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广东省东莞市2015届高三模拟考试数学理试题(二)


东莞市 2015 届高考数学模拟题(二)
命题人:贺怀春 审题人:张志峰
一.选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.复数 z=2+i 的共轭复数是( ) 7 1 A.2+i B.2-i C.-1+i D. - - i 5 5

( x ? 6) ? x ?5

2.已知 f ( x) ? ? ,则 f(3)为 ( ? f ( x ? 2) ( x ? 6)

) A .2

B.3

C.4

D .5

3.某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时,错将其中一个数据 105 输入为 15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A.3.5 B.-3 C.3 D.-0.5
? x ? y ? 4, ? 4.已知点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? y ? x, 则 x 2 ? y 2 的最大值为( ? x ? 1. ?



A.

10

B. 8

C. 16

D.

10

5.在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 所对的边, A ? 则 ?ABC 的面积 S ? ( ) A.1 B.
3 2

?
3

, a ? 3, b ? c ? 3 ,

C. 3

D.2

6 . 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 , 则
log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10 ? (

) A.12 ) C. 2 13

B.10

C.8

D. 2 ? log3 5

7.双曲线 A. 13

y2 x2 ? ? 1 的焦距为( 9 4

B. 26

D. 2 5

8.设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任 意的 a,b ? S ,对于有序元素对( a,b ) ,在 S 中有唯一确定的元素 a * b 与之对 应) .若对任意的 a,b ? S ,有 a * (b * a) ? b ,则对任意的 a,b ? S ,下列等式中 不恒成立的是( C. b * (b * b) ? b ) A. (a * b) * a ? a
[a * (b * a )] * (a * b) ? a B.

? b D. (a * b) * [b * (a * b)]

二、填空题:(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,把正确答案填在题 中横线上) 9.已知直线 x ? my ? 1 ? 0 与 mx ? 4 y ? 2 ? 0 平行,则 m ? ___________ 10.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为120 的等腰三角 形,则该三棱锥的体积为____. 11.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 .

2 1 左视图

主视图 2 3

俯视图

第 10 题

12.在曲线 y=x3+3x2+6x+10 的切线中,斜率最小的切线方程是___________. 13.若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在 实数解,则实数 a 的取值范围是___ .. 选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)
4 ? x ? 1? t ? ? 5 14. (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系中, 直线 l 的参数方程 ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

( t 为参数) ,若以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的 ? 极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) ,则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为 4 15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是⊙O 的直径,PB,PE 分别切⊙O 于 B,C, ∠ACE=40°,则∠P=_____

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
1 ? 16. (本题满分 12 分)已知函数f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R 3 6 5? (1)求f ( )的值; 4

? 10 6 ? ?? (2)设? , ? ? ?0, ? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? )的值. 2 13 5 ? 2?
17. (本题满分 12 分)某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名 学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得到频率分布表如下表所示。

(1)请求出①②位置相应的数字,并补全频率分布直方图; (2)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分 层抽样的方法抽取 12 人进入第二轮面试,求第 3、4、5 组中每组各抽取多少人 进入第二轮的面试;假定考生“XXX”笔试成绩为 178 分,但不幸没入选这 100 人中,那这样的筛选方法对该生而言公平吗?为什么?(3)在(2)的前提下, 学校决定在 12 人中随机抽取 3 人接受“王教授”的面试,设第 4 组中被抽取参 加“王教授”面试的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本题满分 14 分)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, 1 AD ? CD , AB / / CD , AB ? AD ? CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上(除端点外) 2

(1)当点 M 为 EC 中点时,求证: BM / / 平面 ADEF ; (2) 若平面 BDM 与平面 ABF 所成二面角为锐角, 且该二面角的余弦值为 求三棱锥 M ? BDE 的体积 19.(本题满 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? na n ?2n(n ?1) ,等比数 列 {bn }的前 n 项和为 Tn ,公比为 a1 ,且 T5 ? T3 ? 2b5 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {
1 1 1 } 的前 n 项和为 M n ,求证: ? M n ? . 5 4 an an ?1
2

6 时, 6

20. (本题满分 14 分)已知抛物线 x = a y 的焦点为 F(0,1) ,过焦点 F 且不平 行于 x 轴的动直线交抛物线于 A、B 两点,抛物线在 A、B 两点处的切线交于点 M.

(1)求此抛物线的方程; (2)求证:A、M、B 三点的横坐标成等差数列; (3)设直线 MF 交该抛物线于 C、D 两点,求证: CD ? AB . 21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 同时满足如下三个条件: ①定义域为 [?1,1] ; ② f ( x) 是偶函数;③ x ?[?1, 0] 时, f ( x ) ? (Ⅰ)求 f ( x) 在 [0,1] 上的解析式;
x2 3 (Ⅱ)求证:当 a ? ?4 , x ? [0,1] 时,函数 g ( x) ? ( ? x ? 2 ? )[e2 x ? f ( x)] 的图象恒 a a
1 a ? x ,其中 a ? R . 2x e e

在直线 y=e 上方(其中 e 为自然对数的底数, e ? 2.71828

).

东莞市 2015 届高考数学模拟题(二)参考答案
一、选择题 1-8 BABD BBCA 二、填空题 9. ? 2 10.
2 3 3
1 2

11. ?
7 5

12.

3x-y+9=0

13.[ ? 3,??)

14.

15.

80°

1 ? 5? ? 16. 解: (1) f ( x) ? 2sin( x ? ) , f ( ) ? 2sin( ) ? 2 ; 3 6 4 4 ? 1 ? ? 10 5 6 ( 2 ) f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? , sin ? ? , f (3? ? 2? ) ? 得 2 3 2 6 13 13 5

? 3 12 4 ? ?? sin( ? ? ) ? cos ? ? , ? , ? ? ?0, ? , cos ? ? , sin ? ? , 2 5 13 5 ? 2?
12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 17. 解: (1)由题意知, 5 组频率总和为 1 ,故第 3 组频率为 0.3 ,即①处的数字 为 0.3 总 的 频 数 为 100 因 此 第 4 组 的 频 数 为 20 即 ② 处 数 字 为 20 频率分布直方图如下: cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

(2)第 3、、 4 5 组共 60 名学生,现抽取 12 人,因此第
3 组抽取的人数为:

30 20 ?12=6 人,第 4 组抽取的人数为: ?12=4 人,第 5 组抽 60 60

10 ???????7 分 ?12=2 人. 60 公平:因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取 100 人,每个人被抽到的概 率是相同的. (只写“公平”二字,不写理由,不给分)

取的人数为:

(3) ? 的可能取值为 0、 1、、 2 3.
P(? ? 0) ?
3 C8 14 ? 3 C12 55

P (? ? 1) ?

1 C82C4 28 ? 3 C12 55

P(? ? 2) ?

1 2 C8 C4 12 ? 3 C12 55

P(? ? 3) ?

3 C4 1 ? 的分布列为: ? 3 C12 55

?
P

0

1

2

3

12 1 55 55 14 28 12 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 55 55 55 55

14 55

28 55

???????12 分 在△ EDC 中, M , N 分别

18. 解: (1)证明

取 DE 中点 N ,连结 MN , AN

1 1 AB ? CD , 为 EC, ED 的中点, 则 MN ∥ CD , 且 MN ? CD 由已知 AB ∥ CD , 2 2 因此, MN ∥ AB ,且 MN ? AB 所以,四边形 ABMN 为平行四边形 于是, BM ∥ AN 又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , 所以 BM ∥平面 ADEF ????? 6 分 (2)按如图建立空间直角坐标系,点 D 与坐标原点 O 重合

设 M ( x , y, z ) ,则 EM ? ( x, y, z ? 2) ,又 EC ? (0,4,?2) , 设 EM ? ? EC(0 ? ? ? 1) , 则 x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? , 即 M (0,4? ,2 ? 2? )
n ? ( x1 , y1 , z1 )

设 则



平 ,



BDM





向 取


x1 ? 1



OB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0
y1 ? ?1, z1 ?

OM ? n ? 4?y1 ? (2 ? 2? )z1 ? 0

, 得 10 分

2? 2? ,即得平面 BDM 的一个法向量为 n ? (1,?1, ) 1? ? 1? ?

?

由 题 可 知 , OA ? (2,0,0) 是 平 面 ABF 的 一 个 法 向 量 , 因 此 ,
| cos ? OA, n ?|? | OA ? n | ? | OA | ? | n | 2 2 2? 4? 2 (1 ? ? ) 2 ? 1 1 ,? ? , 2 6

即点 M 为 EC 中点

此时, S ?DEM ? 2 , AD 为三棱锥 B ? DEM 的高,
1 3 4 3

所以, VM ? BDE ? VB? DEM ? ? 2 ? 2 ?

???

14 分

19. 解: (1)∵ Sn ? na n ?2n(n ?1) ①,∴ Sn?1 ? (n ? 1)a n?1 ?2(n ? 1)n ②,②- ①,

an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 4n ,∴ an?1 ? an ? 4 ,又∵等比数列 {bn }, T5 ? T3 ? 2b5 ,
∴ T5 ? T3 ? 2b5 ? b4 ? b5 , q ? 1 ,∴ a1 ? 1 ,∴数列 {an } 是 1为首项, 4 为公差的等

差 数 列 , ∴ an ? 1 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 3 ; ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 得
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (4n ? 3)(4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ) ,∴ (1 ? ) ? M n ? , ∴ M n ? (1 ? ? ? ? ??? ? 4 5 4 4 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 4 4n ? 1 1 1 即 ? Mn ? . 5 4 20. 解: (1)因为焦点为 F(0,1),所以 a ? 4 ,从而所求的抛物线方程为 x2 =4y. (2)证明:由已知显然直线 AB 的斜率 k 存在且不为 0,则可设直线 AB 的方程为 y =kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

? x 2=4 y, 由? 消去 y,得 x2-4kx-4=0,显然Δ =16k2+16>0. ? y=kx+1
1 2 1 x ,所以 y′= x,所以,直 4 2 1 1 线 AM 的斜率为 kAM= x1,所以, 直线 AM 的方程为 y-y1= x1(x-x1), 又 x12 =4y1, 2 2 所以,直线 AM 的方程为 x1x=2(y+y1)①,同理,直线 BM 的方程为 x2x=2(y+ x +x y2)②,②-①并据 x1≠x2 得点 M 的横坐标 x= 1 2 ,即 A、M、B 三点的横坐标 2 成等差数列. (2)解:由①②易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)(k≠0). 2 1 所以 kMF= =- ,又因为直线 AB 的斜率为 k,所以 CD ? AB . k ?2 k 1 a 21.解: (Ⅰ)任取 x ? [0,1] , 则 ? x ? [?1,0],f (? x ) ? -2x ? -x ? e 2x ? ae x , e e

所以 x1+x2=4k,x1x2=-4,由 x2=4y,得 y=

又 f(x)是偶函数,故 x ?[0,1] 时,f(x) ? f (?x) ? e2x ? aex . (Ⅱ) g ( x) ? (
x2 3 ? x ? 2 ? )[e 2 x ? f ( x)] a a

=(

x2 3 x2 3 ? x ? 2 ? )(e 2 x ? e 2 x ? aex ) = ( ? x ? 2 ? ) ? aex ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x a a a a

g ' ( x) f ?( x) ? ( x ? a ? 3)( x ?1)ex
可知g(x)在区间 [0, 1]单调递增 .
此时 g min ( x) ? g(0) ? ?2a ? 3 ? e ? a ?

- a - 3 ? 1,即a ? -4时,可得 x ?[0,1]时g ' (x) ? 0,

-e-3 , 又a ? ?4.故a ? ?4时可满足题意 . ?13 分 2

综上可知:当 a ? ?4 , g ( x) 的图象恒在直线 y=e 上方

2015 届高考数学模拟题答题卷
一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分,请将正确答案填在答卷上)

9、
试室号

10、 14、 15、

11、

12、

13、

三、解答题(共 6 题 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、(本题满分12分)

姓名

17、(本题满分12分)
考号 班级

18、(本题满分14分)

19、 (14 分)

20、(本题满分14分)

21、 (本小题满分 14 分)


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