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例谈导数综合题中数形结合的应用


? l 4?   中学教研 ( 数 学)   例 谈 导 数 综 合 题 中 数 形 结 合 的 应 用  ●张传 鹏  ( 杭州市外国语学校 浙江杭州 3 1 0 0 2 3 )   纵 观近 几年全 国各地 区 的数学 高考 , 每年 都有  导 数试 题 , 且 有一 道大题 考查 利 用导 数研 究 函数 的  在( 一 1 , m) 上有 2个不相等的实数根, 即   △= 3 6+1 2 ( m   一 4 m_ + 4 )> 0;   g (一1 )=3 (一1 )  + 6一( m   一 4 m+ 4 )> 0;   g ( , 扎 )= 3 m   + 6一( m   一 4 m+ 4 )> 0;   m > 1.   极值 、 单调区间、 实际应用或证明不等式 , 尤其是试  题 中含 有参 数需要 分类 讨论 时 , 使得 本 已抽象 的 问  题 更加 复杂 化. 许 多 学 生 在 学 习 和解 答 时 , 十分 茫  然, 不知从何下手. 其实在解决此类问题时 , 若能将  抽象 化为直观 , 并时刻 给学 生渗透 “ 数形 结合思  想” , 则 问题 可 以变得更 简 单 明 了.   解得  2</ 7 / , < 5 .   -  又 因为 一1<m <3 , 所  以 m 的取 值 范 围 为 ( 2 , 3 ) ,   0  .   例1  已 知函 数   ) = ÷   。 一  一 3 x ,   Ⅳ(   )   从 而满足 题 设 条 件 的 t 的最  小值 为 2 .   在 , ,  (   <   ) 处取 得 极 值 , 记 点 M(  , f (  ) ,   ) ) , P( m, f ( m) ) , 其 中  <m <  . 若 对  与 曲线  ) 均 有异 于  任 意 的 m∈( t ,  ) , 线 段  论.   解法 2   由,  (  )=   一 2  一 3:(  一 3 ) (  +1 ) ,   M, P的公 共点. 试确定 t 的 最小 值 , 并 证 明你 的结  ( 2 0 0 9年福 建省 数 学 高考 理科试 题 )   解法 1  f   (  )=   一 2  一 3:(  一 3 ) (  +1 ) ,   得 函 数 f(  ) 的单调递 增 区   间 为 (一 ∞ ,一 1 )和 ( 3 ,   图 1   +∞ ) ,单 调 递 减 区 间 为  得 函数- 厂 (  ) 的单 调 递 增 区间 为 (一∞ , 一1 ) 和( 3 ,   +∞ ) , 单调递 减 区间为 (一1 , 3 ) , 因此  ( 一 1 , 3 ) ,从 而   l 一 1 , ÷l , Ⅳ( 3 ,一 9 ) ,   P f   m , 等一 m   一 3 m 1 . 若 对 任 意 的 m ∈ ( £ ,   : ) , 线 段   MP与 曲线f (  ) 均有 异 于 M, P 的公 共 点 , 由图1   ( _ l ,  N ( 3 , - 9 ) , 尸 ( m 号 3   一 3 m ) ,   从 而直 线 MP 的方程 为   m 一4m 一5   m  一4m  知: 当线段 MP 与 曲线厂 (  ) 相切 时 , t 取到最小值,   即  : ,   ( m) , 亦 即  、  y  —— —  + —_ .  .   m 一4m 一5   m  一4m  1

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