+100×?2?8=29964≈300. ? ? 4.若等比数列{an}的公比 q>0,且 q≠1,又 a1<0,那么( ) A.a2+a6>a3+a5 B.a2+a6<a3+a5 C.a2+a6=a3+a5 D.a2+a6 与 a3+a5 的大小不确定 【解答】B 解析 (a2+a6)-(a3+a5)=a1(q+q5)-a1(q2+q4)=a1q(q4-q3-q+1) =a1q(q-1)2(q2+q+1) ∵ 1<0,q>0 且 q≠1,q2+q+1>0,∴ 1q(q-1)2(q2+q+1)<0,∴ 2+a6<a3+a5. a a a 5.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一 块,…,依此类推,每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用光,那么, 共用去的砖块数为( )

A.1 022 B.1 024 C.1 026 【解答】A

D.1 028

1 1 解析设从上层到底层砖块分别为 a1,a2,…,a9,则 an=2Sn+1,那么 an-1=2Sn-1+1, (n≥2),那么 1 a1=2,an-an-1=2an,即 an=2an-1,因此,每层砖块数构成以 2 为首项,以 2 为公比的等比数 2(1-29) 列,∴ 9= S =210-2=1 022. 1-2 二.填空题 - 6.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3n 1+t,则 t=______. 1 【解答】-3 1 1 解析显然 q≠1,此时应有 Sn=A(qn-1),又 Sn=3· n+t,∴ 3 t=-3. 7.如果 b 是 a,c 的等差中项,y 是 x 与 z 的等比中项,且 x,y,z 都是正数,则(b-c)logmx+(c- a)logmy+(a-b)logmz=______. 【解答】0 解析∵ a,b,c 成等差数列,设公差为 d, 则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=-dlogmx+2dlogmy-dlogmz y2 =dlogmxz=dlogm1=0. 1 8.等比数列{an}的首项 a1=511,公比 q=2,记 Cn=a1· 2· 3·…·an,则当 Cn 达到最大时,n 的值是 a a ______. 【解答】9 1 - 解析由 an=511×?2?n 1>1,解得 n≤9. ? ? 即 a1>a2>…>a9>1>a10>a11>….∴ n=9 时, Cn 最大. 当 三.解答题 9.已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中 ak1,ak2,…,akn 恰为等比数列,若 k1=1,k2=5,k3= 17,求 k1+k2+…+kn. 【解答】由题意知 a2=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d). 5 a5 a1+4d - ∵ d≠0,由此解得 2d=a1.公比 q=a = a =3.∴ n=a1· n 1. ak 3 1 1 kn+1 kn+1 - 又 akn=a1+(kn-1)d= 2 a1,∴ 1· n 1= 2 a1, a 3 - - ∵ 1≠0,∴ n=2· n 1-1.∴ 1+k2+…+kn=2(1+3+…+3n 1)-n=3n-n-1. a k 3 k 10.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业,根据 1 规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入比上年减少5,本年度当地旅游业收入估计为 400 1 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达 式; (2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入? 1 【解答】 (1)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800×?1-5?万元,…, ? ? 1? - 第 n 年投入为 800×?1-5?n 1 万元. ? 1 1 - ∴n 年内总投入为:an=800+800×?1-5?+…+800×?1-5?n 1 ? ? ? ?

4 - 4 4 =800×?1+5+…+?5?n 1?=4 000×?1-?5?n?. ? ? ? ? ? ?? ? 1 第一年旅游业收入为 400 万元,第二年旅游业收入为 400×?1+4?万元,…,第 n 年旅游业收入 ? ? 1? - 为 400×?1+4?n 1 万元,∴n 年内的旅游业总收入为: ? 1 1 - bn=400+400×?1+4?+…+400×?1+4?n 1 ? ? ? ? ?1+5+…+?5?n-1?=1 600×??5?n-1?. =400×? ?4? ? 4 ??4? ? (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此:bn-an>0, 5 4 即 1 600×??4?n-1?-4 000×?1-?5?n?>0, ?? ? ? ? ? ?? 5 4 化简得: 2?4?n+5?5?n-7>0, ? ? ? ? 4 2 设 x=?5?n,则 5x2-7x+2>0,解得 x<5或 x>1, ? ? 4 4 2 ∵ n≥1,∴ ?5?n<1,∴ x=? ? x>1(舍去),即?5?n<5,由此得 n≥5. ? ? ∴ 至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.


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