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高一数学《2.2.2对数函数及其性质(第一课时)》教案


2.2.2 对数函数及其性质(第一课时)
汕头市渔洲中学
【教学目标】 (一)知识与技能目标 (1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数 函数的概念,并根据定义能判断哪些函数是对数函数、求函数的定义域; (2)能画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的性质; (二)过程与方法 引导学生自主学习,通过实例的关系式类比指数函数的形式

定义,自己尝试 给出对数函数的定义并归纳满足对数函数的条件; 经历函数 y ? log2 x 和 y ? log 1 x 的画法 , 观察其图像特征并用代数语言进行
2

辛林海

描述得出函数性质; (三)情感态度与价值观 培养学生的数形结合思想,让学生养成善于观察、归纳的好习惯. 【教学重点、难点】 重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图像和性质. 难点:对数函数的性质的应用 教学过程 一、复习引入: 1、指对数互化关系:

ab ? N ? loga N ? b ( a ? 0且a ? 1)
2、 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质.

第 1 页

a>1
6 5

0<a<1
6 5

图 象
-4 -2

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

3、 我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的 细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数,这个函数可以用指数函数 y = 2 x 表示. 现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可 以得到 1 万个,10 万个……细胞,那么,分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的 函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是 x ? log2 y . 如果用 x 表示自变量, y 表示函数,这个函数就是 y ? log2 x . 引出新课--对数函数. 二、新授内容: 1.对数函数的定义: 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 为自变量,定义域为
(0,??) ,值域为 (??,??) .

例 1.

求下列函数的定义域: (2) y ? loga (4 ? x) ;

(1) y ? loga x 2 ;

分析:此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定义域(0,+∞)求解. 解: (1)由 x 2 >0 得 x ? 0 ,∴函数 y ? loga x 2 的定义域是 ?x | x ? 0?;

第 2 页

(2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 ,∴函数 y ? loga (4 ? x) 的定义域是 ?x | x ? 4? ; 课堂练习 1.(P73、2)求下列函数的定义域: (1)y= log5 (1-x) (3)y= log 7
1 1 ? 3x

解: (1)由 1-x>0 得 x<1

∴所求函数定义域为{x|x<1};
1 ∴所求函数定义域为{x|x< }; 3

? 1 ?0 1 ? (3)由 ?1 ? 3x , 得x ? 3 ? ?1 ? 3x ? 0
2.对数函数的图象:

通过列表、描点、连线作 y ? log2 x 与 y ? log 1 x 的图象:
2
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5

1
-1

1.5 1

0.5

1
1

1

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8 -1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5

思考: y ? log2 x 与 y ? log 1 x 的图象有什么关系?
2

3. 练习:教材第 73 页练习第 1 题. 1.画出函数 y= log3 x 及 y= log1 x 的图象,并且说明这两个函数的相同性质和不
3

同性质. 解: 相同性质: 两图象都位于 y 轴右方, 都经过点 (1, 0) , 这说明两函数的定义域都是(0,+∞) ,且当 x=1,y=0. 不同性质: y= log3 x 的图象是上升的曲线, y= log1 x 的
3

图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数, 后者在(0,+∞)上是减函数. 4.对数函数的性质 由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质.

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a>1
3 3 2.5 2.5 2 2

0<a<1


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5



1

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6

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8

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1

-0.5

1

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3

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7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 性 质 值域:R 过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 三、讲解范例: 例 2.比较下列各组数中两个值的大小: ⑴ log2 3.4, log2 8.5 ; ⑵ log0.3 1.8, log0.3 2.7 ; ⑶ loga 5.1, loga 5.9(a ? 0, a ? 1) . 在(0,+∞)上是减函数

解:⑴考查对数函数 y ? log2 x ,因为它的底数 2>1,所以它在(0,+∞)上 是增函数,于是 log2 3.4 ? log2 8.5 . ⑵考查对数函数 y ? log0.3 x ,因为它的底数 0<0.3<1,所以它在(0,+∞) 上是减函数,于是 log0.3 1.8 ? log0.3 2.7 . 小结 1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤: ① 确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小. ⑶当 a ? 1 时, y ? loga x 在(0,+∞)上是增函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 ; 当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 在(0,+∞)上是减函数,于是 loga 5.1 ? loga 5.9 . 小结 2:分类讨论的思想.

第 4 页

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还是小于 1.而已知条件并未 指明, 因此需要对底数 a 进行讨论, 体现了分类讨论的思想, 要求学生逐步掌握. 练习 2、 (P73、3) (1) lg 6
(3) log 2 0.5
3

lg 8

(2) log0.5 6

log0.5 4 log1.5 1.4

log 2 0.6
3

(4) log1.5 1.6

五、课堂小结 ⑴对数函数定义、图象、性质; ⑵求对数的定义域; ⑶比较两个数的大小. 六、课后作业: 1.教材 P74:A 组 第 7、8 题 2. 《全品》P33~34 面。

第 5 页

四、练习 1。 (P73、2)求下列函数的定义域: (1)y= log5 (1-x) (2)y=
1 log2 x

(3)y= log 7

1 1 ? 3x

(4) y ? log3 x
解: (1)由 1-x>0 得 x<1 ∴所求函数定义域为{x|x<1}; ∴所求函数定义域为{x|x>0 且 x≠1};
1 ∴所求函数定义域为{x|x< }; 3

(2)由 log2 x≠0,得 x≠1,又 x>0

? 1 ?0 1 ? (3)由 ?1 ? 3x , 得x ? 3 ? ?1 ? 3x ? 0
?x ? 0 ?x ? 0 , 得? (4)由 ? ?log 3 x ? 0 ? x ? 1

∴x≥1

∴所求函数定义域为{x|x≥1}.

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