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新课标高考数学模拟试题文科数学3


2013 年高考模拟系列试卷

数学试题(文) 【新课标版】
题 得 号 分 一 二 三

第Ⅰ 卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ 卷为非选择题共 90 分。满分 100 分,考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出

的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的. 1.若集合 M ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1}, N ? {x | ( A. {x |1 ? x ? 2} ) C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 2}

1 1 x ? ( ) ? 1} ,则 M ? N = 4 2

B. {x |1 ? x ? 3}

2.已知向量 a ? 1, ,a ? b ? 5, a ? b ? 2 5 ,则 b 等于 2 ( A. 5 ) C.25 D.5

? ?

B. 2 5

3.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ? ( ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体 积是( ) A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

2 ? 5 . 命 题 “ 存 在 x ? R , 使 x ? a a x 4a < 0 , 为 假 命 题 ” 是 命 题 “ ? 16 ? a ? 0 ” 的





-1-

A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m, ?ACB ? 45? , ?CAB ? 105? 后,就可以计算出 A、B 两点的距离为 ( A. 50 2m )

B. 50 3m

C. 25 2m

D.

25 2 m 2

? x ? y ? 10 ? 7.设实数 x 和 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最 ? x?4 ?
小值为 A. 26 B. 24 ( ) C. 16 D. 14

8. 已知直线 x ? 2 y ? 2 与 x 轴,y 轴分别交于 A, B 两点, 若动点 P (a, b) 在线段 AB 上, ab 则 的最大值为 ( A. ) C.3 D.

1 2

B.2

1 3


9.若函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? ax ? 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是(
3

A. a<-2 或 a>2 10、函数 y ?

B. a≤-2 或 a≥2 )

C. -2<a<2

D. -2≤a≤2

x ? sin x 的图象大致是( 3

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则对任意 x1 , x2 ? R ,若 0 ? x1 ? x2 ,下列不等式 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
成立的是( ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

-2-

12.若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1, ??) C. (??, ?1]



A. [?1, ??)

D. (??, ?1)

第Ⅱ (非选择题,共 90 分) 卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? ,若

f7 ( x) ? 128x ? 381,则 a ? b ?



14.阅读如图所示程序框图,为使输出的数据为 31,则判断框中应 填的是 。 15.若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l 2 与曲线 则 C : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 只有一个公共点 M , PM 的最小值为 __________; 16.观察下列等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 ……

13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 13+23+33+43+53=225

可以推测:13+23+33+…+n3=

。 n? N , 用含有 n 的代数式表示) (

*

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? sin ωx,cos ωx ,b ? cos ωx, 3 cos ωx ( ? > 0) ,函数 f x ? a ? b ?

?

?

?

?

??

3 的最小正周期为 ? 。 2

(I)求函数 f ?x ? 的单调增区间; (II)如果△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、 C,且满足 b2 ? c2 ? a2 ? 3bc, 求 f ? A? 的值。 18. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1.
2

-3-

(Ⅰ )设集合 P ? ?1,2,3? 和 Q ? ??1,1,2,3,4? ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ,求函数 y ? f (x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (Ⅱ )设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,记 A ? { y ? f ( x) 有两个零点,其中一 ?y ? 0 ?
个大于 1 ,另一个小于 1 } ,求事件 A 发生的概率。

19. 本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, a1 ? a2 ? 2? ? ( 且 ?a a ?, ? 2 ? ? 1

?1

1?

?1 1? a3 ? a4 ? 32? ? ? 。 ?a a ? 4 ? ? 3
2 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? an ? log2 an , 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn。

20. (本小题 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P — ABCD 的 底 面 是 直 角 梯 形 , ?ABC ? ?BCD ? 90? , AB=BC=2CD=2,PB=PC,侧面 PBC ? 底面 ABCD,O 是 BC 的中点。 (1)求证:DC//平面 PAB; (2)求证: PO ? 平面 ABCD; (3)求证: PA ? BD.

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3bx 的图像与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点
3 2

(1,-11) 。 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性。

-4-

x2 y 2 6 22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的 a b 3
一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点。

5 2 。 3

1 ,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 7 ② 已知点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值。 3
① 若线段 AB 中点的横坐标为 ?

参考答案
一.选择题 1.A;2.D;3.A;4.B ;5.A;6.A;7.D;8.A;9.B;10.C;11.D;12.B; 二.填空题 13.5;14. n ? 5 ;15. 4 ;16. 三.解答题 17.解析: (I) f ?x ? ? a ? b ?

n2(n ? 1)2 ; 4

3 3 ? sin ?x cos?x ? 3 cos2 ?x ? 2 2

1 3 ?? ? ? sin 2?x ? cos2?x ? sin ? 2?x ? ? ………………………3 分 2 2 3? ?
∵f ?x ? 的最小正周期为 ? ,且 ? >0。

-5-



2? ? ? , ∴ ? 1, ……………………………………………………4 分 ? 2?

∴f ?x ? ? sin? 2 x ? 由?

? ?

??

?. 3?

?
2

? 2 k? ≤ 2 x ?

? ? ≤ ? 2k? , k ? Z …………………………5 分 3 2

得 f ?x ? 的增区间为 ??

? ? 5 ? ? ? k? , ? k? ??k ? Z ? ………………6 分 12 ? 12 ?

(II)由 b2 ? c2 ? a 2 ? 3bc, ∴ 2 ? c2 ? a2 ? 3bc, b 又由 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 3bc 3 …………………………8 分 ? ? 2bc 2bc 2

∴ ?ABC 中, A ? 在 ∴f ? A? ? sin? 2 ?

?
6

………………………………………………………9 分

? ?

?
6

?

??

3 2? ………………………………12 分 ? ? ? sin 2 3? 3
2b , a

2 18.解析: )∵ (Ⅰ 函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?

要使 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数, 当且仅当 a ? 0 且

2b ? 1, 即2b ? a a

………………………………2 分 ……………………4 分

若 a ? 1 则 b ? ?1 ,若 a ? 2 则 b ? ?1,1 若 a ? 3 则 b ? ?1,1 记 B ? { 函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数 } 则事件 B 包含基本事件的个数是 1+2+2=5,∴ ? B ? ? P

5 1 ? ……6 分 15 3

? ?a ? b ? 8 ? 0? ? ? ? (Ⅱ )依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ? ? ?( a, b) | ? a ? 0 ?, ? ?b ? 0 ? ? ? ?
1 ? 8 ? 8 ? 32 ……………………………………8 分 2 ? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? a ?b ?8 ? 0 ? ? ? ? a?0 ? ? ? a?0 ? ? ? ? ? ? 事件 A 构成的区域: A ? ?? a, b ? ? ? ? ?? a, b ? ? ? b?0 ? ? b?0 ? ? ? ? ? ? f ?1? ? 0 ? ? ?a ? 4b ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
其面积 S? ?

-6-

由?

?a ? b ? 8 ? 0 31 9 ,得交点坐标为 ( , ), ………………………………10 分 5 5 ?a ? 4b ? 1 ? 0

1 1 31 961 S 961 ? S A ? ? (8 ? ) ? ? ,∴ 事件 A 发生的概率为 P( A) ? A ? ……12 分 2 4 5 40 S? 1280
1 2 19. (I)∵ 1 ? a2 ? 2? ? a ? a a ? ? 2? a a , ? 2 ? 1 2 ? 1

?1

1?

a ?a

?1 1? a ?a a3 ? a4 ? 32? ? ? ? 32? 3 4 , ………………………………1 分 ?a a ? a3a4 4 ? ? 3
数列 ?an ?各项均为正数, ∴ 1a2 ? 2, a3a4 ? 32, ………………………………………………………2 分 a ∴ ? q
4

a3a4 ? 16, a1a2

q ∴ ? 2 ………………………………………………………………………4 分
又 a1a2 ? a1 ? a1q ? 2, ∴ 1 ? 1 ………………………………………………………………………6 分 a ∴ n ? a1q n?1 ? 2n?1 …………………………………………………………7 分 a (II)∵ n ? an ? log2 an b
2

∴ n ? 4n?1 ? ?n ?1? …………………………………………………………8 分 b ∴ n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn S

? 40 ? 41 ? 42 ? ? ? ? ? 4n?1 ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1? ……………10 分
? 4n ? 1 n?n ? 1? ? ………………………………………………12 分 3 2

?

?

20 . 解 析 :( Ⅰ) 在 直 四 棱 柱

ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 // CC1 ,
∵ EF // CC1 , ∴ EF // DD1 ,

---------------------------------------2 分

-7-

又∵ 平面 ABCD // 平面 A1B1C1D1 , 平面 ABCD ? 平面 EFD1D ? ED , 平面 A B1C1D1 ? 平面 EFD1D ? FD1 , 1 ∴ // FD1 ,∴ 四边形 EFD1D 为平行四边形,---------------------------------------4 分 ED ∵ 侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 DE ? 平面 ABCD 内, ∴ 1 ? DE ,∴ 四边形 EFD1D 为矩形; -----------------------------5 分 DD (Ⅱ )证明:连结 AE ,∵ 四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 为直四棱柱, 1 ∴ 侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 AE ? 平面 ABCD 内, ∴ 1 ? AE , --------------------------------6 分 DD 在 Rt ?ABE 中, AB ? 2 , BE ? 2 ,则 AE ? 2 2 ; -----------------------------------7 分 在 Rt ?CDE 中, EC ? 1 , CD ? 1 ,则 DE ? 2 ; -------------------------------8 分 在直角梯形中 ABCD , AD ?

BC 2 ? ( AB ? CD ) 2 ? 10 ;

AE 2 ? DE 2 ? AD 2 ,即 AE ? ED , ∴
AE 又∵ ? DD1 ? D ,∴ ? 平面 EFD1D ; --------------------------10 分 ED
由(Ⅰ )可知,四边形 EFD1D 为矩形,且 DE ? 2 , DD1 ? 1 , ∴ 矩形 EFD1D 的面积为 SEFD D ? DE ? DD1 ? 2 , 1 ∴ 几何体 A ? EFD1D 的体积为

1 1 4 VA? EFD1D ? S EFD1D ? AE ? ? 2 ? 2 2 ? .-----------------------------12 分 3 3 3
21.解析: )∵f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) ,∴f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) (Ⅰ
3 2 2 2 2

依题意有 ?

1 2 2 和 1 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根 3

? 2b 2 ? ? 3a ? 3 ? a ?1 ? 3 2 ∴ 解得 ? ,∴f ? x ? ? x ? x ? x . (经检验,适合)……5 分 ? b ? ?1 a 1 ? ?? ? ? ? 3 3 ?
-8-

(Ⅱ f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0) , )∵ 依题意, x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根,∵ 1 x2 ? ? x ∴ x1 ? x2 ? ?
2

a ? 0 且 x1 ? x2 ? 2 3 , 3

2

? 2b ? 4a ......7分 ? 12,?b2 ? 3a2 ? 9 ? a ? ...... ? 12 .∴ ? ? ? ? 3 ? 3a ?

0 b2 ∵ ? 0 ∴ ? a ? 9 ....................... .......................8分
设 p ? a ? ? 3a
2

?9 ? a ? ,则 p? ? a ? ? 54a ? 9a2 .

由 p?(a ) ? 0 得 0 ? a ? 6 ,由 p?(a ) ? 0 得 a ? 6 . 即函数 p (a ) 在区间 ? 0,6? 上是增函数,在区间 ?6,9? 上是减函数,....10 分 .... ∴ a ? 6 时, p (a ) 有极大值为 324 ,∴p (a ) 在 ? 0,9? 上的最大值是 324 , 当 ∴b 的最大值为 18 . 22.解析: )因为 (Ⅰ ……………………………12 分

x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c2 , ? ,…………2 分 2 a b a 3

5 x2 y2 1 5 2 2 2 ? ? 1 ……………4 分 。解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 3 5 2 3 3
(Ⅱ(1)将 y ? k ( x ? 1) 代入 )

x2 y2 ? ? 1 中得 5 5 3

(1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ……………………………………………………6 分 ? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0 , x1 ? x2 ? ?
6k 2 ……………7 分 3k 2 ? 1

因为 AB 中点的横坐标为 ?

1 6k 2 1 3 ? ? ,解得 k ? ? ,所以 ? 2 …………9 分 2 3k ? 1 2 3

(2)由(1)知 x1 ? x2 ? ? 所以 MA ? MB ? ( x1 ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

???? ????

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ……………11 分 3 3 3 3

7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3

-9-

7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 9

? (1 ? k 2 )

3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9

?

4 ?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 ? ? k 2 ? ……………………………………………………4 分 2 9 3k ? 1 9

- 10 -


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