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高一数学函数试题及答案


函数与基本初等函数
一、选择题 1.(2009· 汕头金山中学月考)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( ) A.y=-x3,x∈R B.y=sinx,x∈R 1 C.y=x,x∈R D.y=( )x,x∈R 2 2.(2009· 广东卷文)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1, 则 f(x)= ( ) 1 A.log2x B. x 2 1 - C.log x D.2x 2 2 3.已知函数 f(x)=ax3+bx2+c 是奇函数,则 ( ) A.b=c=0 B.a=0 C.b=0,a≠0 D.c=0 4.函数 f(x+1)为偶函数,且 x<1 时,f(x)=x2+1, 则 x>1 时,f(x)的解析式为 ( A.f(x)=x2-4x+4 C.f(x)=x2-4x-5 5.函数 f(x)= B.f(x)=x2-4x+5 D.f(x)=x2+4x+5 )

3x2 +lg(3x+1)的定义域是 1-x

( ) 1 1 A.(- ,+∞) B.(- ,1) 3 3 1 1 1 C.(- , ) D.(-∞,- ) 3 3 3 6. (2008· 重庆)若定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意 x1, 2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) x +1,则下列说法一定正确的是 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 f(x)-f(-x) 7.(2008· 全国Ⅰ)设奇函数 f(x)在(0,+∞)内为增函数,且 f(1)=0,则不等式 x <0 的解集为 ( ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 1 1 8.设 a,b,c 均为正数,且 2a=log1a,( )b=log1b,( )c=log2c,则 2 2 2 2 ( A.a<b<c C.c<a<b 二、填空题 B.c<b<a D.b<a<c )

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1 log x+2的定义域是____________. 2 13 - 10.已知函数 f(x)=ax+b 的图象经过点(-2, ),其反函数 y=f 1(x)的图象经过点 4 (5,1),则 f(x)的解析式是________. 1+ax 11.函数 f(x)=ln (a≠2)为奇函数,则实数 a 等于________. 1+2x 9.函数 y= 12.方程 x2-2ax+4=0 的两根均大于 1,则实数 a 的范围是________. 13.(2008· 上海)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(- ∞,4],则该函数的解析式 f(x)=________. 14.函数 f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 三、解答题 15.设 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且 f(x)-g(x)=x2-x,求 f(x),g(x).

1 1 16.设不等式 2(log x)2 +9(log x)+9≤0 的解集为 M,求当 x∈M 时,函数 f(x)= 2 2 x x (log2 )(log2 )的最大、最小值. 2 8

1 17.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x

ax2+1 18.设函数 f(x)= 是奇函数(a,b,c 都是整数),且 f(1)=2,f(2)<3. bx+c (1)求 a,b,c 的值; (2)当 x<0,f(x)的单调性如何?用单调性定义证明你的结论.

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参考答案 1 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在 其定义域内不是奇函数,只是减函数;故选 A. 2 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数是 f(x)=logax,又 f(2)=1,即 loga2=1,所以,a=2,故 f(x)=log2x,选 A. 3 ∵f(x)是奇函 数,∴f(0)=0,∴c=0. ∴-ax3-bx2=-ax3+bx2,∴b=0,故选 A. 4 因为 f(x+1)为偶函数,所以 f(-x+ 1)=f(x+1),即 f(x)=f(2-x);当 x>1 时,2-x<1,此时,f(2-x)=(2-x)2+1,即 f(x)=x2 ? ?1-x>0 1 ? -4x+5. 5 ,解得- <x<1.故选 B.6 令 x=0,得 f(0)=2f(0)+1,f(0) 3 ? ?3x+1>0 =-1, 所以 f(x-x)=f(x)+f(-x)+1=-1,而 f(x)+f(-x)+1+1=0,即 f(x)+1=-, 所以 f(x)+1 为奇函数, 故选 C. 7 因为 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 2f(x) 于是不等式变为 <0,根据函数的单调性和奇偶性,画出函数的示意图(图略),可知不 x 2f(x) 等式 <0 的解集为(-1,0)∪(0,1). 8 如下图: x

∴a<b<c. A 9 (0,4] 10 f(x)=2x +3 11 依题意有 f(-x)+f(x)=ln 1-ax 1+ax +ln =0,即 1-2x 1+2x

1-ax 1+ax · =1,故 1-a2x2=1-4x2,解得 a2=4,但 a≠2,故 a=-2. 1-2x 1+2x 12 解法一:利用韦达定理,设方程 x2-2ax+4=0 的两根为 x1、x2, ?(x1-1)(x2-1)>0, ? 5 则? 解之得 2≤a< . 13 f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x 2 ? ?(x1-1)+(x2-1)>0, +2a2 是偶函数,则其图象关于 y 轴对称.∴2a+ab=0?b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,且值 域为(-∞,4],∴2a2=4,∴f(x)=-2x2+4. -2x2+4 ?a≤-1, ? 2 14 设 g(x)=3x -ax+5,已知?6 解得-8≤a≤-6.

?g(-1)≥0, ?

15 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x);g(x)为偶数,∴g(-x)=g(x).f(x)-g(x)=x2-x ∴f(-x)-g(-x)=x2+x 从而-f(x)-g(x)=x2+x,即 f(x)+g(x)=-x2-x, 1 1 16 ∵2(log x)2+9(log x)+9≤0, 2 2 1 1 1 3 11- 1 11 3 1 ∴(2log x+3)(log x+3)≤0.∴-3≤log x≤- .即 log ( ) 3≤log x≤log ( )- ∴( )- 2 2 2 2 22 2 22 2 2 3 1- ≤x≤( ) 3,即 2 2≤x≤8.从而 M=.又 f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log2x-4log2x+3 2 2 2 3 =(log2x-2)2-1.∵2 2≤x≤8,∴ ≤log2x≤3.∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=-1;当 2 log2x=3,即 x=8 时,ymax=0. ?f(x)-g(x)=x2-x ?f(x)=-x ? ? ? ?? 2 2 ? ? ?f(x)+g(x)=-x -x ?g(x)=-x
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17 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)· x+ax,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. (1)设 f(x)图象上任意一点的坐标为(x,y),点(x,y)关于点 A(0,1)的对称点(-x,2-y) 在 h(x)的图象上. 1 ∴2-y=-x+ +2, -x 1 1 ∴y=x+ ,即 f(x)=x+ . x x 1 (2)g(x)=(x+ )· x+ax,即 g(x)=x2+ax+1. x a g(x)在(0,2]上递减?- ≥2,∴a≤-4. 2 ax2+1 18 (1)由 f(x)= 是奇函数, bx+c 得 f(-x)=-f(x)对定义域内 x 恒成立,则 a(-x)2+1 ax2+1 =- ?-bx+c=-(bx+c)对定义域内 x 恒成立,即 c=0. b(-x)+c bx+c
? b ?f(1)=2 又? ? ? 4a+1 ?f(2)<3

?a+1=2 ① ? ? 2b <3 ②

2b-3 3 由①得 a=2b-1 代入②得 <0?0<b< ,又 a, 2b 2

b,c 是整数,得 b=a=1. x2+1 1 (2)由(1)知,f(x)= =x+ , x x 当 x<0,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在上单调递增. 同理,可证 f(x)在[-1,0)上单调递减.

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