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直线与方程知识点总结


段考复习总结
3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向 与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小 写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的 斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 (理解) 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之, 如果它们的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个 前提,结论并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之, 如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 (理解)

直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) , 且 斜 率 为 k 0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
2、 、 直线的斜截式方程: 已知直 线 l 的斜率为

k ,且与 y 轴的交点为 (0, b)
3.2.2 直线的两点式方程

y ? kx ? b
(理解)

1 、直线的两点式方程:已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 1 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程: 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴

的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 3.2.3 直线的一般式方程 (理解) 1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0(A,B 不同 时为 0) 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 (重点) 3.3.1 两直线的交点坐标 (理解,实际上是解方程) 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 : 3x+4y-2=0 L1 : 2x+y +2=0

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

解方程组

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离 (直接背,实际上是勾股定理) 两点间的距离公式: 3.3.3 点到直线的距离公式(直接背) 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,
l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

C1 ? C2 A2 ? B 2



第四章 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆与方程

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 上 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 (理解)

(2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆

1、圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系 数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征 明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 (理解,记得点到直线距离公式是基础)

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆 心 (? 点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外 切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内 含; 4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步: 建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何元素, (理解)
D E , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几 2 2

将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
R M O P Q M' y

x


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