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希望杯培训试题 直线 圆 圆锥曲线


希望杯竞赛讲座
基础知识导引
一、直线与圆 1,两点间的距离公式:设 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) ,则 P P2 ? 1 1 2

直线 圆 圆锥曲线

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ;

2,线段的定比分点坐标公式:设 P ( x1 , y

1 ), P ( x2 , y2 ) ,点 P( x, y) 分 PP 的比为 ? ,则 1 2 1 2

x?
3,直线方程的各种形式

x1 ? ? x2 y ? ? y2 ,y? 1 (? ? ?1) 1? ? 1? ?
(2),斜截式: y ? kx ? b ; (3),两点式:

(1),点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ;

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

(4),截距式:

x y ? ? 1(a, b ? 0) ;(5),一般式: Ax ? By ? C ? 0( A, B 不同为零); a b

(6)参数方程: ?

? x ? x0 ? t cos ? (t 为参数, ? 为倾斜角, t 表示点 ( x, y ) 与 ( x0 , y0 ) 之间的距离) ? y ? y0 ? t sin ?

4,两直线的位置关系 设 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (或 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ).则 1 (1), l1 // l2 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 且 AC2 ? A2C1 ? 0 (或 k1 ? k2 且 b1 ? b2 ); 1 1 (2), l1 ? l2 ? A A2 ? B1B2 ? 0 (或 k1 ? k2 ? ?1 ). 1 5,两直线的到角公式与夹角公式: (1),到角公式: l1 到 l2 的到角为 ? ,则 tan ? ?

k2 ? k1 0 0 ,( 0 ? ? ? 180 ); 1 ? k1k2
k 2 ? k1 0 0 ,( 0 ? ? ? 90 ). 1 ? k1k 2

(2),夹角公式: l1 与 l2 的夹角为 ? ,则 tan ? ?

6,点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ? 0 7,圆的方程

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

(1),标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? R ,其中 ( a, b) 为圆心坐标,R 为圆半径;
2 2 2 2 2 (2),一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,其中 D ? E ? 4F ? 0 ,圆心为 (?
2 2

D E ,? ) , 2 2

半径为

1 D2 ? E 2 ? 4F . 2

(3),参数方程: ?

? x ? a ? R cos ? ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 R. ? y ? b ? R sin ?
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二、圆锥曲线 椭圆 与两个定点的距离的 和等于常数 双曲线 与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数 抛物线 与一个定点和一条定 直线的距离相等

定义

标准方程

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
(或

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
(或

y 2 ? 2 px
(或 x2 ? 2 py )

x2 y 2 ? ? 1 ), b2 a 2

y 2 x2 ? ?1) a 2 b2
? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt
(或 ?

参数方程

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ?
(或 ?

? x ? a sec? ? ? y ? b tan ?
(或 ?

? x ? b sin ? ) ? y ? a cos ?

? x ? b tan ? ) ? y ? a sec?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

)

焦点

(?c, 0) 或 (0, ?c) c 2 ? a 2 ? b2
(a ? b ? 0)

(?c, 0) 或 (0, ?c) c 2 ? a 2 ? b2
( a ? 0, b ? 0 )

p p ( , 0) 或 (0, ) 2 2

正数 a,b,c, p 的关系 离心率

e?

c ?1 a

e?

c ?1 a x??

e ?1

准线 渐近线

a2 a2 x ? ? (或 y ? ? ) c c

a2 a2 x ? ? (或 y ? ? ) c c
y?? b b x (或 x ? ? y ) a a

p p (或 y ? ? ) 2 2

PF1 ? a ? ex0 PF2 ? a ? ex0
焦半径 (或 PF ? a ? ey0 1

PF1 ? ?ex0 ? a PF2 ? ?ex0 ? a
( PF ? ?ey0 ? a , 1

p 2 p (或 PF ? y0 ? ) 2 PF ? x0 ?

PF2 ? a ? ey0 )
统一定义 到定点的距离与到定 直线的距离之比等于定值

PF2 ? ?ey0 ? a ),
(点 P 在左或下支) 的点的集合 ,(注:焦点要与对应 准线配对使用) 5,整体处理

解题思想与方法导引.
1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法.

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直线与圆
一、直线的定义和性质 例题:若点 M ( a, ) 和 N (b, ) 都在直线 l : x ? y ? 1 上,则( A.点 P(c, ) 和 Q ( , b) 都在 l 上 C.点 P(c, ) 在 l 上,点 Q ( , b) 不在 l 上

1 b

1 c



1 a 1 a

1 c

B.点 P(c, ) 和 Q ( , b) 都不在 l 上 D.点 P(c, ) 不在 l 上,点 Q ( , b) 在 l 上

1 a

1 c

1 c

1 a

1 c

练习:钝角三角形中, ?C 为钝角,对应三边分别为 a, b, c ,直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,以下四个命题 (1) l 的倾斜角是钝角 (3) l 和单位圆相切 (2) l 不穿过第一象限 (4) l 过定点

其中正确的命题个数是( A.1

) C.3 D.4

B.2

二、直线方程 例题:直线 l1 : a1 x ? b1 y ? 2 和直线 l 2 : a2 x ? b2 y ? 2 交于点 P(3,2) ,则过点 A(a1 , b1 )、B(a2 , b2 ) 的直线方程是( A. 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 ) B. 3x ? 2 y ? 2 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 2 ? 0

练习:已知直线 l1 : x ? 2 y ? 3 ? 0 与 x 轴交于点 A,直线 l1 绕点 A 逆时针旋转 45 ? 得到的直线方程是

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三、直线与直线的位置关系 例题:已知两直线 x ? y ? 2 与 ax ? y ? 3 的交点在第一象限,则实数 a 的取值范围是

练习:直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 x ?

3 ? 1 ? 0 的位置关系是 2

四、距离 例题:平面上的整点(横纵坐标均为整数的点)到直线 21x ? 35y ? 10 ? 0 的距离的最小值是

练习:直线 l1 过定点 A(3,0) ,直线 l 2 过定点 A(0,4) , l1 // l 2 ,则这两直线的距离的范围是

五、对称 例题:在平面直角坐标系内,从点 P(5,2) 发出的光线射向 x 轴,经 x 轴反射后到直线 y ? x 上,被反射后 恰经过点 Q(10,9) ,则光线由 P 到 Q 走过的路程长度等于

练习:与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 (1,?1) 对称的直线方程是

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六、线性规划的应用 例题:实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 9 ,则 2 x ? 3 y 的最大值与最小值的和等于

?x ? y ? 5≥ 0 ? 练习:画出不等式组 ? x ? y ≥ 0 表示的平面区域,并回答下列问题: ?x ≤3 ?
①指出 x, y 的取值范围;②平面区域内有多少个整点

七、其它应用 例题:当 a, b 均为有理数时,称点 P (a, b) 为有理点,设点 A( 2010 0), B(0, 2011 , , ) 则直线 AB 上 ( A.不存在有理点 ) B.仅有一个有理点 C.仅有两个有理点 D.有无穷多个有理点

练习:已知点 A(2,?2), B(?1, 3) ,过原点的直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的倾斜角范围是

练习:在直角坐标平面内到三直线 x ? 0, y ? 0,4 x ? 3 y ? 12 的距离的平方和最小的点的坐标是

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八、圆的定义与性质 例题:如果圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上各点均满足 2 ? x ? y ? 4 ,那么 r 的最大值与最小值分别是

练习:圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a, b ? R) 对称,则 ab 的取值范 围是 A. (?? , ] ( )

1 4

B. (0, ]

1 4

C. (?

1 ,0) 4

D. (?? , )

1 4

练习:关于 x, y 的方程 x 2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ? 0 在平面直角坐标系中的图形是圆,当这个圆半径最大 时,圆心坐标是

九、直线与圆
2 2 例题:直线 ax ? by ? 1 ? 0 被 x ? y ? 4 截得的弦长为 3 ,则 a ? b 的值等于
2 2

练习:直线 (m ? 1) x ? m y ? 0 和圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 7 ? 0 的位置关系是
2 2

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练习:若不论 k 为何值,直线 y ? k ? x ? 2? ? b 与直线 x 2 ? y 2 ? 1总有公共点,则 b 的取值范围是(



A. ? 3, 3

?

?

B. ? ? 3, 3 ? ? ?

C. ? ?2, 2?

D. ? ?2, 2?

例题:点 P( x, y) 是圆环 2 ? x 2 ? y 2 ? 4 内的任一点,则 2 x 2 ? 3xy ? 2 y 2 的取值范围是

练习:已知点 P( x, y) 是圆 C: ? 2) 2 ? y 2 ? 1上任一点,求范围是 (x (1) x ? 2 y , (2)

y?2 x ?1

十、圆与圆的位置关系 例题:点 P 在圆 C1:x ? y ? 8x ? 4 y ? 11 ? 0 上,点 Q 在圆 C2:x ? y ? 8x ? 4 y ? 11 ? 0 上,
2 2 2 2

则 PQ 的最小值是

练习:经过点 P(?2,4) 且与两圆 C1:x ? y ? 6 x ? 0 和 C2:x ? y ? 4 ? 0 的公共弦为一条弦的圆的
2 2 2 2

方程是

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圆锥曲线
一、定义、性质 例题:圆锥曲线 C 的准线 x ? ?3 ,相应的焦点是 F (1,0) ,如果 C 过定点 M (5,2) ,那么( A. C 是椭圆 B. C 是双曲线 C. C 是抛物线 D. C 的类型不确定 )

练习:方程 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? x ? y ? 3 表示的曲线是
2 2

(填类型)

例题:动点 P 到定点 F (1,1) 的距离等于到直线 l:x ? y ? 1 =0 的距离的 2 倍,则点 P 的轨迹是( ) A.是椭圆 B.是双曲线的一支 C.是等轴双曲线 D.实虚轴不等的双曲线

练习:若平面内的动点 P 到定点 F (1,0) 的距离比 P 点到 y 轴的距离多 1,则动点 P 的轨迹方程是

二、离心率 例题:椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴端点是 A, B ,若椭圆上有一点 P ,使 ?APB ? 120 ? ,则椭圆 a2 b2

的离心率 e 的取值范围是

练习:椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c ,若直线 y ? 2 x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为 c ,则 a2 b2

椭圆的离心率 e ?

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x2 y2 14、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,且|F1F2|=2c,点 A 在椭圆上, AF1 ? F1 F2 ? 0 , a b

AF1 ? AF2 ? c 2 ,则椭圆的离心率 e =
A.





3 3

B.

3 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

2 2
( )

17、已知 C 是椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
B.

? a ? b ? 0? 的半焦距,则

b?c 的取值范围是 a
D.

A.

?1, ???

?

2, ??

?

C.

?1, 2 ?

?1,

2? ?

强化训练
1、在平面直角坐标系中,方程 A,三角形 B,正方形

x? y x? y ? ? 1(a, b 为相异正数),所表示的曲线是( 2a 2b
C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 )

)

2、平面上整点(坐标为整数的点)到直线 y ?

5 4 x ? 的距离中的最小值是( 3 5
C,

A,

34 170

B,

34 85

1 20
0

D,

1 30

3、过抛物线 y 2 ? 8( x ? 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线,若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于( A, ) D, 8 3

16 3

B,

8 3

C,

16 3 3

4、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为( 36 20
B, (?3, 15) C, (3, ? 15) D, (?3, ? 15)

)

A, (3, 15)

5、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 中心的弦 AB, F (c, 0) 是右焦点,则 ?AFB 的最大面积为( a 2 b2
B, ab C, ac D, b
2

)

A, bc

6、已知 P 为双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 上的任意一点, F1 , F2 为焦点,若 ?F1PF2 ? ? ,则 S?F1PF2 ? ( a 2 b2
B,

)

A, b cot

?
2

1 ab sin ? 2

C, b ? a tan
2 2

?
2

D, (a ? b )sin ?
2 2

二、填空题 7、给定点 P(2, ?3), Q(3, 2) ,已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 PQ(包括 P,Q 在内)有公共点,
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则 a 的取值范围是

.

8、过定点 F (a,0) (a ? 0) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 QT ? FQ 交 x 轴于 T 点, 延长 TQ 至 P 点,使 QP ? TQ ,则 P 点的轨迹方程是 .

9、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 交于 M,N 两点,且 OM ? ON ,( O 为 a 2 b2

原点),当椭圆的离心率 e ? [

3 2 , ] 时,椭圆长轴长的取值范围是 3 2

.

x2 y 2 10、已知 F1 , F2 是椭圆 ? ? 1 的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到 y 轴的距离为 16 12

MN ,且 MN 是 MF1 和 MF2 的等比中项,则 MN 的值等于

.

11、已知点 A 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上, ?ABC 是 等边三角形,则 ?ABC 的面积等于 .

x2 y 2 x2 y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F1 , ? ? 1 ( m ? n ? 0 )和双曲线 ? 12、若椭圆 a b m n

F2 ,P 为两条曲线的一个交点,则 PF1 PF2 的值为
三、解答题

.

13、如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(?2, ,直角顶点 B(0, ?2 2) ,顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 0)

OA 的中点。 (Ⅰ)求 BC 边所在直线方程; (Ⅱ)M 为直角三角形 ABC 外接的圆心,求圆 M 的方 程; (Ⅲ)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹。
解:
y

A

P

O

C

x

B

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? x2 y 2 13、设椭圆 ? ? 1 有一个内接 ?PAB ,射线 OP 与 x 轴正向成 角,直线 AP,BP 的斜率 3 2 6
适合条件 k AP ? kBP ? 0 . (1),求证:过 A,B 的直线的斜率 k 是定值; (2),求 ?PAB 面积的最大值. 14、已知 ?AOB ? ? (? 为常数且 0 ? ? ?

?
2

),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得 ?POQ

的面积恒为 36.设 ?POQ 的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足 OM ? (1),求 OG 的最小值; (2),求动点 M 的轨迹方程.

3 OG . 2

15、过抛物线 y 2 ? 2 px ( p 为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交 x 轴于 Q 点. (1),求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程; (2),证明:L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数. 四,解题导引 1,D 令 y ? x ,得 y ? x ? ? a ,令 y ? ? x 得 x ? ? y ? ?b ,由此可见,曲线必过四个点: ( a, a ) ,

(?a, ?a) , (b, b) , (?b, ?b) ,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知
它是非正方形的菱形. 2,B

d?

25x0 ? 15 y0 ? 12 850

?

5(5 x0 ? 3 y0 ) ? 12 5 34

,当 5x0 ? 3 y0 ? ?2 (可取 x0 ? y0 ? ?1 )时,

d min ?

34 (其中 ( x0 , y0 ) 为平面上任意整点). 85

3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线 AB 的方程为 y ? 3x ,因此 A,B 两点的横坐标
2 满足方程: 3x ? 8x ? 16 ? 0 .由此求得弦 AB 中点的横坐标 x0 ?

4 4 ,纵坐标 y0 ? ,进而 3 3

求得其中垂线方程为 y ?

4 16 4 1 4 ?? ( x ? ) ,令 y ? 0 ,得 P 点的横坐标 x ? 4 ? ? , 3 3 3 3 3

即 PF=

16 . 3

4,C 设 P( x0 , y0 ) ,又椭圆的右准线为 x ? 9 ,而 PF ? 2 PF2 ,且 PF ? PF2 ? 12 , 1 1 得 PF2 ? 4 ,又

2 ? e ? ,得 x0 ? 3 ,代入椭圆方程得 y0 ? ? 15 . 9 ? x0 3
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PF2

5,A

(1)当 AB ? x 轴时, S ?AFB ?

1 ? (2b) ? c ? bc ; 2

? y ? kx k 2 a 2b 2 ? 2 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 的方程为 y ? kx ,由 ? x 2 y 2 消去 x 得 y ? 2 . b ? k 2a2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b


A( x1 , y1 )

,

B( x2 , y2 )

,



kab kab 1 1 2ab k2 , y2 ? ? , y1 ? S?AFB ? c( y1 ? y2 ) ? c k ? abc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ?k a b ?k a b ? k 2a2 b ?k a

? abc

1 b ? a2 2 k
2

2

? bc .

6,A 由 F1 F2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ? ? ( PF1 ? PF2 )2 ?2 PF PF2 1
2 2

(1 ? cos ? ) ,得 PF1 PF2 ?
7, [?

1 sin ? ? 2b 2 2 ? b 2 cot . , S ?F1PF2 ? PF1 PF2 sin ? ? b 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ?

4 1 , ] 5 2

设线段 PQ 上任意一点 M ( x0 , y0 ) 且令

PM ? t (0 ? t ? 1) ,则 x0 ? (1 ? t )2 ? 3t PQ
1 ? 2a , a?5

= 2 ? t , y0 ? (1 ? t )(?3) ? t ? 2 ? ?3 ? 5t ,故 a(2 ? t ) ? (?3 ? 5t ) ? 2 ? 0 , t ? 由0 ? t ?1得0 ? 8, y 2 ? 4ax

1 ? 2a 4 1 ? 1 ,解得 ? ? a ? . a?5 5 2

设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? a) ,则 Q 点坐标为 (0, ?ka) ,直线 QT 的方程为

y??

1 x ? ka ,所以 T 点坐标为 (?k 2 a, 0) ,从而 P 点坐标为 (k 2a, ?2ka) ,设 P 的坐标为 k

? x ? k 2a ( x, y ) ,则 ? ,消去 k 可得 P 点轨迹方程为 y 2 ? 4ax . ? y ? ?2 ka

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 9, [ 5, 6] 由 ? a 2 b 2 ,可得 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ?x ? y ? 1 ?



由 OM ? ON 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,将 x1 ? x2 ? ?

2a 2 , a 2 ? b2

1 1 1 1 a 2 ? a 2b 2 3 c 2 x1 x2 ? 2 ? ? 代入得 2 ? 2 ? 2 ,即 2 ? 2 ? 2 ,因为 ,得 2 a b b a a ?b 3 a 2

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3 1 1 b2 1 1 b2 2 ? 1 ? 2 ? ,得 ? 2 ? ,有 ? a 2 ? (2 ? 2 ) ? 2 ,解得 5 ? 2a ? 6 . 2 a 3 a 2 2 a 3
10,

8 5 5

延长 NM 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右准线 l : x ? 8 相交于 D,设 M ( x, y) ,则 16 12

1 1 1 1 MD ? 8 ? x ,因 e ? , 2a ? 8 ,得 MF2 ? MD ? (8 ? x) , MF1 ? 8 ? MF2 ? (8 ? x) , 2 2 2 2
又 MN
2

? MF1 MF2 ,得 x 2 ?

64 8 5 ,故 MN ? . 5 5

11, 3 3

设点 C 在 x 轴上方,由 ?ABC 是等边三角形得直线 AB 的斜率 k ?

3 ,又直线 3

过 A(?1, 0) 点,故方程为 y ?

3 3 ,代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 1,得点 B 的坐标为 x? 3 3

(2, 3) ,同理可得 C 的坐标为 (2, ? 3) ,所以 ?ABC 的面积为 [2 ? (?1)] 3 ? 3 3 .
12, m ? a 不妨设 P 为第一象限的一点,则 PF1 ? PF2 ? 2 m , PF1 ? PF2 ? 2 a ,.得

PF1 ? a ? m , PF2 ? m ? a ,于是 PF1 PF2 ? m ? a .
13,:(1)证明:易知直线 OP 的方程为 y ? 3x ,将此方程代入 3x ? y ? 6 ,可求得交点
2 2

P(1,

3) .由题意可设直线 PA,PB 的方程分别为 y ? 3 ? ?k ( x ?1) 和 y ? 3 ? k ( x ?1) ,
k 2 ? 2 3k ? 3 k 2 ? 2 3k ? 3 , xB ? . 3? k2 3? k2

分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为 xA ?

从而 y A ?

?k (2 3k ? 6) k (?2 3k ? 6) ? 3, yB ? ? 3, 2 3? k 3? k2

所以 k AB ?

yB ? y A 12k 3 ? k 2 ? ? ? 3 (定值). xB ? xA 3 ? k 2 4 3k
2

(2)不妨设直线 AB 的方程为 y ? 3x ? b ,与椭圆方程联立,并消去 y 得 6 x ? 2 3bx +

(b2 ? 6) ? 0 ,有 AB ? ( x A ? xB ) 2 ? ( y A ? yB ) 2 ? 4( x A ? xB ) 2 4[( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB ]
2

= 4[(?

3 2 2 2 4 b) ? (b ? 6)] ? ? b2 ? 16 3 3 3

点 P 到战线 AB 的距离 d ?

3 ? 3 ?b 2

?

b 2

,所以 S

2

?PAB

1 b2 4 ? ? ? (16 ? b2 ) = 4 4 3

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b2 1 b 2 ? (12 ? b 2 ) 2 2 (12 ? b ) ? [ ] ? 3 ,当且仅当 b2 ? 12 ? b2 ,即 b ? ? 6 时, 12 12 2

(S?PAB )max ? 3 .
14,解(1),以 O 为原点, ?AOB 的平分线为 x 轴建立直角坐标系,则可设 P(a cos

?

Q(b cos , ?b sin ) .于是 ?OPQ 的重心 G( xG , yG ) 的坐标为 2 2 1 ? ? 1 ? xG ? (a cos ? b cos ? 0) ? (a ? b) cos , 3 2 2 3 2 1 ? ? 1 ? yG ? (a sin ? b sin ? 0) ? (a ? b) sin 3 2 2 3 2 1 2 2 ? ? 1 2 2 2 2 OG ? xG 2 ? yG 2 ? (a ? b 2 ) ? ab(cos 2 ? sin 2 ) = (a ? b ) ? ab cos ? 9 9 2 2 9 9 1 2 4 ? ? ? 2ab ? ab cos ? ? ab cos 2 . 9 9 9 2
又已知 S?OPQ ?

?

?

, a sin ) 2 2

?

1 72 4 72 ? ab sin ? ? 36, 得 ab ? ,于是 OG ? ? ? cos 2 2 sin ? 9 sin ? 2

? 16cot

?
2

? 4 cot

?
2

,且当 a ? b ?

72 ? 时等号成立,故 OG min ? 4 cot . sin ? 2

(2),设 M ( x, y ) ,则由 OM ?

3 3 1 ? 3 1 OG 得, x ? xG ? (a ? b) cos ? 0 , y ? yG = (a ? b) 2 2 2 2 2 2 ? 72 x y x y sin ,得 a ? ,b ? ,代入 ab ? ,并整理得 ? ? ? ? ? ? sin ? 2 cos sin cos sin 2 2 2 2

x2 36 cot

?
2

?

y2 36 tan

?
2
2

? 1( x ? 0) ,这就是所求动点 M 的轨迹方程.

15,解:(1)抛物线 y ? 2 px 的焦点为 (

p p , 0) ,设 l 的直线方程为 y ? k ( x ? ) (k ? 0) . 2 2

? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? ( pk ? 2 p ) x ? 4 p k ? 0 ,设 M,N 的横坐标分别为 x1 , x2 ? y ? k(x ? ) ? 2
则 x1 ? x2 ?

x ? x2 pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p p p ? ? )? , ,得 xP ? 1 , yP ? k ( 2 2 2 k 2 2k 2k 2 k
1 p 1 pk 2 ? 2 p ). ,PQ 的方程为 y ? ? ? ( x ? k k k 2k 2

而 PQ ? l ,故 PQ 的斜率为 ?

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pk 2 ? 2 p 3 pk 2 ? 2 p 代入 yQ ? 0 得 xQ ? p ? .设动点 R 的坐标 ( x, y ) ,则 ? 2k 2 2k 2

1 p ? ? x ? 2 ( xP ? xQ ) ? p ? k 2 p2 ? 2 ,因此 p( x ? p) ? 2 ? 4 y ( y ? 0) , ? 1 p k ?y ? (y ? y ) ? P Q ? 2 2k ?
故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 4 y 2 ? p( x ? p)( y ? 0) . (2),显然对任意非零整数 t ,点 ( p(4t 2 ? 1), pt ) 都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点. 反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设 x ? 0, y ? 0, m ? 0 ,则

? x 2 ? y 2 ? m 2 (i ) ? ,因为 p 是奇素数,于是 p y ,从 (ii ) 可推出 p x ,再由 (i ) 可推出 ? 2 ? 4 y ? p ( x ? p )(ii ) ? ? x12 ? y12 ? m12 (iii ) ? , p m ,令 x ? px1 , y ? py1 , m ? pm1 ,则有 ? 2 ?4 y1 ? x1 ? 1 (iv) ?
由 (iii) , (iv) 得 x1 ?
2

x1 ? 1 ? m12 ,于是 (8x1 ? 1)2 ? (8m1 )2 ? 17 ,即 4

(8x1 ? 1 ? 8m1 )(8x1 ? 1 ? 8m1 ) ? 17 ,于是 8x1 ? 1 ? 8m1 ? 17 , 8x1 ? 1 ? 8m1 ? 1 ,
得 x1 ? m1 ? 1 ,故 y1 ? 0 ,有 y ? py1 ? 0 ,但 L 上的点满足 y ? 0 ,矛盾! 因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.

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