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上海市曹杨中学高一摸底考数学卷参考答案(打印1份)


2015 学年第一学期上海市曹杨中学摸底考
高一数学试卷
考生注意∶ 1.本试卷含三个大题,共 22 题;答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作 答,在试卷、草稿纸上答题一律无效; 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在相应位置上写出证明或计算的主 要步骤。

参考答案
满分 100 分)

2015.8

(时间 90 分钟

一、填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,满分 36 分)
3 3 1、请写出立方和差公式: a ? b ? ________ (a ? b) ? (a 2 ? ab ? b2 ) __________

2、因式分解: 5x2 ?14 xy ? 8 y 2 ? __ (5 x ? 4 y)( x ? 2 y) _________
?2 3 ?1 0 2 ? ? 3、计算: (? ) ? 4 ? 3 ? (? ? 3) ? tan 30 ? cos 60 =___100.5_______

1 6

b、 c ,在数轴上的位置如右图.化简: 4、实数 a、
a + b- c 2

a

c

0

b

a + 2ac + c =
2 2

b

.

5、将反比例函数 y = 象的对称中心是

3 的图象向左平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位,得到的函数图 2x
.

(- 3, 1)

6、一次函数 y = (m + 2) x + m - 4 的图象不经过第二象限,则 m 的取值范围是

- 2< m? 4
7、函数 y =

.

2- x +

1 1x

的自变量 x 的取值范围是

0 ? x < 1 或 1< x ? 2

.

8、等腰三角形的一腰长为 5cm , 底边长为 6cm , P 是底边上任意一点.则点 P 到两腰的 距离之和是

24 5

cm .

9、将一张画有直角坐标系的纸片对折,使得原直角坐标系中的点 P(1 , 3) 和 Q(3, 1) 重合, 那么原直角坐标系中的点 (- 1 , 3) 和点

(3, -1)

也重合,

10、如图, AB 是⊙O 的切线, A 为切点, AC 是⊙O 的 弦, CB ^ AB ,垂足是 B ,且 CB 交⊙O 于 E ,

C 0
.

AE 平分 ?CAB ,若 AE = 4 ,则 AB =

2 3
1

A

E B

11.沙尘暴发生时,风暴经过开阔荒漠时加速,经过乡镇、遇到 防护林则减速,最终停止。某气象研究所观察一场沙尘暴从发生 到结束的全过程,记录了风速 y(km/h) ,随着时间 t(h)变化的图 象(如图 3-4) 。试写出沙尘暴风速 y 与时间 t 之间的函数关系式
y(km/h) 32 8 0 4 10 25 57 t(h)

0?t ?4 ? 2t ? 4t ? 8 4 ? t ? 10 ? __________ y ? ? ____________________ 32 10 ? t ? 25 ? ? ??t ? 57 25 ? t ? 57
12、已知二次函数 y=kx2+(2k- ,则对于 1)x- 1与 x 轴交点的横坐标为 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 下列 结论:①当 x=-2 时,y=1;②当 x ? x2 时,y>0;③方程 kx2+(2k- 1)x ?1 =0 有 两个不相等的实数根 x1 、 x2 ;④ x1 ? ?1, x2 >-1 ;⑤ x2-x1= 结论是 ①③

1+4k 2 ,其中所有正确的 k

二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)
13、二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图 3-7 所示,则下列结论正确的是( C ) A.a>0,b<0,c>0 C.a<0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c<0
2

14、下列命题中:①几个有理数相乘,如果负因数个数是奇数,则积必为负;②两数之积为 1,那么这两数都是 1 或都是-1;③两个实数之和为正数,积为负数,则两数异号,且正数 的绝对值大;④一个实数的偶次幂是正数,那么这个实数一定不等于零,其中错误的命题的 个数是( B ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

15、非零实数 k 满足条件 k + k = 0 ,则在直角坐标系中,函数 y = kx 与 y = 应是( D )
y y y y

2

k 的图象 x

0 A

x

0

x

2 0 C

x

0

x

B

D

16、已知某函数 y = f ( x) 的图象如右,若关于 x 的方程 f ( x) = 2a - 1 有且仅有 2 个解,
y

则实数 a 的取值范围是( A ) A. a >

3 1 或 a= 2 2

B.

1 ? a 2

3 2

C. a > 2 或 a = 0

D. 0 < a < 2

2 x

-1 0 1 2 3

17、如图,已知 ?ABC 中,BC=8,BC 上的高 h ? 4 ,D 为 BC 上一点, EF / / BC ,交 AB 于 点 E,交 AC 于点 F(EF 不过 A、B) ,设 E 到 BC 的距离为 x ,则 ?DEF 的面积 y 关于 x 的函 数的图象大致为( D )

三、简答题(每小题 6 分,共 24 分)
18、 (1)解关于 x 的不等式: a ? x ?1? ? x ? 2 解:整理得 ? a ?1? x ? a ? 2

a?2 ; a ?1 a?2 当 a ? 1 时,原不等式的解为 x ? ; a ?1
当 a ? 1 时,原不等式的解为 x ? 当 a ? 1 时,原不等式可化为 0 ? x ? ?1 ,原不等式的解集为一切实数.

(2)解关于 x 的不等式组 ?

?x ? a ? 3 . ??2 x ? 3 ? 1

解:当 a<=-2 时,无解;当 a>-2 时,1<x<3+a

19、解方程: x2 - 3x +

x2 - 3x - 1 = 13 .

解:设 x2 - 3x - 1 = t ,则 t …0 , 原方程变为 t 2 + t - 12 = 0 , 解得 t = - 4 (舍)或 t = 3 ,
3

于是 x2 - 3x - 1 = 3 , 两边平方,得 x 2 - 3x - 10 = 0 , 解得 x = - 2 或 x = 5 , 经检验得 x = - 2 和 x = 5 都是原方程的解

20、已知抛物线 y ? x ? ? m ? 2? x ? 4m ,在 x 轴上截得的线段长为 5,求实数 m 的值
2

解:令 x ? ? m ? 2? x ? 4m ? 0 ,设该方程的两个根分别为 x1 ,x2 ,根据题意,得:
2

x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 5 ,得: ? m ? 2 ? ? 16m ? 25 ,
2

解得; m ? 1或m ? ?21 ,又 ? ? 0 ,经检验, m ? 1或m ? ?21 均符合.

2 21 已知函数 y ? ? x ? ax ?

a 1 ? , 4 2

(1)当 0 ? x ? 1 时,函数随着 x 的增大而增大,求实数 a 的取值范围. (2)当 0 ? x ? 1 时,函数的最大值是 2,求实数 a 的值。 解: (1)由已知

a ? 1 ,所以 a ? 2 . 2
2

a? 1 ? (2) y ? ? ? x ? ? ? (a 2 ? a ? 2) 2? 4 ?
①当 0 ?

a 1 ? 1 即 0 ? a ? 2 时, ymin ? (a 2 ? a ? 2) ? 2 , 2 4

解得 a ? 3或a ? ?2 ,不合要求舍去;

a ? 0 即 a ? 0 时, ymin ? f (0) ? 2 ,解得 a ? ?6 ; 2 a 10 ③当 ? 1 即 a ? 2 时, ymin ? f (1) ? 2 ,解得 a ? ; 3 2 10 综上, a ? ?6 或 a ? . 3
②当

四、解答题:(10+15)
22、阅读并学习下列知识点,然后解决所提出的问题 “在客观世界中,有些不等关系式永远成立的。例如,在周长相等时,圆的面积比正方形的 面积大,正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。 对于这些不等关系的证明,常常会归结为一些基本不等式。下面,我们学习两个最常见的基
4

本不等式。 基本不等式 1 对于任意实数 a 和 b ,有 a 2 ? b2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立。

? a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 ? 0
证明:

? a 2 ? b 2 ? 2ab 当a ? b时, (a ? b) 2 ? 0;当a ? b时, ( a ? b) 2 ? 0

所以,当且仅当a ? b时,a 2 ? b 2 ? 2ab的等号成立 a?b ? ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立。 基本不等式 2 对于任意正数 a 和 b ,有 ” 2

(1)请证明基本不等式 2 (2)某新建居民小区欲建一面积为 700 平方米的矩形绿地, 在绿地四周铺设人行道, 设计要求绿地长边外人行道宽 3 米, 短边人行道宽 4 米,如图所示(单位:米) 。问:怎样设计绿 地的长与宽,才能使人行道的占地面积最小? 4

绿地
3

因为a、b为正数,所以 a、 b均存在 由基本不等式1,得
证明: (1) ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab

当且仅当 a ? b时等号成立 a?b 即 ? ab,当且仅当a ? b时等号成立 2
解: (2)设矩形绿地长为 x 米,则宽为 人行道的占地面积为 S ? ( x ? 8)( 因为 6 x ?

700 米。 x

700 5600 ? 6) ? 700 即 S ? 6 x ? ? 48 x x

7 5600 ? 2 33600 ? 80 21 ,当且仅当 x ? 20 时,人行道的占地面积最小, x 3

此时

700 700 ? x 7 20 3

答:当设计绿地的长与宽分别为 x ? 20

7 700 米与 米时,人行道的占地面积最小。 3 7 20 3
5

23、 (15 分,第一问 5 分,第二问 4 分,第三问 6 分)

B 两点,点 A 在原点左边,点 B 在原 如图,二次函数 y = x2 + bx + c 的图象与 x 轴交于 A、
点右边,点 P(1 , m)(m > 0) 在抛物线上,且 AB = 2 , tg? PAO (1)求 m 的值; (2)求二次函数的解析式; (3) x 轴下方的抛物线上是否存在点 E ,使 D EAO 的面积等于 D PAO 的面积的 1.5 倍, 若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由. 24.解:(1)作 PQ ^ x 轴于 Q ,则 OQ = 1 , PQ = m . ∵ tg? PAO
A O B P x y

2 . 5

PQ 2 5 = ∴ AQ = m AQ 5 2
5 m- 1 , 2
y P A O BQ x

AO = AQ - OQ =

5 5 BO = AB - AO = 2- ( m- 1) = 3- m 2 2 5 5 ∴ A(1- m, 0) , B(3- m, 0) 2 2
∴抛物线的解析式为 y = ( x - 1+

5 5 m)( x - 3 + m)????(*) 2 2 5 5 5 5 m)(1- 3 + m) , m = m(- 2 + m) 2 2 2 2

∵ P(1 , m) 在抛物线上, \ m = (1- 1+

? m ? 0 , ∴ 1= 5 (- 2 + 5 m) ,∴ m = 24 2 2 25
(2) m =

24 代入 (*) ,得 25
7 3 ( x + )( x - ) , 5 5 \ y = x2 + 4 21 x5 25

5 24 5 24 y = ( x - 1+ ? )( x 3 + ? ) 2 25 2 25
(3)设 E 存在且 E ( x0, y0 ) ∵ SD AOE =

3 1 SD AOP ,∴ | y0 |?AO 2 2

3 1 3 3 24 鬃m AO , ∴ | y0 |= m = ? 2 2 2 2 25

36 25

y0 =

36 36 或 y0 = 25 25 4 21 2 x= ( x + )2 - 1… - 1,∵ E 在 x 轴下方, ∴ - 1? y0 < 0 5 25 5

? y = x2 +

∴点 E 不存在

6


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