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3.1习题课


§ 3.1

习题课

课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方 程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式.

1.函数 f(x)在区间(0,2)内有零点,则( ) A.f(0)>0,f(2)<0 B.f(0)· f(2)<0 C.在区间(0,2

)内,存在 x1,x2 使 f(x1)· f(x2)<0 D.以上说法都不正确 2.函数 f(x)=x2+2x+b 的图象与两条坐标轴共有两个交点,那么函数 y=f(x)的零点个 数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 x+2 3.设函数 f(x)=log3 -a 在区间(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是( ) x A.(-1,-log32) B.(0,log32) C.(log32,1) D.(1,log34) 4.方程 2x-x-2=0 在实数范围内的解的个数是________________________________. 1 5.函数 y=( )x 与函数 y=lg x 的图象的交点的横坐标是________.(精确到 0.1) 2 6.方程 4x2-6x-1=0 位于区间(-1,2)内的解有__________个.

一、选择题

1.已知某函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)有零点的区间大致是( ) A.(0,0.5) B.(0.5,1) C.(1,1.5) D.(1.5,2) 2.函数 f(x)=x5-x-1 的一个零点所在的区间可能是( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[2,3] D.[3,4] 3.若 x0 是方程 lg x+x=2 的解,则 x0 属于区间( ) A.(0,1) B.(1,1.25) C.(1.25,1.75) D.(1.75,2) 4.用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间是( ) A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 5.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),并且 α,β(α<β)是函数 y=f(x)的两个零点,则

实数 a,b,α,β 的大小关系是( A.a<α<β<b C.α<a<β<b 题 号 答 案

) B.α<a<b<β D.a<α<b<β 1 2 3 4 5

二、填空题 6.用二分法求方程 x2-5=0 在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到 0.01. 7.已知偶函数 y=f(x)有四个零点,则方程 f(x)=0 的所有实数根之和为________. 8.若关于 x 的二次方程 x2-2x+p+1=0 的两根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实数 p 的取 值范围为___________________. 9.已知函数 f(x)=ax2+2x+1(a∈R),若方程 f(x)=0 至少有一正根,则 a 的取值范围 为________. 三、解答题 10.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个零点附近的函数值的参考数据如下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 求方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确度 0.1).

11.分别求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x2+2x+m+1=0, (1)有两个负根; (2)有两个实根,且一根比 2 大,另一根比 2 小; (3)有两个实根,且都比 1 大.

能力提升 12.已知函数 f(x)=x|x-4|. (1)画出函数 f(x)=x|x-4|的图象; (2)求函数 f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值; (3)当实数 a 为何值时,方程 f(x)=a 有三个解?

13.当 a 取何值时,方程 ax2-2x+1=0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上.

1.函数与方程存在着内在的联系,如函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标就是方 程 f(x)=0 的解; 两个函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象交点的横坐标就是方程 f(x)=g(x)的解 等.根据这些联系,一方面,可通过构造函数来研究方程的解的情况;另一方面,也可

通过构造方程来研究函数的相关问题. 利用函数与方程的相互转化去解决问题, 这是一 种重要的数学思想方法. 2.对于二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 根的问题,从函数角度解决有时比较简洁.一般 b 地,这类问题可从四个方面考虑:①开口方向;②判别式;③对称轴 x=- 与区间端 2a 点的关系;④区间端点函数值的正负.

§ 3.1

习题课

双基演练 1.D [函数 y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,我们并不一定能找到 x1,x2∈(a,b),满 足 f(x1)· f(x2)<0,故 A、B、C 都是错误的,正确的为 D.] 2.D [当 f(x)的图象和 x 轴相切与 y 轴相交时,函数 f(x)的零点个数为 1,当 f(x)的图 象与 y 轴交于原点与 x 轴的另一交点在 x 轴负半轴上时,函数 f(x)有 2 个零点.] 2 3 .C [f(x)= log3(1+ ) -a 在 (1,2)上是减函数,由题设有 f(1)>0, f(2)<0,解得 a∈ x (log32,1).] 4.2 解析 作出函数 y=2x 及 y=x+2 的图象,它们有两个不同的交点,因此原方程有两个 不同的根. 5.1.9(答案不唯一) 1 1 1 解析 令 f(x)=( )x-lg x,则 f(1)= >0,f(3)= -lg 3<0,∴f(x)=0 在(1,3)内有一解, 2 2 8 利用二分法借助计算器可得近似解为 1.9. 6.2 解析 设 f(x)=4x2-6x-1,由 f(-1)>0,f(2)>0,且 f(0)<0,知方程 4x2-6x-1=0 在 (-1,0)和(0,2)内各有一解,因此在区间(-1,2)内有两个解. 作业设计 1.B 2.B [因为 f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0, 所以存在一个零点 x∈[1,2].] 7 7 1 3.D [构造函数 f(x)=lg x+x-2,由 f(1.75)=f( )=lg - <0,f(2)=lg 2>0,知 x0 属 4 4 4 于区间(1.75,2).] 4.A [由于 f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用 二分法逐次计算.] 5.A [函数 g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点是 a,b. 由于 y = f(x) 的图象可看作是由 y = g(x) 的图象向上平移 2 个单位而得到的,所以 a<α<β<b.] 6.7 解析 区间(2,3)的长度为 1,当 7 次二分后区间长度为 1 1 1 = < =0.01. 27 128 100 7.0 解析 不妨设它的两个正零点分别为 x1,x2. 由 f(-x)=f(x)可知它的两个负零点分别是-x1,-x2, 于是 x1+x2-x1-x2=0. 8.(-1,0) 解析 设 f(x)=x2-2x+p+1,根据题意得 f(0)=p+1>0, 且 f(1)=p<0,f(2)=p+1>0,解得-1<p<0.

9.a<0 1 解析 对 ax2+2x+1=0,当 a=0 时,x=- ,不符题意; 2 当 a≠0,Δ=4-4a=0 时,得 x=-1(舍去). 当 a≠0 时,由 Δ=4-4a>0,得 a<1, 又当 x=0 时,f(0)=1,即 f(x)的图象过(0,1)点, 2 1 f(x)图象的对称轴方程为 x=- =- , 2a a 1 当- >0,即 a<0 时, a 方程 f(x)=0 有一正根(结合 f(x)的图象); 1 当- <0,即 a>0 时,由 f(x)的图象知 f(x)=0 有两负根, a 不符题意.故 a<0. 10.解 ∵f(1.375)· f(1.437 5)<0, 且|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1, ∴方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根可取为区间(1.375,1.437 5)中任意一个值,通常 我们取区间端点值,比如 1.437 5. 11.解 (1)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为 x1,x2, Δ=4-4?m+1?≥0, ? ? 则有两个负根的条件是?x1+x2=-2<0, ? ?x1x2=m+1>0, 解得-1<m≤0.

方法二 (函数思想) 设函数 f(x)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点均在 y 轴左侧, 结合函数的图象,有 Δ=4-4?m+1?≥0, ? ? b ?-2a=-1<0, ? ?f?0?=m+1>0, 解得-1<m≤0.

(2)方法一 (方程思想) 设方程的两个根为 x1,x2,则令 y1=x1-2>0,y2=x2-2<0,问题转化为求方程(y+2)2 +2(y+2)+m+1=0,即方程 y2+6y+m+9=0 有两个异号实根的条件,故有 y1y2=m +9<0,解得 m<-9. 方法二 (函数思想) 设函数 f(x)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数 f(x)与 x 轴的两个交点分别在 2 的两 侧,结合函数的图象, 有 f(2)=m+9<0,解得 m<-9.

Δ=4-4?m+1?≥0, ? ? (3)由题意知,?x1-1+x2-1>0, ? ??x1-1??x2-1?>0 Δ=4-4?m+1?≥0, ? ? b 或?-2a=-1>1, ? ?f?1?=m+4>0

(方程思想),

(函数思想),

因为两方程组无解,故解集为空集. 2 ? x≥4, ?x -4x, ? 12.解 (1)f(x)=x|x-4|= 2 ?-x +4x, x<4. ?

图象如右图所示. (2)当 x∈[1,5]时,f(x)≥0 且当 x=4 时 f(x)=0,故 f(x)min=0; 又 f(2)=4,f(5)=5,故 f(x)max=5. (3)由图象可知,当 0<a<4 时, 方程 f(x)=a 有三个解. 13.解 ①当 a=0 时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意. ②当 a>0 时,设 f(x)=ax2-2x+1, ∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, 1>0 f?0?>0 ? ? ? ? 3 ∴?f?1?<0 ,即?a-2+1<0 ,解得 <a<1. 4 ? ? ?f?2?>0 ?4a-4+1>0 ③当 a<0 时,设方程的两根为 x1,x2, 1 则 x1x2= <0,x1,x2 一正一负不符合题意. a 3 综上,a 的取值范围为 <a<1. 4


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