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【数学】2012新题分类汇编:函数与导数(高考真题+模拟新题)


1 的定义域是________. 6-x-x2 课标文数 13.B1[2011· 安徽卷] 【答案】 (-3,2) 【解析】 由函数解析式可知 6-x-x2>0,即 x2+x-6<0,故-3<x<2. 课标文数 13.B1[2011· 安徽卷] 函数 y= 课标理数 15.B1,M1[2011· 福建卷] 设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f:V→

R 满足: 对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ∈R,均有 f(λa+(1-λ)b)=λf(a) +(1-λ)f(b). 则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质 P 的映射的序号) 课标理数 15.B1,M1[2011· 福建卷] 【答案】 ①③ 【解析】 设 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,则 λa+(1-λ)b=λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2)=(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2), ①f1(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2-[λy1+(1-λ)y2] =λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)=λf1(a)+(1-λ)f1(b), ∴映射 f1 具有性质 P; ②f2(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]2+[λy1+(1-λ)y2], 2 λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(x2 1 +y1 ) + (1-λ)(x2 + y2 ), ∴f2(λa+(1-λ)b)≠λf2(a)+(1-λ)f2(b), ∴ 映射 f2 不具有性质 P; ③f3(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2+(λy1+(1-λ)y2)+1 =λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=λf3(a)+(1-λ)f3(b), ∴ 映射 f3 具有性质 P. 故具有性质 P 的映射的序号为①③.
x ? ?2 ,x>0, ? 课标文数 8.B1[2011· 福建卷] 已知函数 f(x)= 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a ?x+1,x≤0. ?

的值等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 课标文数 8.B1[2011· 福建卷] A 【解析】 由已知,得 f(1)=2; 又当 x>0 时,f(x)=2x>1,而 f(a)+f(1)=0, ∴f(a)=-2,且 a<0, ∴a+1=-2,解得 a=-3,故选 A. 1 +lg(1+x)的定义域是( 1-x B.(1,+∞) D.(-∞,+∞)

课标文数 4.B1[2011· 广东卷] 函数 f(x)= A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞)

)

?1-x≠0, ? 课标文数 4.B1[2011· 广东卷] C 【解析】 要使函数有意义,必须满足? 所 ?1+x>0, ? 以所求定义域为{x|x>-1 且 x≠1},故选 C.

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课标文数 16.B1[2011· 湖南卷] 给定 k∈N*,设函数 f:N*→N*满足:对于任意大于 k 的 正整数 n,f(n)=n-k. (1)设 k=1,则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为________________; (2)设 k=4,且当 n≤4 时,2≤f(n)≤3,则不同的函数 f 的个数为________. 课标文数 16.B1[2011· 湖南卷] (1)a(a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则 f 是正整数 到正整数的映射,因为 k=1,所以从 2 开始都是一一对应的,而 1 可以和任何一个正整数 对应,故 f 在 n=1 处的函数值为任意的 a(a 为正整数); (2)因为 2≤f(n)≤3,所以根据映射的概念可得到:1,2,3,4 只能是和 2 或者 3 对应,1 可 以和 2 对应,也可以和 3 对应,有 2 种对应方法,同理,2,3,4 都有两种对应方法,由乘法 原理,得不同函数 f 的个数等于 16.
? ?lgx,x>0, 课标文数 11.B1[2011· 陕西卷] 设 f(x)=? x 则 f(f(-2))=________. ?10 ,x≤0, ? ? ?lgx,x>0, 课标文数 11.B1[2011· 陕西卷] -2 【解析】 因为 f(x)=? x -2<0,f(-2) ?10 ,x≤0, ? - - - - =10 2,10 2>0,f(10 2)=lg10 2=-2.

大纲文数 16.B1[2011· 四川卷] 函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)[来源:Z§xx§k.Com] 大纲文数 16.B1[2011· 四川卷] ②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义 概念的理解.对于①,如-2,2∈A,f(-2)=f(2),则①错误;对于②,当 2x1=2x2 时,总有 x1=x2,故为单函数;对于③根据单函数的定义,函数即为一一映射确定的函数关系,所以 当函数自变量不相等时,则函数值不相等,即③正确;对于④,函数 f(x)在定义域上具有单 调性,则函数为一一映射确定的函数关系,所以④正确.
?-x,x≤0, ? 课标理数 1.B1[2011· 浙江卷] 设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α=( ? ?x ,x>0. A.-4 或-2 B.-4 或 2 C.-2 或 4 D.-2 或 2 课标理数 1.B1[2011· 浙江卷] B 【解析】 当 α≤0 时,f(α)=-α=4,α=-4; 当 α>0,f(α)=α2=4,α=2.

)

4 课标文数 11.B1[2011· 浙江卷] 设函数 f(x)= ,若 f(α)=2,则实数 α=________. 1-x 4 课标文数 11.B1[2011· 浙江卷] -1 【解析】 ∵f(α)= =2,∴α=-1. 1-α

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大纲理数 2.B2[2011· 全国卷] 函数 y=2 x(x≥ 0)的反函数为( ) x2 x2 A.y= (x∈R) B.y= (x≥0) 4 4 C.y=4x2(x∈R) D.y=4x2(x≥0) y2 大纲理数 2.B2[2011· 全国卷] B 【解析】 由 y=2 x得 x= ,∵x≥0,∴y≥0,则函 4 x2 数的反函数为 y= (x≥0).故选 B. 4 大纲文数 2.B2[2011· 全国卷] 函数 y=2 x(x≥0)的反函数为( x2 x2 A.y= (x∈R) B.y= (x≥0) 4 4 C.y=4x2(x∈R) D.y=4x2(x≥0) )

y2 大纲文数 2.B2[2011· 全国卷] B 【解析】 由 y=2 x得 x= ,∵x≥0,∴y≥0,则函 4 x2 数的反函数为 y= (x≥0).故选 B. 4 1?x 大纲理数 7.B2[2011· 四川卷] 已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=? ?2? +1, 则 f(x)的反函数的图象大致是( )

图 1-2 1?x 大纲理数 7.B2[2011· 四川卷] A 【解析】 当 x>0 时,由 y=? ?2? +1 可得其反函数为 y 1 =log (x-1)(1<x<2),根据图象可判断选择答案 A,另外对于本题可采用特殊点排除法. 2

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课标理数 8.B3[2011· 北京卷] 设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记 N(t)为平行 四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函 数 N(t)的值域为( ) A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

课标理数 2.B3,B4[2011· 课标全国卷] 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增 的函数是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 - C.y=-x2+1 D.y=2 |x| 课标理数 2.B3,B4[2011· 课标全国卷] B 【解析】 A 选项中,函数 y=x3 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C 选项中,y=-x2+1 是偶函数, 1?|x| - 但在(0,+∞)上是减函数; D 选项中, y=2 |x|=? 但在(0,+∞)上是减函数. 故 ?2? 是偶函数, 选 B. 课标文数 3.B3,B4[2011· 课标全国卷] 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增 的函数是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 - C.y=-x2+1 D.y=2 |x| 课标文数 3.B3,B4[2011· 课标全国卷] B 【解析】 A 选项中,函数 y=x3 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C 选项中,y=-x2+1 是偶函数, 1?|x| - 但在(0,+∞)上是减函数; D 选项中, y=2 |x|=? 但在(0,+∞)上是减函数. 故 ?2? 是偶函数, 选 B. 课标数学 2.B3[2011 · 江苏卷] 函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 1 - ,+∞? 课标数学 2.B3[2011· 江苏卷] ? ? 2 ? 【解析】 因为 y=log5x 为增函数,故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为

?-1,+∞?. ? 2 ?

课标文数 12.B3, B7[2011· 天津卷] 已知 log2a+log2b≥1, 则 3a+9b 的最小值为________.
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课标文数 12.B3,B7[2011· 天津卷] 18 【解析】 ∵log2a +log2b=log2ab≥1, ∴ab≥2, ∴3a+9b=3a+32b≥2 3a· 32b=2 3a
+2b

≥2 32

2ab

=18.

(

大纲理数 5.B3[2011· 重庆卷 ] 下列区间中,函数 f(x) = |ln?2-x?|在其上为增函数的是 ) 4? A.(-∞,1] B.? ?-1,3? 3? C.? ?0,2? D.[1,2)

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课标文数 11.B4,B5[2011· 安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2 -x,则 f(1)=________. 课标文数 11.B4,B5[2011· 安徽卷] 【答案】 -3 【解析】 法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(1)=-f(-1) =-2×(-1)2+(-1)=-3. 法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3. 课标理数 3.B4, B5[2011· 安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≤0 时, f(x) = 2x2 -x,则 f(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 课标理数 3.B4,B5[2011· 安徽卷] A 【解析】 法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3,故选 A. 法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3,故选 A. 大纲理数 9.B4[2011· 全国卷] 设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1- 5 ? x),则 f? ) ?-2?=( 1 1 A.- B.- 2 4 1 1 C. D. 4 2 5? ? 1? 大纲理数 9.B4[2011· 全国卷] A 【解析】 因为函数的周期为 2,所以 f? ?2?=f?2+2?= 1? 1 1 ? 5? ?5? f? ?2?=2,又函数是奇函数,∴f?-2?=-f?2?=-2,故选 A. 大纲文数 10.B4[2011· 全国卷] 设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1- 5 ? x),则 f? ) ?-2?=( 1 1 A.- B.- 2 4 1 1 C. D. 4 2 5? ? 1? 大纲文数 10.B4[2011· 全国卷] A 【解析】 因为函数的周期为 2,所以 f? ?2?=f?2+2?= 1? 1 1 ? 5? ?5? f? ?2?=2,又函数是奇函数,所以 f?-2?=-f?2?=-2,故选 A.

课标理数 9.B4[2011· 福建卷] 对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选 取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是 ( ) ...... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 课标理数 9.B4[2011· 福建卷] D 【解析】 由已知, 有 f(1)=asin1+b+c, f(-1)=-asin1 -b+c, ∴ f(1)+f(-1)=2c, ∵ c∈Z,∴ f(1)+f(-1)为偶数, 而 D 选项给出的两个数,一个是奇数,一个是偶数,两个数的和为奇数,故选 D.
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课标理数 4.B4[2011· 广东卷] 设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列 结论恒成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 课标理数 4.B4[2011· 广东卷] A 【解析】 因为 g(x)在 R 上为奇函数,所以|g(x)|为偶函 数,则 f(x)+|g(x)|一定为偶函数. 课标文数 12.B4[2011· 广东卷] 设函数 f(x)=x3cosx+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 课标文数 12.B4[2011· 广东卷] -9 【解析】 由 f(a)=a3cosa+1=11 得 a3cosa=10, 3 所以 f(-a)=(-a) cos(-a)+1=-a3cosa+1=-10+1=-9. 课标理数 6.B4[2011· 湖北卷] 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x) - =ax-a x+2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( ) 15 17 A.2 B. C. D.a2 4 4 课标理数 6.B4[2011· 湖北卷] B 【解析】 因为函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以 - - 由 f(x)+g(x)=ax-a x+2①,得-f(x)+g(x)=a x-ax+2②, ①+②,得 g(x)=2,①-②, 15 - - 得 f(x)=ax-a x.又 g(2)=a,所以 a=2,所以 f(x)=2x-2 x,所以 f(2)= . 4 课标文数 3.B4[2011· 湖北卷] 若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)= ex,则 g(x)=( ) 1 - - A.ex-e x B. (ex+e x) 2 1 - 1 - C. (e x-ex) D. (ex-e x) 2 2 课标文数 3.B4[2011· 湖北卷] D 【解析】 因为函数 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 - ex-e x - f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e x.又因为 f(x)+g(x)=ex,所以 g(x)= . 2 课标文数 12.B4[2011· 湖南卷] 已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)= ________. 课标文数 12.B4[2011· 湖南卷] 6 【解析】 由 g(x)=f(x)+9,得当 x=-2 时,有 g(- 2)=f(-2)+9?f(-2)=-6. 因为 f(x)为奇函数,所以有 f(2)=f(-2)=6. 课标理数 2.B3,B4[2011· 课标全国卷] 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增 的函数是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 - C.y=-x2+1 D.y=2 |x| 课标理数 2.B3,B4[2011· 课标全国卷] B 【解析】 A 选项中,函数 y=x3 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C 选项中,y=-x2+1 是偶函数, 1?|x| - 但在(0,+∞)上是减函数; D 选项中, y=2 |x|=? 但在(0,+∞)上是减函数. 故 ?2? 是偶函数, 选 B. x 课标文数 6.B4[2011· 辽宁卷] 若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4
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)

x 课标文数 6.B4[2011· 辽宁卷] A 【解析】 法一:由已知得 f(x)= 定义域关 ?2x+1??x-a? ? ? 1 1 x≠- 且x≠a?,知 a= ,故选 A. 于原点对称,由于该函数定义域为?x? 2 ? 2 ? ? 法二:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), x 又 f(x)= 2 , 2x +?1-2a?x-a -x -x 1 则 2 = 在函数的定义域内恒成立,可得 a= . 2 2x -?1-2a?x-a 2x2+?1-2a?x-a 课标文数 3.B3,B4[2011· 课标全国卷] 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增 的函数是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 - C.y=-x2+1 D.y=2 |x| 课标文数 3.B3,B4[2011· 课标全国卷] B 【解析】 A 选项中,函数 y=x3 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C 选项中,y=-x2+1 是偶函数, 1?|x| - 但在(0,+∞)上是减函数; D 选项中, y=2 |x|=? 但在(0,+∞)上是减函数. 故 ?2? 是偶函数, 选 B.

课标文数 12.B4,B7,B8[2011· 课标全国卷] 已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1] 2 时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图像与函数 y=|lgx|的图像的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 课标文数 12.B4,B7,B8[2011· 课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图, 由图像知共有 10 个交点.

图 1-5 课标理数 10.B4[2011· 山东卷] 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 课标理数 10.B4[2011· 山东卷] B 【解析】 当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所 以当 0≤x<2 时,f(x)与 x 轴交点的横坐标为 x1=0,x2=1.当 2≤x<4 时,0≤x-2<2,则 f(x -2)=(x-2)3-(x-2),又周期为 2,所以 f(x-2)=f(x),所以 f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所 以当 2≤x<4 时,f(x)与 x 轴交点的横坐标为 x3=2,x4=3;同理当 4≤x≤6 时,f(x)与 x 轴交 点的横坐标分别为 x5=4,x6=5,x7=6,所以共有 7 个交点. 课标理数 3.B4[2011· 陕西卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x), f(x+2)=f(x), 则 y=f(x) 的图像可能是( )

课标理数 3.B4[2011· 陕西卷] B

图 1-1 【解析】 由 f(-x)=f(x)可知函数为偶函数,其图像关
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于 y 轴对称,可以结合选项排除 A、C,再利用 f(x+2)=f(x),可知函数为周期函数,且 T =2,必满足 f(4)=f(2),排除 D,故只能选 B. 课标理数 11.B4[2011· 浙江卷] 若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 课标理数 11.B4[2011· 浙江卷] 0 【解析】 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 2 2 即 x -|x+a|=(-x) -|-x+a|?|x+a|=|x-a|,∴a=0.

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课标文数 11.B4,B5[2011· 安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2 -x,则 f(1)=________. 课标文数 11.B4,B5[2011· 安徽卷] 【答案】 -3 【解析】 法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(1)=-f(-1) =-2×(-1)2+(-1)=-3. 法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3. 课标理数 3.B4, B5[2011· 安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≤0 时, f(x) = 2x2 -x,则 f(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 课标理数 3.B4,B5[2011· 安徽卷] A 【解析】 法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3,故选 A. 法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3,故选 A. 课标文数 8.B5, H2[2011· 北京卷] 已知点 A(0,2), B(2,0). 若点 C 在函数 y=x2 的图象上, 则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 课标文数 8.B5,H2[2011· 北京卷] A 【解析】 由已知可得|AB|=2 2,要使 S△ABC=2, |x+x2-2| 则点 C 到直线 AB 的距离必须为 2, 设 C(x, x2), 而 lAB: x+y-2=0, 所以有 = 2, 2 所以 x2+x-2=± 2, 2 当 x +x-2=2 时,有两个不同的 C 点;[来源:Zxxk.Com] 当 x2+x-2=-2 时,亦有两个不同的 C 点. 因此满足条件的 C 点有 4 个,故应选 A. 课标理数 12.B5[2011· 陕西卷] 设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整 数 根的充要 . . 条件是 n=________. 课标理数 12.B5[2011· 陕西卷] 3 或 4 【解析】 由 x2-4x+n 得(x-2)2=4-n,即 x= 2± 4-n,∵n∈N+,方程要有整数根,满足 n=3,4,故当 n=3,4 时方程有整数根. 课标文数 14.B5[2011· 陕西卷] 设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整 数 根的充要 . . 条件是 n=________. 课标文数 14.B5[2011· 陕西卷] 3 或 4 【解析】 由 x2-4x+n=0 得(x-2)2=4-n,即 x =2± 4-n,∵n∈N+,方程要有整数根,满足 n=3,4,当 n=3,4 时方程有整数根. ?a,a-b≤1, ? 课标理数 8.B5[2011· 天津卷] 对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设 ? ?b,a-b>1. 函数 f(x)=(x2-2)?(x- x2),x∈R,若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( ) 3? A.(-∞,-2]∪? ?-1,2? 3? B.(-∞,-2]∪? ?-1,-4? 1? ?1 ? C.? ?-1,4?∪?4,+∞?
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3? ?1 ? D.? ?-1,-4?∪?4,+∞?

?x2-2,x2-2-(x-x )≤1, 课标理数 8.B5[2011· 天津卷] B 【解析】 f(x)=? 2 ?x-x2,x2-2-(x-x )>1
2

?x -2,-1≤x≤2, =? 3 ?x-x ,x<-1,或x>2,
2 2

3

则 f(x)的图象如图 1-4.

图 1-4 ∵y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ∴y=f(x)与 y=c 的图象恰有两个公共点, 3 由图象知 c≤-2,或-1<c<- . 4
?a,a-b≤1, ? 课标文数 8.B5[2011· 天津卷] 对实数 a 和 b,定义运算“?”;a?b=? 设 ?b,a-b>1. ? 函数 f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( ) A.(-1,1]∪(2,+∞) B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1] ?x2-2,x2-2-?x-1?≤1 ? 课标文数 8.B5[2011· 天津卷] B 【解析】 f(x)=? 2 ? ?x-1,x -2-?x-1?>1
2 ? ?x -2,-1≤x≤2 =? ?x-1,x<-1,或x>2 ?

则 f(x)的图象如图, ∵函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ∴函数 y=f(x)与 y=c 的图象有两个交点,由图象可得-2<c≤-1,或 1<c≤2.

图 1-3

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aπ 课标理数 3.B6[2011· 山东卷] 若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 的值为( ) 6 3 A.0 B. C.1 D. 3 3 课标理数 3.B6[2011· 山东卷] D 【解析】 因为点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,所以 9 a =3 ,所以 a=2, aπ 2π π 即 tan =tan =tan = 3,故选 D. 6 6 3 aπ 课标文数 3.B6[2011· 山东卷] 若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 的值为( ) 6 3 A.0 B. C.1 D. 3 3 课标文数 3.B6[2011· 山东卷] D 【解析】 因为点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,所以 9 =3a,所以 a=2, aπ 2π π 即 tan =tan =tan = 3,故选 D. 6 6 3 课标数学 12.B6[2011· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0) 的图象上的动点, 该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M, 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N, 设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是________. 1 1 e+ ? 课标数学 12.B6[2011· 江苏卷] ? 2? e? 【解析】 设 P(x0,y0),则直线 l:y-ex0=ex0(x-x0). 1 令 x=0,则 y=-x0ex0+ex0,与 l 垂直的直线 l′的方程为 y-ex0=- (x-x0), ex0 x0 -x0ex0+2ex0+ ex0 x0 令 x=0 得,y= +ex0,所以 t= . ex0 2 ?x-1? x -xex+2ex+ x ex?x-1?+ x e e 令 y= ,则 y′=- ,令 y′=0 得 x=1, 2 2 1 1 e+ ? . 当 x∈(0,1)时, y′>0, 当 x∈(1, +∞)时, y′<0, 故当 x=1 时该函数的最大值为 ? 2? e ? 1? 课标理数 7.B6, B7[2011· 天津卷] 已知 a=5log23.4, b=5log43.6, c=? 则( ?5?log30.3, A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 10 课标理数 7.B6,B7[2011· 天津卷] C 【解析】 令 m=log23.4,n=log43.6,l=log3 , 3 在同一坐标系下作出三个函数的图象,由图象可得 m>l>n,

)

图 1-3 又∵y=5 为单调递增函数, ∴a>c>b.
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x

课标文数 5.B7[2011· 安徽卷] 若点(a,b)在 y=lgx 图像上,a≠1,则下列点也在此图像 上的是( ) 1 ? ? A.?a,b? B.(10a,1-b) 10 2, ? C.? ? a ,b+1? D.(a 2b) 课标文数 5.B7[2011· 安徽卷] D 【解析】 由点(a,b)在 y=lgx 图像上,得 b=lga.当 x =a2 时,y=lga2=2lga=2b,所以点(a2,2b)在函数 y=lgx 图像上. 1 1 课标文数 3.B7[2011· 北京卷] 如果 log x<log y<0,那么( ) 2 2 A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x 1 1 1 课标文数 3.B7[2011· 北京卷] D 【解析】 因为 log x<log y<0=log 1,所以 x>y>1,故 2 2 2 选 D. 课标文数 15.B7[2011· 湖北卷] 里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中 A 是测 震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震 仪记录的最大振幅是 1000, 此时标准地震的振幅为 0.001, 则此次地震的震级为________级; 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍. 课标文数 15.B7[2011· 湖北卷] 6 10000 【解析】 由 M=lgA-lgA0 知,M=lg1000- lg0.001=6,所以此次地震的级数为 6 级.设 9 级地震的最大振幅为 A1,5 级地震的最大振幅 A1 A1 为 A2, 则 lg =lgA1-lgA2=(lgA1-lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4.所以 =104=10000.所以 A2 A2 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10000 倍. 课标理数 3.B7[2011· 江西卷] 若 f(x)= 1 ? ? 1 ? A.? ?-2,0? B.?-2,0? 1 ? C.? ?-2,+∞? D.(0,+∞) 1 课标理数 3.B7[2011· 江西卷] A 【解析】 根据题意得 log (2x+1)>0,即 0<2x+1<1, 2 1 ? 解得 x∈? ?-2,0?.故选 A. 1 ,则 f(x)的定义域为( 1 log (2x+1) 2 1 ,则 f(x)的定义域为( 1 log ?2x+1? 2 )

课标文数 3.B7[2011· 江西卷] 若 f(x)= 1 ? ? 1 ? A.? ?-2,0? B.?-2,+∞? 1 ? ? 1 ? C.? ?-2,0?∪(0,+∞) D.?-2,2?

)

?2x+1>0, ? 课标文数 3.B7[2011· 江西卷] C 【解析】 方法一:根据题意得? ? ?2x+1≠1, 1 ? 解得 x∈? ?-2,0?∪(0,+∞).故选 C. 方法二:取特值法,取 x=0,则可排除 B、D;取 x=1,则排除 A.故选 C.

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课标文数 12.B4,B7,B8[2011· 课标全国卷] 已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1] 2 时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图像与函数 y=|lgx|的图像的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 课标文数 12.B4,B7,B8[2011· 课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图, 由图像知共有 10 个交点.

图 1-5 1? 课标理数 7.B6, B7[2011· 天津卷] 已知 a=5log23.4, b=5log43.6, c=? 则( ?5?log30.3, A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 10 课标理数 7.B6,B7[2011· 天津卷] C 【解析】 令 m=log23.4,n=log43.6,l=log3 , 3 在同一坐标系下作出三个函数的图象,由图象可得 m>l>n, )

图 1-3 又∵y=5x 为单调递增函数, ∴a>c>b.

课标文数 5.B7[2011· 天津卷] 已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 课标文数 5.B7[2011· 天津卷] B 【解析】 ∵a=log23.6>log22=1.又∵y=log4x,x∈(0, +∞)为单调递增函数, ∴log43.2<log43.6<log44=1, ∴b<c<a. 课标文数 12.B3, B7[2011· 天津卷] 已知 log2a+log2b≥1, 则 3a+9b 的最小值为________. 课标文数 12.B3,B7[2011· 天津卷] 18 【解析】 ∵log2a+log2b=log2ab≥1, ∴ab≥2, ∴3a+9b=3a+32b≥2 3a· 32b=2 3a
+2b

≥2 32

2ab

=18.

11 12 4 大纲文数 6.B7[2011· 重庆卷] 设 a=log ,b=log ,c=log3 ,则 a,b,c 的大小关系 32 33 3 是( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 11 12 3 大纲文数 6.B7[2011· 重庆卷] B 【解析】 a=log =log32,b=log =log3 , 32 33 2

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4 3 则由 log3 <log3 <log32,得 c<b<a.故选 B. 3 2

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课标文数 10.B8[2011· 安徽卷] 函数 f(x)=axn(1-x)2 在区间[0,1]上的图像如图 1-2 所示, 则 n 可能是( )

图 1-2 A.1 B.2 C.3 D.4 课标文数 10.B8[2011· 安徽卷] A 【解析】 由函数图像可知 a>0.当 n=1 时,f(x)=ax(1 1 2 3 2 -x) =a(x -2x +x),f′(x)=a(3x-1)(x-1),所以函数的极大值点为 x= <0.5,故 A 可能; 3 当 n=2 时,函数 f(x)=ax2(1-x)2=a(x2-2x3+x4),f′(x)=a(2x-6x2+4x3)= 2ax(2x- 1 1)(x-1),函数的极大值点为 x= ,故 B 错误; 2 当 n=3 时,f(x)=ax3(1-x)2=a(x5-2x4+x3),f′(x)=ax2(5x2-8x+3)=ax2(5x-3)(x- 3 1),函数的极大值点为 x= >0.5,故 C 错误; 5 4 当 n=4 时,f(x)=ax (1-x)2=a(x6-2x5+x4),f′(x)=a(6x5-10x4+4x3)=2ax3(3x-2)(x 2 -1),函数的极大值点为 x= >0.5,故 D 错误. 3 课标理数 10.B8[2011· 安徽卷] 函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图像如图 1-2 所示, 则 m,n 的值可能是( )

图 1-2 A.m=1,n=1 B.m=1,n=2 C.m=2,n=1 D.m=3,n=1 课标理数 10.B8[2011· 安徽卷] B 【解析】 由图可知 a>0.当 m=1,n=1 时,f(x)=ax(1 1 -x)的图像关于直线 x= 对称,所以 A 不可能; 2 当 m=1,n=2 时,f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x), f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(3x-1)(x-1), 1 所以 f(x)的极大值点应为 x= <0.5,由图可知 B 可能. 3 当 m=2,n=1 时,f(x)=ax2(1-x)=a(x2-x3), f′(x)=a(2x-3x2)=-ax(3x-2), 2 所以 f(x)的极大值点为 x= >0.5,所以 C 不可能; 3 当 m=3,n=1 时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4), f′(x)=a(3x2-4x3)=-ax2(4x-3), 3 所以 f(x)的极大值点为 x= >0.5,所以 D 不可能,故选 B. 4 2 ? ?x,x≥2, 课标理数 13.B8[2011· 北京卷] 已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k 3 ? ??x-1? ,x<2. 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 课标理数 13.B8[2011· 北京卷] (0,1) 【解析】 函数 f(x)的图象如图 1-5 所示:

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图 1-5 由上图可知 0<k<1. [来源:学.科.网] 2 ? ?x,x≥2, 课标文数 13.B8[2011· 北京卷] 已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k ??x-1?3,x<2. ? 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 课标文数 13.B8[2011· 北京卷] (0,1) 【解析】 函数 f(x)的图象如图 1-3 所示:

图 1-3 由上图可知 0<k<1. 课标文数 12.B4,B7,B8[2011· 课标全国卷] 已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1] 2 时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图像与函数 y=|lgx|的图像的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 课标文数 12.B4,B7,B8[2011· 课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图, 由图像知共有 10 个交点.

图 1-5

1 3 右边接近原点处为减函数,当 x=2π 时,f′(2π)= -2cos2π=- <0,所以 x=2π 应在函数 2 2 的减区间上,所以选 C.

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x 课标文数 10.B8[2011· 山东卷] 函数 y= -2sinx 的图象大致是( 2

)

图 1-2 课标文数 10.B8[2011· 山东卷] C 【解析】 由 f(-x)=-f(x)知函数 f(x)为奇函数,所以 1 排除 A;又 f′(x)= -2cosx,当 x 在 x 轴右侧,趋向 0 时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在 x 轴 2 1 3 右边接近原点处为减函数,当 x=2π 时,f′(2π)= -2cos2π=- <0,所以 x=2π 应在函 2 2 数的减区间上,所以选 C. 1 课标文数 4.B8[2011· 陕西卷] 函数 y=x 的图象是( 3 )

图 1-1 1 课标文数 4.B8[2011· 陕西卷] B 【解析】 因为 y=x , 由幂函数的性质, 过点(0,0), (1,1), 3 1 则只剩 B,C.因为 y=xα 中 α= ,图象靠近 x 轴,故答案为 B. 3

课标数学 8.B8[2011· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 2 f(x)= 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. x y=kx, ? ? 2 课标数学 8.B8[2011· 江苏卷] 4 【解析】 设直线为 y=kx(k>0),? 2 ?x2= , k ? ?y=x y2=k2x2=2k, 所以 PQ=2OP= x2+y2=2 2 +2k≥2 2 4=4. k

(

1?x 大纲文数 4.B8[2011· 四川卷] 函数 y=? ?2? +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是 )

图 1-1

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1?x 1 大纲文数 4.B8[2011· 四川卷] A 【解析】 由 y=? ?2? +1 可得其反函数为 y=log2(x- 1)(x>1),根据图象可判断选择答案 A.另外对于本题可采用特殊点排除法.

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1 课标理数 21.B9,H8[2011· 广东卷] 在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L:y= x2, 4 实数 p,q 满足 p2-4q≥0,x1,x2 是方程 x2-px+q=0 的两根,记 φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}. 1 ? p0, p2 (1)过点 A? 4 0?(p0≠0)作 L 的切线交 y 轴于点 B.证明:对线段 AB 上的任一点 Q(p, ? |p0| q),有 φ(p,q)= ; 2 (2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a2-4b>0,a≠0.过 M(a,b)作 L 的两条切线 l1, 1 ? 1 2? ? p1, p2 l2,切点分别为 E? 1 ,E′ p2, p2 ,l1,l2 与 y 轴分别交于 F、F′.线段 EF 上异于两 4 ? 4 ? ? ? |p1| 端点的点集记为 X.证明:M(a,b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a,b)= ; 2 ? ? 1 2 5 ? (3)设 D=??x,y?? ?y≤x-1,y≥4 ?x+1? -4?.当点(p,q)取遍 D 时,求 φ(p,q)的最小 ? 值(记为 φmin)和最大值(记为 φmax). 1 1 课标理数 21.B9,H8[2011· 广东卷] 【解答】 (1)证明:切线 l 的方程为 y= p0x- p2 . 2 4 0 |p|+ p2-4q |p|+ ?p-p0?2 ?Q(p,q)∈AB 有 φ(p,q)= = . 2 2 p+p0-p p0 |p0| 当 p0>0 时,0≤p≤p0,于是 φ(p,q)= = = ; 2 2 2 -p+p-p0 -p0 |p0| 当 p0<0 时,p0≤p≤0,于是 φ(p,q)= = = . 2 2 2 1 1 2 1 1 2 (2)l1,l2 的方程分别为 y= p1x- p1,y= p2x- p2. 2 4 2 4 p1+p2 p1p2? 求得 l1,l2 交点 M(a,b)的坐标? ? 2 , 4 ?. 由于 a2-4b>0,a≠0,故有|p1|≠|p2| . ① 先证:M(a,b)∈X?|p1|>|p2|. (?)设 M(a,b)∈X. p1+p2 当 p1>0 时,0< <p1?0<p1+p2<2p1? 2 |p1|>|p2|; p1+p2 当 p1<0 时,p1< <0?2p1<p1+p2<0? 2 |p1|>|p2|. p2? p1+p2 p2 (?)设|p1|>|p2|,则? <1 ? - 1< <1 ? 0< <2. ?p1? p1 p1 p1+p2 当 p1>0 时,0< <p1;当 p1<0 时, 2 p1+p2 p1< <0, 2 注意到 M(a,b)在 l1 上,故 M(a,b)∈X. |p1| ②次证:M(a,b)∈X?φ(a,b)= . 2 |p1| (?)已知 M(a,b)∈X,利用(1)有 φ(a,b)= . 2 |p1| (?)设 φ(a,b)= ,断言必有|p1|>|p2|. 2 若不然,|p1|<|p2|.令 Y 是 l2 上线段 E′F′上异于两端点的点的集合,由已证的等价式① |p2| |p1| M(a,b)∈Y.再由(1)得 φ(a,b)= ≠ ,矛盾.故必有|p1|>|p2|.再由等价式①,M(a,b)∈ 2 2 X.
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|p1| 综上,M(a,b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a,b)= . 2 1 5 (3)求得 y=x-1 和 y= (x+1)2- 的交点 Q1(0,-1),Q2(2,1).而 y=x-1 是 L 的切点 4 4 为 Q2(2,1)的切线,且与 y 轴交于 Q1(0,-1),由(1)?Q(p,q)∈线段 Q1Q2,有 φ(p,q)=1. 1 5 1 5 当 Q(p , q) ∈ L1 : y = (x + 1)2 - (0≤x≤2) 时, q = (p + 1)2 - ,∴ h(p) = φ(p , q) = 4 4 4 4 2 p+ p -4q p+ 4-2p 4-2p-1 3 = (0≤p≤2), 在(0,2)上, 令 h′(p)= =0 得 p= , 由于 h(0) 2 2 2 2 4-2p 3? 5 =h(2)=1,h? ?2?=4, 5 ∴h(p)=φ(p,q)在[0,2]上取得最大值 hmax= . 4 1 2 5 ?(p,q)∈D,有 0≤p≤2, (p+1) - ≤q≤p-1, 4 4 2 p+ p -4q 故 φ(p,q)= ≤ 2 1 2 5? p+ p2-4? ?4?p+1? -4? 2 p+ 4-2p 5 = ≤hmax= , 2 4 2 p+ p -4q p+ p2-4?p-1? p+ ?p-2?2 p+2-p φ(p,q)= ≥ = = =1, 2 2 2 2 5 故 φmin=1,φmax= . 4 1 课标理数 21.B9,H8[2011· 广东卷] 在平面直角坐标系 xOy 上,给定抛物线 L:y= x2, 4 实数 p,q 满足 p2-4q≥0,x1,x2 是方程 x2-px+q=0 的两根,记 φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}. 1 ? p0, p2 (1)过点 A? 4 0?(p0≠0)作 L 的切线交 y 轴于点 B.证明:对线段 AB 上的任一点 Q(p, ? |p0| q),有 φ(p,q)= ; 2 (2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a2-4b>0,a≠0.过 M(a,b)作 L 的两条切线 l1, 1 ? 1 2? ? p1, p2 l2,切点分别为 E? 1 ,E′ p2, p2 ,l1,l2 与 y 轴分别交于 F、F′.线段 EF 上异于两 4 ? 4 ? ? ? |p1| 端点的点集记为 X.证明:M(a,b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a,b)= ; 2 ? ? 1 2 5 ? (3)设 D=??x,y?? ?y≤x-1,y≥4 ?x+1? -4?.当点(p,q)取遍 D 时,求 φ(p,q)的最小 ? 值(记为 φmin)和最大值(记为 φmax). 1 1 课标理数 21.B9,H8[2011· 广东卷] 【解答】 (1)证明:切线 l 的方程为 y= p0x- p2 . 2 4 0 |p|+ p2-4q |p|+ ?p-p0?2 ?Q(p,q)∈AB 有 φ(p,q)= = . 2 2 p+p0-p p0 |p0| 当 p0>0 时,0≤p≤p0,于是 φ(p,q)= = = ; 2 2 2 -p+p-p0 -p0 |p0| 当 p0<0 时,p0≤p≤0,于是 φ(p,q)= = = . 2 2 2 1 1 2 1 1 2 (2)l1,l2 的方程分别为 y= p1x- p1,y= p2x- p2. 2 4 2 4
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求得 l1,l2 交点 M(a,b)的坐标?

由于 a2-4b>0,a≠0,故有|p1|≠|p2| . ①先证:M(a,b)∈X?|p1|>|p2|. (?)设 M(a,b)∈X. p1+p2 当 p1>0 时,0< <p1?0<p1+p2<2p1? 2 |p1|>|p2|; p1+p2 当 p1<0 时,p1< <0?2p1<p1+p2<0? 2 |p1|>|p2|. p2? p1+p2 p2 (?)设|p1|>|p2|,则? ?p1?<1?-1<p1<1?0< p1 <2. p1+p2 当 p1>0 时,0< <p1;当 p1<0 时, 2 p1+p2 p1< <0, 2 注意到 M(a,b)在 l1 上,故 M(a,b)∈X. |p1| ②次证:M(a,b)∈X?φ(a,b)= . 2 |p1| (?)已知 M(a,b)∈X,利用(1)有 φ(a,b)= . 2 |p1| (?)设 φ(a,b)= ,断言必有|p1|>|p2|. 2 若不然,|p1|<|p2|.令 Y 是 l2 上线段 E′F′上异于两端点的点的集合,由已证的等价式① |p2| |p1| M(a,b)∈Y.再由(1)得 φ(a,b)= ≠ ,矛盾.故必有|p1|>|p2|.再由等价式①,M(a,b)∈ 2 2 X. |p1| 综上,M(a,b)∈X?|p1|>|p2|?φ(a,b)= . 2 1 5 2 (3)求得 y=x-1 和 y= (x+1) - 的交点 Q1(0,-1),Q2(2,1).而 y=x-1 是 L 的切点 4 4 为 Q2(2,1)的切线,且与 y 轴交于 Q1(0,-1),由(1)?Q(p,q)∈线段 Q1Q2,有 φ(p,q)=1. 1 5 1 5 当 Q(p , q) ∈ L1 : y = (x + 1)2 - (0≤x≤2) 时, q = (p + 1)2 - ,∴ h(p) = φ(p , q) = 4 4 4 4 p+ p2-4q p+ 4-2p 4-2p-1 3 = (0≤p≤2), 在(0,2)上, 令 h′(p)= =0 得 p= , 由于 h(0) 2 2 2 2 4-2p 3? 5 =h(2)=1,h? ?2?=4, 5 ∴h(p)=φ(p,q)在[0,2]上取得最大值 hmax= . 4 1 5 ?(p,q)∈D,有 0≤p≤2, (p+1)2- ≤q≤p-1, 4 4 p+ p2-4q 故 φ(p,q)= ≤ 2 1 2 5? p+ p2-4? ?4?p+1? -4? 2 p+ 4-2p 5 = ≤hmax= , 2 4 2 p+ p -4q p+ p2-4?p-1? p+ ?p-2?2 p+2-p φ(p,q)= ≥ = = =1, 2 2 2 2
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1 2? ? 2 , 4 ?.

p1+p2 p p

5 故 φmin=1,φmax= . 4

课标文数 21.H10,B9[2011· 广东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x=-2 交 x 轴于点 A.设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP. (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T(1,-1).设 H 是 E 上动点,求|HO|+|HT|的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点.求直线 l1 的斜率 k 的取值范围. 课标文数 21.H10,B9[2011· 广东卷] 【解答】 (1)如图 1-2(1).设 MQ 为线段 OP 的垂 直平分线,交 OP 于点 Q. ∵∠MPQ=∠AOP,∴MP⊥l,且|MO|=|MP|. 因此, x2+y2=|x+2|,即 y2=4(x+1)(x≥-1). ①

图 1-3 E1:y2=4(x+1)(x≥-1); E2:y=0,x<-1.
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3 ? 当 H∈E1 时,过 T 作垂直于 l 的直线,垂足为 T′,交 E1 于 D? ?-4,-1?.再过 H 作垂 直于 l 的直线,交 l 于 H′. 因此,|HO|=|HH′|(抛物线的性质). ∴|HO|+|HT|=|HH′|+|HT|≥|TT′|=3(该等号仅当 H′与 T′重合(或 H 与 D 重合)时 取得). 当 H∈E2 时,则|HO|+|HT|>|BO|+|BT|=1+ 5>3. 3 - ,-1?. 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为? ? 4 ? (3)由图 1-3 知,直线 l1 的斜率 k 不可能为零. 设 l1:y+1=k(x-1)(k≠0). 4 ? 1 4 +8 =0. 故 x= (y+1)+1,代入 E1 的方程得:y2- y-? k k ?k ? 4 ? ?4 ?2 16 因判别式 Δ= 2 +4? ?k+8?=? k+2? +28>0, k 所以 l1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点. 又由 E2 和 l1 的方程可知,若 l1 与 E2 有交点, k+1 k+1 ? 1 则此交点的坐标为 ? ,0 ,且 k < - 1. 即当- 2 <k<0 时, l1 与 E2 有唯一交点 ? k ? ?k+1,0?,从而 l 与 E 有三个不同的交点. 1 ? k ? 1? 因此,直线 l1 斜率 k 的取值范围是? ?-∞,-2?∪(0,+∞). 课标理数 22.B9,M3[2011· 湖南卷] 已知函数 f(x)=x3,g(x)=x+ x. (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由; (2)设数列{an}(n∈N*)满足 a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数 M,使得对于任 意的 n∈N*,都有 an≤M. 课标理数 22.B9,M3[2011· 湖南卷] 【解答】 (1)由 h(x)=x3-x- x知,x∈[0,+∞), 而 h(0)=0,且 h(1)=-1<0,h(2)=6- 2>0,则 x=0 为 h(x)的一个零点,且 h(x)在(1,2)内 有零点.因此,h(x)至少有两个零点. 1 1 1 1 1 3 解法一:h′(x)=3x2-1- x- ,记 φ(x)=3x2-1- x- ,则 φ′(x)=6x+ x- . 2 2 2 2 4 2 当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,因此 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ(x)在(0,+∞) 3 3 内至多只有一个零点. 又因为 φ(1)>0, φ? ?<0, 则 φ(x)在? ,1?内有零点, 所以 φ(x)在(0, ?3? ?3 ? +∞)内有且只有一个零点.记此零点为 x1,则当 x∈(0,x1)时,φ(x)<φ(x1)=0;当 x∈(x1, +∞)时,φ(x)>φ(x1)=0. 所以,当 x∈(0,x1)时,h(x)单调递减.而 h(0)=0,则 h(x)在(0,x1]内无零点; 当 x∈(x1,+∞)时,h(x)单调递增,则 h(x)在(x1,+∞)内至多只有一个零点,从而 h(x) 在(0,+∞)内至多只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点. 1 1 1 3 x2-1-x- ?,记 φ(x)=x2-1-x- ,则 φ′(x)=2x+ x- . 解法二:由 h(x)=x? 2? ? 2 2 2 当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,从而 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ(x)在(0,+∞) 内至多只有一个零点.因此 h(x)在(0,+∞)内也至多只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点. 3 (2)记 h(x)的正零点为 x0,即 x0 =x0+ x0. (i)当 a<x0 时,由 a1=a,即 a1<x0. 3 而 a3 2=a1+ a1<x0+ x0=x0,因此 a2<x0.由此猜测:an<x0.下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,a1<x0 显然成立.
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②假设当 n=k(k≥1)时,ak<x0 成立, 则当 n=k+1 时,由 3 a3 k+1=ak+ ak<x0+ x0=x0知,ak+1<x0. 因此,当 n=k+1 时,ak+1<x0 成立. 故对任意的 n∈N*,an<x0 成立. (ii)当 a≥x0 时,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上单调递增,则 h(a)≥h(x0)=0, 3 即 a3≥a+ a.从而 a3 2=a1+ a1=a+ a≤a ,即 a2≤a.由此猜测:an≤a.下面用数学归 纳法证明. ①当 n=1 时,a1≤a 显然成立. 3 ②假设当 n=k(k≥1)时,ak≤a 成立,则当 n=k+1 时,由 a3 k+1=ak+ ak≤a+ a≤a 知,ak+1≤a. 因此,当 n=k+1 时,ak+1≤a 成立. 故对任意的 n∈N*,an≤a 成立. 综上所述,存在常数 M=max{x0,a},使得对于任意的 n∈N*,都有 an≤M. 1 课标理数 12.B 9[2011· 课标全国卷] 函数 y= 的图像与函数 y=2sinπx(-2≤x≤4)的 1-x 图象所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 1 1 3 课标理数 12.B9[2011· 课标全国卷] D 【解析】 当 x= 时,y= =2;当 x= 时,y 2 1 2 1- 2 1 = =-2. 3 1- 2 所以函数图象如图所示,所以有 8 个根,且关于点(1,0)对称,所以所有根的总和为 8.

图 1-5 课标文数 10.B9[2011· 课标全国卷] 在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的 区间为( ) 1 1 - ,0? B.?0, ? A.? 4 ? ? ? 4? 1 1? ?1 3? C.? ?4,2? D.?2,4? 1? 1 ?1? 1 课标文数 10.B9[2011· 课标全国卷] C 【解析】 因为 f? ?4?=e4-2<0,f?2?=e2-1>0, 1? ?1? 所以 f? f?2?<0, ?4?· 又因为函数 y=ex 是单调增函数,y=4x-3 也是单调增函数, 所以函数 f(x)=ex+4x-3 是单调增函数, 1 1? 所以函数 f(x)=ex+4x-3 的零点在? ?4,2?内. 课标理数 16.B9[2011· 山东卷] 已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3 <b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________. 课标理数 16.B9[2011· 山东卷] 2 【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理
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的应用.因为 2<a<3,所以 loga2<1=logaa<loga3,因为 3<b<4,所以 b-2>1>loga2,b- 3<1<loga3,所以 f(2)· f(3)=(loga2+2-b)(loga3+3-b)<0,所以函数的零点在(2,3)上,所以 n =2. 课标文数 16.B9[2011· 山东卷] 已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3 <b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________. 课标文数 16.B9[2011· 山东卷] 2 【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理 的应用.因为 2<a<3,所以 loga2<1=logaa<loga3,因为 3<b<4,所以 b-2>1>loga2, b-3<1<loga3,所以 f(2)· f(3)= (loga2+2-b)· (loga3+3-b)<0,所以函数的零点在(2,3) 上,所以 n=2. 课标理数 6.B9[2011· 陕西卷] 函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 课标理数 6.B9[2011· 陕西卷] B 【解析】 在同一个坐标系中作出 y= x与 y=cosx 的图 象如图,

图 1-2 由图象可得函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)上只有一个零点. 课标文数 6.B9[2011· 陕西卷] 方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( ) A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根 课标文数 6.B9[2011· 陕西卷] C 【解析】 如图 1-3 所示,由图象可得两函数图象有两 个交点,故方程有且仅有两个根,故答案为 C.

图 1-3

?2x+a,x<1, ? 课标数学 11.B9[2011· 江苏卷] 已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1- ? ?-x-2a,x≥1, a)=f(1+a),则 a 的值为________. 3 课标数学 11.B9[2011· 江苏卷] - 【解析】 当 a>0 时,f(1-a)=2-2a+a=-1-3a 4 3 =f(1+a),a=- <0,不成立;当 a<0 时,f(1-a)=-1+a-2a=2+2a+a=f(1+a),a= 2 3 - . 4 第 26 页 共 65 页

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课标理数 6.B10[2011· 北京卷] 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位: c ,x<A, x 分钟)为 f(x)= (A,c 为常数). 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装 c ,x≥A A

? ? ?

第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

)

课标理数 6.B10[2011· 北京卷 ] D

【解析】

?f?4?= 4=30, 由题意可知 ? c ?f?A?= A=15,

c

解得

? ?c=60, ? 故应选 D. ?A=16, ?

课标文数 7.B10,E6[2011· 北京卷] 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 x 800 元,若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为 8 使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 课标文数 7.B10,E6[2011· 北京卷] B 【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与 x 800+ ×x×1 8 800 x 800 x 800 x 仓储费用之和为 f(x),则 f(x)= = + ≥2 × =20,当且仅当 = , x x 8 x 8 x 8 即 x=80 件(x>0)时,取最小值,故选 B. 课标文数 14.B10[2011· 北京卷] 设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(t∈R).记 N(t)为平 行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 N(0)=________;N(t)的所有可能取值为________. 课标文数 14.B10[2011· 北京卷] 6 6,7,8 【解析】 显然四边形 ABCD 内部(不包括边界) 的整点都在直线 y=k(k=1,2)落在四边形 ABCD 内部的线段上,由于这样的线段长等于 4, 所以每条线段上的整点有 3 个或 4 个,所以 6=2×3≤N(t)≤2×4=8. 当四边形 ABCD 的边 AD 上有 4 个整点时,N(t)=6; 当四边形 ABCD 的边 AD 上有 1 或 2 个整点时,N(t)=8 或 7. 所以 N(t)的所有可能取值为 6,7,8.

课标理数 18.B10,B12[2011· 福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的 a 销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 x-3 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. a 课标理数 18.B10,B12[2011· 福建卷] 【解答】 (1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10= 2 11,a=2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 2 y= +10(x-6)2. x-3
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所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. ? ? 2 ? x - 6 ? + 2 ? x - 3??x-6?] 从而 f′(x)=10[ =30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) 0 f′(x) + - f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 课标理数 17.B10[2011· 湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通 状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米) 的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度 不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 课标理数 17.B10[2011· 湖北卷] 【解答】 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 a=- , ?200a+b=0, 3 ? 再由已知得? 解得 200 ? ?20a+b=60, b= . 3

? ? ?

60, 0≤x<20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ?3?200-x?,20≤x≤200. ? 60x, 0≤x<20, ? ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 ?3x?200-x?,20≤x≤200. ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x+?200-x??2 10000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 . 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333. 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 课标文数 19.B10[2011· 湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状 况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的 函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不 超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/
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小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 课标文数 19.B10[2011· 湖北卷] 【解答】 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b. 1 a=- , ?200a+b=0, 3 ? 再由已知得? 解得 200 ? ?20a+b=60, b= . 3

? ? ?

故函数 v(x)的表达式为 60, 0≤x<20, ? ? v(x)=?1 ? ?3?200-x?, 20≤x≤200. (2)依题意并由(1)可得 60x, 0≤x<20, ? ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x?, 20≤x≤200. 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x+?200-x??2 10000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ? = 3 .[来源:Zxxk.Com] 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333. 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

图 1-9 课标理数 20.B10[2011· 湖南卷] 如图 1-9,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂 直方向作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位 .. 时间 内的淋雨量包括两部分:(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v .. 1 1 -c|×S 成正比,比例系数为 ;(2)其它面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的 10 2 3 总淋雨量,当移动距离 d=100,面积 S= 时, 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5, 试根据 c 的不同取值范围, 确定移动速度 v, 使总淋雨量 y 最少. 课标理数 20.B10[2011· 湖南卷] 【解答】 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量 3 1 为 |v-c|+ ,故 20 2 1 5 100 3 |v-c|+ ?= (3|v-c|+10). y= v ? 2? v ?20 (2)由(1)知, 5?3c+10? 5 当 0<v≤c 时,y=v(3c-3v+10)= -15; v 3?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y=v(3v-3c+10)= +15. v

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5?3c+10? ? ? v -15,0<v≤c, 故 y=? 5?10-3c? ? ? v +15,c<v≤10. 10 3c ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数.故当 v=10 时,ymin=20- . 3 2 10 ②当 <c≤5 时, 在(0, c]上, y 是关于 v 的减函数; 在(c,10]上, y 是关于 v 的增函数. 故 3 50 当 v=c 时,ymin= . c

课标数学 17.B10[2011· 江苏卷] 请你设计一个包装盒,如图 1-4 所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起, 使得 A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值.

图 1-4 课标数学 17.B10[2011· 江苏卷] 本题主要考查函数的概念、导数等基础知识,考查数学 建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力. 60-2x 【解答】 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),由已知得 a= 2x,h= = 2 2(30-x),0<x<30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x), 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2

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课标理数 10.M1,D2,B11[2011· 福建卷] 已知函数 f(x)=ex+x.对于曲线 y=f(x)上横坐 标成等差数列的三个点 A、B、C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形; ②△ABC 可能是直角三角形; ③△ABC 可能是等腰三角形; ④△ABC 不可能是等腰三角形. 其中,正确的判断是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 课标理数 10.M1,D2,B11[2011· 福建卷] B 【解析】 解法一:(1)设 A、B、C 三点的 横坐标分别为 x1,x2,x3(x1<x2<x3), ∵ f′(x)=ex+1>0, ∴ f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, x1+x3 f?x1?+f?x3? ∴ f(x1)<f(x2)<f(x3),且 f < , 2 2 → → ∵ BA=(x1-x2,f(x1)-f(x2)),BC=(x3-x2,f(x3)-f(x2)), → → ∴ BA· BC=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))<0, ∴ ∠ABC 为钝角,判断①正确,②错; (2)若△ABC 为等腰三角形,则只需 AB=BC,即 (x1-x2)2+(f(x1)-f(x2))2=(x3-x2)2+(f(x3)-f(x2))2, ∵ x1,x2,x3 成等差数列,即 2x2=x1+x3, 且 f(x1)<f(x2)<f(x3), 只需 f(x2)-f(x1)=f(x3)-f(x2),即 2f(x2)=f(x1)+f(x3), x1+x3? f?x1?+f?x3? x1+x3? f?x1?+f?x3? 即 f? = ,这与 f? 相矛盾, 2 2 ? 2 ? ? 2 ?< ∴△ABC 不可能是等腰三角形,判断③错误,④正确,故选 B. 解法二:(1)设 A、B、C 三点的横坐标为 x1,x2,x3(x1<x2<x3),

图 1-3 ∵ f′(x)=ex+1>0, ∴ f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,画出 f(x)的图象(大致). x1+x3 f?x1?+f?x3? ∴ f(x1)<f(x2)<f(x3),且 f < , 2 2 如图 1-2,设直线 AB、BC 的倾斜角分别为 α 和 β,由 0<kAB<kBC, π 得 α<β< ,故∠ABC=π-(β-α)为钝角,判断①正确,②错误; 2 由 x1,x2,x3 成等差数列,得 x2-x1=x3-x2, 若△ABC 为等腰三角形,只需 AB=BC,则 f(x2)-f(x1)=f(x3)-f(x2), 由 0<kAB<kBC,知上式不成立,判断③错误,④正确,故选 B. 课标文数 22.B11,B12[2011· 福建卷] 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b +axlnx,f(e)=2(e=2.71828?是自然对数的底数).
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(1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t ?1 ?? 与曲线 y=f(x)? ?x∈?e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不 存在,说明理由. 课标文数 22.B11,B12[2011· 福建卷] 【解答】 (1)由 f(e)=2 得 b=2. (2)由(1)可得 f(x)=-ax+2+axlnx. 从而 f′(x)=alnx. 因为 a≠0,故: ①当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x>1,由 f′(x)<0 得 0<x<1; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1. 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)当 a=1 时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx. 1 ? 由(2)可得,当 x 在区间? ? e,e?内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 2 2- e 1 e

?1,1? ?e ?
- 单调递减

1 0 极小值 1

(1,e) + 单调递增

e

2

1 ? 2 又 2- <2,所以函数 f(x)(x∈? ? e,e?)的值域为[1,2]. e ? ?m=1, 1 ?? ,e 据此可得,若? 相对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)? x∈? e ??都 ? ? ?M=2 ? 有公共点; ?1 ?? 并且对每一个 t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线 y=t 与曲线 y=f(x)? ?x∈?e,e??都没有公 共点. 综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t∈[m, ?1 ?? M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)? ?x∈?e,e??都有公共点. 课标理数 4.B11[2011· 江西卷] 若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 课 标 理 数 4.B11[2011· 江西卷] C )

4 【 解 析 】 方 法 一 : 令 f′(x) = 2x - 2 - = x

2?x-2??x+1? >0,又∵f(x)的定义域为{x|x>0},∴(x-2)(x+1)>0(x>0),解得 x>2.故选 C. x 4 方法二:令 f′(x)=2x-2- >0,由函数的定义域可排除 B、D,取 x=1 代入验证,可 x 排除 A,故选 C. 课标文数 4.B11[2011· 江西卷] 曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) 1 A.1 B.2 C.e D. e 课标文数 4.B11[2011· 江西卷] A 【解析】 y′=ex,故所求切线斜率 k=ex|x=0=e0=1.
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故选 A. 课标文数 4.B11[2011· 山东卷] 曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标 是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 课标文数 4.B11[2011· 山东卷] C 【解析】 因为 y′=3x2,所以 k=y′|x=1=3,所以过 点 P(1,12)的切线方程为 y-12=3(x-1),即 y=3x+9,所以与 y 轴交点的纵坐标为 9. 课标理数 19.B11,D4[2011· 陕西卷]

图 1-11 如图 1-11,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=ex 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切 线与 x 轴交于点 P2.现从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列点: P1,Q1;P2,Q2;?;Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,?,n). (1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn|. 课标理数 19.B11,D4[2011· 陕西卷] 【解答】 (1)设 Pk-1(xk-1,0),由 y′=ex 得 Qk-1(xk-1,exk-1)点处切线方程为 y-exk-1=exk-1(x-xk -1), 由 y=0 得 xk=xk-1-1(2≤k≤n). (2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1), - - 所以|PkQk|=exk=e (k 1),于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn| - - 1-e n e-e1 n -1 -2 -(n-1) =1+e +e +?+e = . - = 1-e 1 e-1 课标文数 19.B11,D4[2011· 陕西卷] 如图 1-12,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y= ex 于点 Q1(0,1), 曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2, 依次重复

图 1-12 上述过程得到一系列点: P1, Q1; P2, Q2; ?; Pn, Qn, 记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2, ?, n). (1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn|. 课标文数 19.B11,D4[2011· 陕西卷] 【解答】 (1)设 Pk-1(xk-1,0),由 y′=ex 得 Qk-1(xk- 1,exk-1)点处切线方程为 y-exk-1=exk-1(x-xk-1), 由 y=0 得 xk=xk-1-1(2≤k≤n). (2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1), - - 所以|PkQk|=exk=e (k 1),于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn| - - 1-e n e-e1 n - - - - =1+e 1+e 2+?+e (n 1)= . -1= 1-e e-1

? 2 +ax-1?=2.则 a=( 大纲理数 3.B11[2011· 重庆卷] 已知 li m ?x-1 →∞ 3x ? x ? ?
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)

A.-6 B.2 C.3 D.6 a- ax-1? x 2 ax-1 ? + 大纲理数 3.B11[2011· 重庆卷] D 【解析】 lim =lim =lim = ? 3x ? 3 x→∞ ?x-1 x→∞ ? x→∞ 3x a =2,即 a=6. 3 大纲文数 3.B11[2011· 重庆卷] 曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为( A.y=3x-1 B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x 大纲文数 3.B11[2011· 重庆卷] A 【解析】 y′=-3x2+6x, ∵点(1,2)在曲线上,∴所求切线斜率 k=y′|x=1=3. 由点斜式得切线方程为 y-2=3(x-1),即 y=3x-1.故选 A. ) 1

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课标文数 18.B12[2011· 安徽卷] 设 f(x)=

ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 课标文数 18.B12[2011· 安徽卷] 本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数 单调性变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的 能力. 2 x1+ax -2ax 【解答】 对 f(x)求导得 f′(x)=e .① ?1+ax2?2 4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 结合①可知 [来源:学|科|网] 1 3 ?-∞,1? ?1,3? ?3,+∞? x 2? 2 2 ? ?2 2? ?2 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 极小值 3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2-2ax +1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 课标理数 16.B12[2011· 安徽卷] ex 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 课标理数 16.B12[2011· 安徽卷] 【解析】 本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符 号与函数单调性之间的关系,求解一元二次不等式等基本知识,考查运算求解能力,综合分 析和解决问题的能力. 【解答】 对 f(x)求导得 1+ax2-2ax f′(x)=ex .① ?1+ax2?2 4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 结合①,可知 1 3 ?1,3? ?3,+∞? 2 2 ?2 2? ?2 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 极小值 3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2-2ax +1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. x

?-∞,1? 2? ?

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x 课标理数 18.B12[2011· 北京卷] 已知函数 f(x)=(x-k)2e . k (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若对于任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围. e 1 x 课标理数 18.B12[2011· 北京卷] 【解答】 (1)f′(x)= (x2-k2)e . k k 令 f′(x)=0,得 x=± k. 当 k>0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下: x k (-∞,-k) -k (-k,k) (k,+∞) 0 0 f′(x) + - + - f(x) 0 4k2e 1 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-k)和(k,+∞);单调递减区间是(-k,k). 当 k<0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下: x k (-∞,k) (k,-k) -k (-k,+∞) 0 0 f′(x) - + - 2 -1 f(x) 0 4k e 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞);单调递增区间是(k,-k). k+1 1 1 (2)当 k>0 时,因为 f(k+1)=e > ,所以不会有?x∈(0,+∞),f(x)≤ . k e e 4k2 当 k<0 时,由(1)知 f(x)在(0,+∞)上的最大值是 f(-k)= . e 2 1 4k 1 所以?x∈(0,+∞),f(x)≤ ,等价于 f(-k)= ≤ . e e e 1 解得- ≤k<0. 2 1 ? 1 故当?x∈(0,+∞),f(x)≤ 时,k 的取值范围是? ?-2,0?. e 课标文数 18.B12[2011· 北京卷] 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 课标文数 18.B12[2011· 北京卷] 【解答】 (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)的情况如下: x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) 0 f′(x) - + k -1 f(x) -e 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时. 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最 - 小值为 f(k-1)=-ek 1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减; 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 大纲理数 8.B12[2011· 全国卷] 曲线 y=e
-2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围

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成的三角形的面积为( ) 1 1 A. B. 3 2 2 C. D.1 3 - - 大纲理数 8.B12[2011· 全国卷] A 【解析】 函数 y=e 2x+1 的导数为 y′=-2e 2x, -2x 则 y′|x=0=-2,曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线方程是 2x+y-2=0,直线 y=x 与直线 2 2? 2x+y-2=0 的交点为? ?3,3?,直线 y=0 与直线 2x+y-2=0 的交点为(1,0),三角形的面积 1 2 1 为 ×1× = ,故选 A. 2 3 3 2x 大纲理数 22.B12,E8[2011· 全国卷] (1)设函数 f(x)=ln(1+x)- ,证明:当 x>0 时, x+2 f(x)>0; (2)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽 9 ?19 1 取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p.证明:p<? ?10? <e2. x2 大纲理数 22.B12, E8[2011· 全国卷] 【解答】 (1)f′(x)= .[来源:Z#xx#k.Com] ?x+1??x+2?2 当 x>0 时,f′(x)>0,所以 f(x)为增函数,又 f(0)=0.因此当 x>0 时,f(x)>0. 100×99×98×?×81 (2)p= . 10020 又 99×81<902,98×82<902,?,91×89<902, 9 ?19 所以 p<? ?10? . 2x 由(1)知:当 x>0 时,ln(1+x)> . x+2 2? 因此,? ?1+x?ln(1+x)>2. 10?19 2 1 10 在上式中,令 x= ,则 19ln >2,即? ? 9 ? >e . 9 9 9 ?19 1 所以 p<? ?10? <e2. 大纲文数 21.B12[2011· 全国卷] 已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). (1)证明:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2); (2)若 f(x)在 x=x0 处取得极小值,x0∈(1,3),求 a 的取值范围. 大纲文数 21.B12[2011· 全国卷] 【解答】 (1)证明:f′(x)=3x2+6ax+3-6a. 由 f(0)=12a-4, f′(0)=3-6a 得曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=(3-6a)x+12a -4, 由此知曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2). (2)由 f′(x)=0 得 x2+2ax+1-2a=0. ①当- 2-1≤a≤ 2-1 时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)没有极小值; ②当 a> 2-1 或 a<- 2-1 时,由 f′(x)=0 得 x1=-a- a2+2a-1,x2=-a+ a2+2a-1, 故 x0=x2.由题设知 1<-a+ a2+2a-1<3. 当 a> 2-1 时,不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 无解; 5 当 a<- 2-1 时,解不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 得- <a<- 2-1. 2 5 ? 综合①②得 a 的取值范围 是? ?-2,- 2-1?.
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课标理数 18.B10,B12[2011· 福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的 a 销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 x-3 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. a 课标理数 18.B10,B12[2011· 福建卷] 【解答】 (1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10= 2 11,a=2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 2 y= +10(x-6)2. x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. ? ? 2 从而 f′( x)=10[?x-6? +2?x-3??x-6?] =30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) 0 f′(x) + - f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 课标文数 10.B12,E6[2011· 福建卷] 若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x =1 处有极值,则 ab 的最大值等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 课标文数 10.B12,E6[2011· 福建卷] D 【解析】 f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值, ∴f′(1)=0,即 12-2a-2b=0,化简得 a+b=6, ∵a>0,b>0, a+b?2 ∴ab≤? ? 2 ? =9,当且仅当 a=b=3 时,ab 有最大值,最大值为 9,故选 D. 课标文数 22.B11,B12[2011· 福建卷] 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b +axlnx,f(e)=2(e=2.71828?是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t ?1 ?? 与曲线 y=f(x)? ?x∈?e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不 存在,说明理由. 课标文数 22.B11,B12[2011· 福建卷] 【解答】 (1)由 f(e)=2 得 b=2. (2)由(1)可得 f(x)=-ax+2+axlnx. 从而 f′(x)=alnx. 因为 a≠0,故: ①当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x>1,由 f′(x)<0 得 0<x<1; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1. 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
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当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)当 a=1 时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx. 1 ? 由(2)可得,当 x 在区间? ? e,e?内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 2 2- e 1 e

?1,1? ?e ?
- 单调递减

1 0 极小值 1

(1,e) + 单调递增

e

2

1 ? 2 又 2- <2,所以函数 f(x)(x∈? ? e,e?)的值域为[1,2]. e ? ?m=1, 1 ?? ,e 据此可得,若? 相对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)? x∈? e ??都 ? ? ?M=2 ? 有公共点; ?1 ?? 并且对每一个 t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线 y=t 与曲线 y=f(x)? ?x∈?e,e??都没有公 共点. 综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t∈[m, ?1 ?? M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)? ?x∈?e,e??都有公共点. 课标理数 12.B12[2011· 广东卷] 函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 课标理数 12.B12[2011· 广东卷] 2 【解析】 f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2,当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,显然当 x=2 时 f(x)取极小值. 课标 文数 19.B12[2011· 广东卷] 设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性.[来源:学科网] 课标文数 19.B12[2011· 广东卷] 【解答】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 f′(x)= , x 1? 当 a≠1 时,方程 2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0 的判别式 Δ=12(a-1)? ?a-3?. 1 ①当 0<a< 时,Δ>0,f′(x)有两个零点, 3 ?a-1??3a-1? ?a-1??3a-1? 1 1 x1= - >0,x2= + , 2a 2 a 2a?1-a? 2a?1-a? 且当 0<x<x1 或 x>x2 时,f′(x)>0,f(x)在(0,x1)与(x2,+∞)内为增函数; 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0,f(x)在(x1,x2)内为减函数; 1 ②当 ≤a<1 时,Δ≤0,f′(x)≥0,所以 f(x)在(0,+∞)内为增函数; 3 1 ③当 a=1 时,f′(x)= >0(x>0),f(x)在(0,+∞)内为增函数; x ?a-1??3a-1? 1 ④当 a>1 时,Δ>0,x1= - >0, 2a 2a?1-a? ?a-1??3a-1? 1 + <0, 2a 2a?1-a? 所以 f′(x)在定义域内有唯一零点 x1, 且当 0<x<x1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,x1)内为增函数;当 x>x1 时,f′(x)<0,f(x)在(x1, +∞)内为减函数. x2=
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f(x)的单调区间如下表: 1 0<a< 3 (0,x1) 1 ≤a≤1 3 (x1,x2) a>1 (x2,+∞) (0,+∞) (0,x1) (x1,+∞)

?a-1??3a-1? 1 (其中 x1= - , 2a 2a?1-a? x2= ?a-1??3a-1? 1 + ) 2a 2a?1-a?

课标理数 10.B12[2011· 湖北卷] 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元 素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含 t 量 M(单位:太贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02- ,其中 M0 为 t=0 时 30 铯 137 的含量. 已知 t=30 时, 铯 137 含量的变化率 是-10ln2(太贝克/年), 则 M(60)=( ) ... A.5 太贝克 B.75ln2 太贝克 C.150ln2 太贝克 D.150 太贝克 1 t 课标理数 10.B12[2011· 湖北卷] D 【解析】因为 M′(t)=- M02- · ln2, 所以 M′(30) 30 30 1 t - =- M0ln2=-10ln2.所以 M0=600.所以 M(t)=600×2- .所以 M(60)=600×2 2=150(太 60 30 贝克). 课标理数 21.B12,E9[2011· 湖北卷] (1)已知函数 f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数 f(x)的最大值; (2)设 ak,bk(k=1,2,?,n)均为正数,证明: ①若 a1b1+a2b2+?+anbn≤b1+b2+?+bn,则 ab11ab22?abnn≤1; 1 2 2 ②若 b1+b2+?+bn=1,则 ≤bb11bb22?bbnn≤b2 1+b2+?+bn. n 课标理数 21.B12,E9[2011· 湖北卷] 【解答】 1 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),令 f′(x)= -1=0,解得 x=1, x 当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)内是增函数; 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)内是减函数. 故函数 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=0. (2)证明:①由(1)知,当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)≤f(1)=0,即 lnx≤x-1. ∵ak,bk>0,从而有 lnak≤ak-1,得 bklnak≤akbk-bk(k=1,2,?,n), 求和得 ?lnabkk≤ ?akbk- ?bk,
k=1 k=1 k=1 n n n

∵ ?akbk≤ ?bk,∴ ?lnabkk≤0,即 ln(ab11ab22?abnn)≤0,
k=1 k=1 k=1

n

n

n

∴ab11ab22?abnn≤1.

1 ②(i)先证 bb11bb22?bbnn≥ , n 设 ak= bn≤1,
n n 1 n 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 (k=1,2, ?,n), 则 ?akbk= ? =1= ?bk,于是由①得? b1?nb ?b2?? nb nb ? ? ? nbk n 1 2 n? k=1 k=1 k=1

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1 ≤nb1+b2+?+bn=n, bb11bb22?bbnn 1 ∴bb11bb22?bbnn≥ . n 2 2 (ii)再证 bb11bb22?bbnn≤b2 1+b2+?+bn, 即
n bk 2 记 S= ?bk ,设 ak= (k=1,2,?,n), S = k 1 n n 1 n 则 ?akbk= ?b2 k =1= ?bk, Sk=1 k=1 k=1

b1? ?b2? ?bn? 于是由①得? ? S ?b1? S ?b2?? S ?bn≤1, 即 bb11bb22?bbnn≤Sb1+b2+?+bn=S, 2 2 ∴bb11bb22?bbnn≤b2 1+b2+?+bn. 综合(i)(ii),②得证. 课标文数 20.B12,E9[2011· 湖北卷] 设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2, 其中 x∈R,a、b 为常数,已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对任意的 x ∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 课标文数 20.B12,E9[2011· 湖北卷] 【解答】 (1)f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3. 由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线, 故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1. ? ? ?8+8a+2b+a=0, ?a=-2, 由此得? 解得? ?12+8a+b=1, ?b=5. ? ? 所以 a=-2,b=5,切线 l 的方程为 x-y-2=0. (2)由(1)得 f(x)=x3-4x2+5x-2, 所以 f(x)+g(x)=x3-3x2+2x. 依题意,方程 x(x2-3x+2-m)=0 有三个互不相同的实根 0、x1、x2, 故 x1、x2 是方程 x2-3x+2-m=0 的两相异的实根. 1 所以 Δ=9-4(2-m)>0,即 m>- . 4 又对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立. 特别地,取 x=x1 时,f(x1)+g(x1)-mx1<-m 成立,得 m<0. 由韦达定理,可得 x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0, 故 0<x1<x2. 对任意的 x∈[x1,x2],有 x-x2≤0,x-x1≥0,x>0, 则 f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0, 又 f(x1)+g(x1)-mx1=0, 所以函数 f(x)+g(x)-mx 在 x∈[x1,x2]的最大值为 0. 1 于是当- <m<0 时,对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立. 4 1 ? 综上,m 的取值范围是? ?-4,0?. 课标理数 8.B12[2011· 湖南卷] 设直线 x=t 与函数 f(x)=x2, g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为( ) 1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 课标理数 8.B12[2011· 湖南卷] D 【解析】 用转化的思想:直线 x=t 与函数 f(x)=x2,
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g(x)=lnx 图象分别交于 M,N,而|MN|的最小值,实际是函数 F(t)=t2-lnt(t>0)时的最小值. 1 2 2 令 F′(t)=2t- =0,得 t= 或 t=- (舍去). t 2 2 2 故 t= 时,F(t)=t2-lnt 有最小值,即|MN|达到最小值,故选 D. 2 π ? sinx 1 课标文数 7.B12[2011· 湖南卷] 曲线 y= - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为 sinx+cosx 2 ) 1 1 A.- B. 2 2 2 2 C.- D. 2 2 sinx 1 课标文数 7.B12[2011· 湖南卷] B 【解析】 对 y= - 求导得到 sinx+cosx 2 cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 y′= = , ?sinx+cosx?2 ?sinx+cosx?2 π π 1 1 当 x= ,得到 y′? = . ?x=4 =? 2 4 2?2 2 + 2? ?2

(

1 课标文数 22.B12,E8[2011· 湖南卷] 设函数 f(x)=x- -alnx(a∈R). x (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个极值点 x1 和 x2,记过点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为 k.问: 是否存在 a,使得 k=2-a?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 课标文数 22.B12,E8[2011· 湖南卷] 【解答】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞). 2 1 a x -ax+1 f′(x)=1+ 2- = . x x x2 令 g(x)=x2-ax+1,其判别式 Δ=a2-4. ①当|a|≤2 时,Δ≤0,f′(x)≥0. 故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a<-2 时,Δ>0,g(x)=0 的两根都小于 0. 在(0,+∞)上,f′(x)>0. 故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. a- a2-4 a+ a2-4 ③当 a>2 时,Δ>0,g(x)=0 的两根为 x1= ,x2= . 2 2 当 0<x<x1 时,f′(x)>0;当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;当 x>x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减. (2)由(1)知,a>2. x1-x2 因为 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ -a(lnx1-lnx2),所以, x1x2 f?x1?-f?x2? lnx1-lnx2 1 k= =1+ -a· . x1x2 x1-x2 x1-x2 又由(1)知,x1x2=1,于是 lnx1-lnx2 k=2-a· . x1-x2 lnx1-lnx2 若存在 a,使得 k=2-a,则 =1. x1-x2 即 lnx1-lnx2=x1-x2. 1 亦即 x2- -2lnx2=0(x2>1).(*) x2
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1 1 再由(1)知, 函数 h(t)=t- -2lnt 在(0, +∞)上单调递增, 而 x2>1, 所以 x2- -2lnx2>1 t x2 1 - -2ln1=0.这与(*)式矛盾. 1 故不存在 a,使得 k=2-a. 1 1 课标理数 19.B12[2011· 江西卷] 设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1?2 1 课标理数 19.B12[2011· 江西卷] 【解答】 (1)由 f′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a, 2 2 1 ? ?2? 2 当 x∈? ?3,+∞?时,f′(x)的最大值为 f′?3?=9+2a;令9+2a>0,得 a>-9, 2 1 ? 所以,当 a>- 时,f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间. 9 1- 1+8a 1+ 1+8a ,x2= . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4,所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2). 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1), 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- , 3 3 10 得 a=1,x2=2,从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 (2)令 f′(x)=0,得两根 x1= 1 课标文数 20.B12[2011· 江西卷] 设 f(x)= x3+mx2+nx. 3 (1)如果 g(x)=f′(x)-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-5,求 f(x)的解析式; (2)如果 m+n<10(m, n∈N+), f(x)的单调递减区间的长度是正整数, 试求 m 和 n 的值. (注: 区间(a,b)的长度为 b-a) 课标文数 20.B12[2011· 江西卷] 【解答】 (1)由题得 g(x)=x2+2(m-1)x+(n-3)=(x+m -1)2+(n-3)-(m-1)2, 已知 g(x)在 x=-2 处取得最小值-5, ? ?m-1=2, 所以? 即 m=3,n=2. 2 ??n-3?-?m-1? =-5, ? 1 即得所要求的解析式为 f(x)= x3+3x2+2x. 3 2 (2)因为 f′(x)=x +2mx+n,且 f(x)的单调递减区间的长度为正整数,故 f′(x)=0 一定 有两个不同的根, 从而 Δ=4m2-4n>0 即 m2>n. 不妨设两根为 x1,x2,则|x2-x1|=2 m2-n为正整数. 又 m+n<10(m,n∈N+), 故 m≥2 时才可能有符合条件的 m,n, 当 m=2 时,只有 n=3 符合要求; 当 m=3 时,只有 n=5 符合要求; 当 m≥4 时,没有符合要求的 n. 综上所述,只有 m=2,n=3 或 m=3,n=5 满足上述要求.

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alnx b 课标理数 21.B12[2011· 课标全国卷] 已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) x+1 x 处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; lnx k (2)如果当 x>0,且 x≠1 时,f(x)> + ,求 k 的取值范围. x-1 x x+1 ? a? ? x -lnx? b 课标理数 21.B12[2011· 课标全国卷] 【解答】 (1)f′(x)= - 2, x ?x+1?2 f?1?=1, ? ? 1 由 于 直 线 x + 2y - 3 = 0 的 斜 率 为 - , 且 过 点 (1,1) , 故 ? 1 2 f′?1?=- , ? 2 ? b=1, ? ? ?a 1 -b=- , ? 2 2 ? 解得 a=1,b=1. lnx 1 (2)由(1)知 f(x)= + ,所以 x+1 x lnx k ?k-1??x2-1?? 1 ? f(x)-?x-1+x?= 2ln x + x ? ? 1-x2? ?. ?k-1??x2-1? 考虑函数 h(x)=2lnx+ (x>0), x ?k-1??x2+1?+2x 则 h′(x)= . x2 2 k?x +1?-?x-1?2 ①设 k≤0,由 h′(x)= 知, x2 当 x≠1 时,h′(x)<0,而 h(1)=0, 1 故当 x∈(0,1)时,h(x)>0,可得 h(x)>0; 1-x2 1 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得 h(x)>0. 1-x2 lnx k 从而当 x>0,且 x≠1 时,f(x)-?x-1+x?>0, ? ? lnx k 即 f(x)> + . x-1 x 1 ②设 0<k<1, 由于当 x∈?1,1-k?时, (k-1)(x2+1)+2x>0, 故 h′(x)>0, 而 h(1)=0, ? ? 1 1 故当 x∈?1,1-k?时,h(x)>0,可得 h(x)<0.与题设矛盾. ? ? 1-x2 1 ③设 k≥1,此时 h′(x)>0,而 h(1)=0,故当 x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得 h(x) 1-x2 <0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(-∞,0]. 课标理数 11.B12[2011· 辽宁卷] 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x) >2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 课标理数 11.B12[2011· 辽宁卷] B 【解析】 设 G(x)=f(x)-2x-4,所以 G′(x)=f′(x) -2,由于对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 G′(x)=f′(x)-2>0 恒成立,所以 G(x)=f(x)-2x
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-4 是 R 上的增函数,又由于 G(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以 G(x)=f(x)-2x-4>0, 即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞),故选 B. 课标理数 21.B12[2011· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (1)讨论 f(x)的单调性; 1 ? ?1 ? 1 (2)设 a>0,证明:当 0<x< 时,f? ?a+x?>f?a-x?; a ( 3)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A, B 两点, 线段 AB 中点的横坐标为 x0, 证明 f′(x0) <0. 1 课标理数 21.B12[2011· 辽宁卷] 【解答】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -2ax x ?2x+1??ax-1? +(2-a)=- . x ①若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)单调增加. 1 1 1 0, ?时,f′(x)>0,当 x> 时,f′(x) ②若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x= ,且当 x∈? ? a? a a 1 1 ? ? ? <0.所以 f(x)在? ?0,a?单调增加,在?a,+∞?单调减少. 1 ? ?1 ? (2)设函数 g(x)=f? ?a+x?-f?a-x?,则 g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a 2a3x2 g′(x)= + -2a= . 1+ax 1-ax 1-a2x2 1 当 0<x< 时,g′(x)>0,而 g(0)=0,所以 g(x)>0. a 1 ? ?1 ? 1 故当 0<x< 时,f? ?a+x?>f?a-x?. a (3)由(1)可得, 当 a≤0 时, 函数 y=f(x)的图像与 x 轴至多有一个交点, 故 a>0, 从而 f(x) 1? 1? ? ? 的最大值为 f?a?,且 f?a?>0. 1 不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则 0<x1< <x2. a 2 1 1 ? ? ? 由(2)得 f? ?a-x1?=f?a+a-x1?>f(x1)=0. x1+x2 1 2 从而 x2> -x1,于是 x0= > . a 2 a 由(1)知,f′(x0)<0. 课标文数 11.B12[2011· 辽宁卷] 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x) >2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 课标文数 11.B12[2011· 辽宁卷] B 【解析】 设 G(x)=f(x)-2x-4,所以 G′(x)=f′(x) -2,由于对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 G′(x)=f′(x)-2>0 恒成立,所以 G(x)=f(x)-2x -4 是 R 上的增函数,又由于 G(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以 G(x)=f(x)-2x-4>0, 即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞),故选 B. 课标文数 16.B12[2011· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是 ________. 课标文数 16.B12[2011· 辽宁卷] (-∞, 2ln2-2] 【解析】 由于 f(x)=ex-2x+a 有零点, x x 即 e -2x+a=0 有解,所以 a=-e +2x. 令 g(x)=-ex+2x,由于 g′(x)=-ex+2,令 g′(x)=-ex+2=0 解得 x=ln2.
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当 x∈(-∞,ln2)时,g′(x)=-ex+2>0,此时为增函数;当 x∈(ln2,+∞)时,g′(x) =-ex+2<0,此时为减函数. 所以,当 x=ln2 时,函数 g(x)=-ex+2x 有最大值 2ln2-2,即 g(x)=-ex+2x 的值域 为(-∞,2ln2-2],所以 a∈(-∞,2ln2-2]. 课标文数 20.B12[2011· 辽宁卷] 设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2. b 课标文数 20.B12[2011· 辽宁卷] 【解答】 (1)f′(x)=1+2ax+ . x ?f?1?=0, ?1+a=0, ? ? 由已知条件得? 即? ? ? ?f′?1?=2. ?1+2a+b=2. 解得 a=-1,b=3. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知 f(x)=x-x2+3lnx. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则 ?x-1??2x+3? 3 g′(x)=-1-2x+ =- . x x 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2. alnx b 课标文数 21.B12[2011· 课标全国卷] 已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) x+1 x 处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; lnx (2)证明:当 x>0,且 x≠1 时,f(x)> . x-1 x+1 ? a? ? x -lnx? b 课标文数 21.B12[2011· 课标全国卷] 【解答】 (1)f′(x)= - 2. x ?x+1?2 f?1?=1, ? ? 1 由 于 直 线 x + 2y - 3 = 0 的 斜 率 为 - , 且 过 点 (1,1) , 故 ? 1 2 ? ?f′?1?=-2, b=1, ? ? ?a 1 ? ?2-b=-2, 解得 a=1,b=1. lnx 1 (2)由(1)知 f(x)= + ,所以 x+1 x x2-1? lnx 1 ? f(x)- = . 2lnx- x ? x-1 1-x2? 2 x -1 考虑函数 h(x)=2lnx- (x>0),则 x 2 2 ?x-1?2 2 2x -?x -1? h′(x)= - =- . 2 x x x2 所以当 x≠1 时,h′(x)<0,而 h(1)=0,故 1 当 x∈(0,1)时,h(x)>0,可得 h(x)>0. 1-x2 即

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1 h(x)>0. 1-x2 lnx 从而当 x>0,且 x≠1 时,f(x)- >0, x-1 lnx 即 f(x)> . x-1 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得

由于 l≥2r, 因此 0<r≤2. 4 20 ? 2 2 -r ×3+4πr c, 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ? ? 3? r 160π 因此 y=4π(c-2)r2+ ,0<r≤2. r 160π (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 r 8π?c-2?? 3 20 ? r- = c-2?,0<r≤2. r2 ? 由于 c>3,所以 c-2>0. 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 20 =m,则 m>0, c-2 8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2]时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2 即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2]时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 令
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3

9 综合所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 课标文数 18.B12[2011· 安徽卷] 设 f(x)= ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 课标文数 18.B12[2011· 安徽卷] 本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数 单调性变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的 能力. 1+ax2-2ax 【解答】 对 f(x)求导得 f′(x)=ex .① ?1+ax2?2 4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 结合①可知 1 3 ?1,3? ?3,+∞? 2 2 ?2 2? ?2 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 极小值 3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2-2ax +1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. x 课标文数 21.B12,E8[2011· 陕西卷] 设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1? (2)讨论 g(x)与 g? ?x?的大小关系; 1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立. a 1 课标文数 21.B12,E8[2011· 陕西卷] 【解答】 (1)由题设知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+ . x x-1 ∴g′(x)= 2 .令 g′(x)=0 得 x=1, x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间. 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点. 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. 1? (2)g? ?x?=-lnx+x. 1? 1 设 h(x)=g(x)-g? ?x?=2lnx-x+x, ?x-1?2 则 h′(x)=- . x2 1? 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g? ? x ?,
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?-∞,1? 2? ?

当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0. 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减, 当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0. 1? 即 g(x)>g? ? x ?. 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0, 1? 即 g(x)<g? ? x ?. 1 1 (3)由(1)知 g(x)的最小值为 1,所以,g(a)-g(x)< ,对任意 x>0 成立?g(a)-1< , a a 即 lna<1,从而得 0<a<e. 课标数学 19.B12[2011· 江苏卷] 已知 a, b 是实数, 函数 f(x)=x3+ax, g(x)=x2+bx, f′(x) 和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≥0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x)和 g(x) 在区间 I 上单调性一致. (1)设 a>0,若 f(x)和 g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求 b 的取值范围; (2)设 a<0 且 a≠b,若 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最 大值. 课标数学 19.B12[2011· 江苏卷] 本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考 查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. 【解答】 f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b. (1)由题意知 f′(x)g′(x)≥0 在[-1,+∞)上恒成立.因为 a>0,故 3x2+a>0,进而 2x +b≥0,即 b≥-2x 在区间[-1,+∞)上恒成立,所以 b≥2.因此 b 的取值范围是[2,+∞). a (2)令 f′(x)=0,解得 x=± - . 3 若 b>0,由 a<0 得 0∈(a,b).又因为 f′(0)g′(0)=ab<0,所以函数 f(x)和 g(x)在(a,b) 上不是单调性一致的.因此 b≤0. a 现设 b≤0.当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0;当 x∈?-∞,- - ?时,f′(x)>0.因此当 x 3? ? a a 1 a ∈?-∞,- - ?时,f′(x)g′(x)<0.故由题设得 a≥- - 且 b≥- - ,从而- 3 3 3 3? ? 1 1 1 ≤a<0,于是- ≤b≤0,因此|a-b|≤ ,且当 a=- ,b=0 时等号成立. 3 3 3 1 2 1? ? 1 ? 又当 a=- ,b=0 时,f′(x)g′(x)=6x? ?x -9?,从而当 x∈?-3,0?时 f′(x)g′(x)>0, 3 1 ? 1 故函数 f(x)和 g(x)在? ?-3,0?上单调性一致.因此|a-b|的最大值为3. 课标理数 19.B12[2011· 天津卷] 已知 a>0, 函数 f(x)=lnx-ax2, x>0(f(x)的图象连续不断). (1)求 f(x)的单调区间; 3? 1 (2)当 a= 时,证明:存在 x0∈(2,+∞),使 f(x0)=f? 2?; ? 8 ln3-ln2 ln2 (3)若存在均属于区间[1,3]的 α,β,且 β-α≥1,使 f(α)=f(β),证明 ≤a≤ . 5 3 2 1-2ax 1 课标理数 19.B12[2011· 天津卷] 【解答】 (1)f′(x)= -2ax= ,x∈(0,+∞).令 x x 2a f′(x)=0,解得 x= .当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2a x f′(x)

?0, 2a? 2a ? ?


2a 2a 0
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? 2a,+∞? ? 2a ?


极大值 2a? 2a ?. 所以,f(x)的单调递增区间是?0, ,f(x)的单调递减区间是? 2a ? ? ? 2a ,+∞? 1 1 (2)证明:当 a= 时,f(x)=lnx- x2.由(1)知 f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调 8 8 递减. 3? ?3? 令 g(x)=f(x)-f? ?2?.由于 f(x)在(0,2)内单调递增,故 f(2)>f?2?,即 g(2)>0. 41-9e2 3 取 x′= e>2,则 g(x′)= <0. 2 32 3? 所以存在 x0∈(2,x′),使 g(x0)=0,即存在 x0∈(2,+∞),使 f(x0)=f? ?2?. (说明:x′的取法不惟一,只要满足 x′>2,且 g(x′)<0 即可.) 2a (3)证明:由 f(α)=f(β)及(1)的结论知 α< < β, 2a 从而 f(x)在[α,β]上的最小值为 f(α). 又由 β-α≥1,α,β∈[1,3],知 1≤α≤2≤β≤3. ?f?2?≥f?α?≥f?1?, ?ln2-4a≥-a, ? ? 故? 即? ? ? ?f?2?≥f?β?≥f?3?. ?ln2-4a≥ln3-9a. ln3-ln2 ln2 从而 ≤a≤ .[来源:Z&xx&k.Com] 5 3 课标文数 19.B12[2011· 天津卷] 已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈ R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间; (3)证明:对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 课标文数 19.B12[2011· 天津卷] 【解答】 (1)当 t=1 时, f(x)=4x3+3x2-6x, f(0)=0, f′(x) 2 =12x +6x-6,f′(0)=-6,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=-6x. t (2)f′(x)=12x2+6tx-6t2.令 f′(x)=0,解得 x=-t 或 x= .因为 t≠0,以下分两种情况 2 讨论: t ①若 t<0,则 <-t.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x)

f(x)

?-∞, t ? 2? ?


? t ,-t? ?2 ?


(-t,+∞) +

t? ?t ? 所以,f(x)的单调递增区间是? ?-∞,2?,(-t,+∞);f(x)的单调递减区间是?2,-t?. t ②若 t>0,则-t< .当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x) (-∞,-t) +

?-t, t ? 2? ?


? t ,+∞? ?2 ?


t t? ? ? 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-t),? ?2,+∞?;f(x)的单调递减区间是?-t,2?. t? ?t ? (3)证明:由(2)可知,当 t>0 时,f(x)在? ?0,2?内单调递减,在?2,+∞?内单调递增.以
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下分两种情况讨论: t ①当 ≥1,即 t≥2 时,f(x)在(0,1)内单调递减. 2 f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-6×4+4×2+3<0. 所以对任意 t∈[2,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. t t t 0, ?内单调递减,在? ,1?内单调递增. ②当 0< <1,即 0<t<2 时,f(x)在? 2 2 ? ? ? ? 2 t? 73 73 若 t∈(0,1],f? ?2?=-4t +t-1≤-4t <0, f(1)=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3>0, t ? 所以 f(x)在? ?2,1?内存在零点. t? 73 73 若 t∈(1,2),f? ?2?=-4t +(t-1)<-4t +1<0, f(0)=t-1>0, t? 所以 f(x)在? ?0,2?内存在零点. 所以,对任意 t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 综上,对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 课标文数 10.B12[2011· 浙江卷] 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函 x 数 f(x)e 的一个极值点,则下列图象不可能 为 y=f(x)的图象是( ) ...

图 1-3 课标文数 10.B12[2011· 浙江卷] D 【解析】 设 F(x)=f(x)ex,∴F′(x)=exf′(x)+exf(x) =ex(2ax+b+ax2+bx+c), 又∵x=-1 为 f(x)ex 的一个极值点, ∴F′(-1)=e2(-a+c)=0,即 a=c, ∴Δ=b2-4ac=b2-4a2, 当 Δ=0 时,b=± 2a,即对称轴所在直线方程为 x=± 1; b ? 当 Δ>0 时,? ?2a?>1,即对称轴在直线 x=-1 的左边或在直线 x=1 的右边. 又 f(-1)=a-b+c=2a-b<0,故 D 错,选 D. 大纲理数 18.B12[2011· 重庆卷] 设 f(x)=x3+ax2+bx+1 的导数 f′(x)满足 f′(1)=2a, f′(2)=-b,其中常数 a,b∈R. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; - (2)设 g(x)=f′(x)e x,求函数 g(x)的最值. 大纲理数 18.B12[2011· 重庆卷] 【解答】 (1)因 f(x)=x3+ax2+bx+1,故 f′(x)=3x2+ 2ax+b, 令 x=1,得 f′(1)=3+2a+b,由已知 f′(1)=2a, 因此 3+2a+b=2a,解得 b=-3. 又令 x=2,得 f′(2)=12+4a+b,由已知 f′(2)=-b,因此 12+4a+b=-b, 3 解得 a=- . 2 3 5 因此 f(x)=x3- x2-3x+1,从而 f(1)=- . 2 2 3 ? ? 5? 又因为 f′(1)=2×? ?-2?=-3,故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-?-2?= -3(x-1),即 6x+2y-1=0.
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(2)由(1)知 g(x)=(3x2-3x-3)e x, - 从而有 g′(x)=(-3x2+9x)e x. 令 g′(x)=0,得-3x2+9x=0,解得 x1=0,x2=3. 当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,故 g(x)在(-∞,0)上为减函数; 当 x∈(0,3)时,g′(x)>0,故 g(x)在(0,3)上为增函数; 当 x∈(3,+∞)时,g′(x)<0,故 g(x)在(3,+∞)上为减函数; 从而函数 g(x)在 x1=0 处取得极小值,即最小值 g(0)=-3,在 x2=3 处取得极大值,即 - 最大值 g(3)=15e 3.


大纲文数 19.B12[2011· 重庆卷] 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y= 1 f′(x)的图象关于直线 x=- 对称,且 f′(1)=0. 2 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 大纲文数 19.B12[2011· 重庆卷] 【解答】 (1)因 f(x)=2x3+ax2+bx+1, 故 f′(x)=6x2+2ax+b. a a2 a x+ ?2+b- ,即 y=f′(x)关于直线 x=- 对称,从而由题设条件知- 从而 f′(x)=6? ? 6? 6 6 a 1 =- ,解得 a=3. 6 2 又由于 f′(1)=0,即 6+2a+b=0,解得 b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). 令 f′(x)=0,即 6(x-1)(x+2)=0. 解得 x1=-2,x2=1. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 从而函数 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=21,在 x2=1 处取得极小值 f(1)=-6.

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课标理数 5.B13[2011· 福建卷] ?1(ex+2x)dx 等于( ?
0

)

A.1 B.e-1 C.e D.e+1 课标理数 5.B13[2011· 福建卷] C 【解析】 因为 F(x)=ex+x2,且 F′(x)=ex+2x,则 x 2 1 0 1 x ? (e +2x)dx=(e +x )|0=(e+1)-(e +0)=e,故选 C.

?0

π π 课标理数 6.B13[2011· 湖南卷] 由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封 3 3 闭图形的面积为( ) 1 3 A. B.1 C. D. 3 2 2 课标理数 6. B13[2011· 湖南卷] D 【解析】 根据定积分的简单应用相关的知识可得到: π π 由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为: 3 3 π 3 π π π π ? - ??= 3, S=? =?sin3-sin? 3?? ? ?∫3-3cosx dx?= sinx ? π - 3

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

故选 D. 课标理数 9.B13[2011· 课标全国卷] 由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的 面积为( ) 10 16 A. B.4 C. D.6 3 3

? ?lgx,x>0, 课标理数 11.B13[2011· 陕西卷] 设 f(x)=?x+ a3t2dt,x≤0, 若 f(f(1))=1,则 a= ? ? ? ?0
________. x>0, ? ?lgx, 2 课标理数 11.B13[2011· 陕西卷] 1 【解析】 由 f(x)=?x+ a3t dt, x≤0 得 ?0 ? ? ?
? x>0, ?lgx, f(x)=? f(1)=lg1=0, 3 ?x+a , x≤0, ? f[f(1)]=f(0)=a3=1,∴a=1.

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图 1-2 课标文数 10.B14[2011· 广东卷] 设 f(x),g(x),h(x)是 R 上的任意实值函数,如下定义两 个函数(f?g)(x)和(f· g)(x):对任意 x∈R,(f?g)(x)=f(g(x));(f· g)(x)=f(x)g(x).则下列等式恒成 立的是( ) A.((f?g)· h)(x)=((f· h)?(g· h))(x) B.((f· g)?h)(x)=((f?h)· (g?h))(x) C.((f?g)?h)(x)=((f?h)?(g?h))(x) D.((f· g)· h)(x)=((f· h)· (g· h))(x) 课标文数 10.B14[2011· 广东卷] B 【解析】 根据题目已知的新定义,空心为复合,实 心则拿出来相乘,在 B 中左边=((f· g)?h)(x)=(f· g)(h(x))=f(h(x))g(h(x)), 右边=((f?h)· (g?h))(x)=(f?h)(x)(g?h)(x)=f(h(x))g(h(x)), 由于左边=右边,所以 B 正确.其他选项按照此规律计算都不满足题意. 课标文数 8.B14[2011· 湖南卷] 已知函数 f(x)=ex-1, g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b), 则 b 的取值范围为( ) A.[2- 2,2+ 2] B.(2- 2,2+ 2) C.[1,3] D.(1,3) 课标文数 8.B14[2011· 湖南卷] B 【解析】 因为 f(x)=ex-1>-1, g(x)=-x2+4x-3≤1, 2 要有 f(a)=g(b), 则一定要有-1<-x +4x-3≤1, 解之得: 有 2- 2<x<2+ 2, 即 2- 2 <b<2+ 2,故选 B.
1 x ? ?2 , x≤1, ? 课标理数 9.B14[2011· 辽宁卷] 设函数 f(x)= 则满足 f(x)≤2 的 x 的 ? ?1-log2x, x>1,


取值范围是( ) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) - 课标理数 9.B14[2011· 辽宁卷] D 【解析】当 x≤1 时, f(x)≤2 化为 21 x≤2, 解得 0≤x≤1; 当 x>1 时,f(x)=1-log2x<1<2 恒成立,故 x 的取值范围是[0,+∞),故选 D.

80π 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设该容器的建造 3 费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米
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建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 课标理数 21.B14[2011· 山东卷] 【解答】 (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 3 V- πr 3 80 4 4 20 ? 2 -r . 故 l= = 2- r= ? ? πr2 3r 3 3? r 由于 l≥2r, 因此 0<r≤2. 4 20 ? 2 2 -r ×3+4πr c, 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ? ? 3? r 160π 因此 y=4π(c-2)r2+ ,0<r≤2. r 160π (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 r 8π?c-2?? 3 20 ? r- = c-2?,0<r≤2. r2 ? 由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 20 =m,则 m>0, c-2 8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2]时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2 即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2]时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 令 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 2 1 大纲文数 22.B14[2011· 四川卷] 已知函数 f(x)= x+ ,h(x)= x. 3 2 (1)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; 3 3 f?x-1?- ?=2lgh(a-x)-2lgh(4-x); (2)设 a∈R,解关于 x 的方程 lg? 4? ?2 1 * (3)设 n∈N ,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥ . 6 大纲文数 22.B14[2011· 四川卷]【解答】(1)F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2=-x3+12x+9(x≥0), ∴F′(x)=-3x2+12.
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3

令 F′(x)=0,得 x=2(x=-2 舍去). 当 x∈[0,2)时,F′(x)>0;当 x∈(2,+∞)时,F′(x)<0. 故当 x∈[0,2)时,F(x)为增函数; 当 x∈[2,+∞)时,F(x)为减函数. x=2 为 F(x)的极大值点,且 F(2)=-8+24+9=25. (2)原方程代为 lg(x-1)+2lg 4-x=2lg a-x x>1, ? ?4-x>0, ?? a-x>0, ? ??x-1??4-x?=a-x 1<x<4, ? ? ??x<a, ? ?a=-?x-3?2+5.

图 1-9 ①当 1<a≤4 时,原方程有一解 x=3- 5-a; ②当 4<a<5 时,原方程有两解 x1,2=3± 5-a; ③当 a=5 时,原方程有一解 x=3; ④当 a≤1 或 a>5 时原方程无解. (3)由已知得 h(1)+h(2)+?+h(n)= 1+ 2+?+ n, 1 4n+3 1 f(n)h(n)- = n- . 6 6 6 1 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=f(n)h(n)- (n∈N*),从而有 a1=S1=1, 6 4k+3 4k-1 当 k≥2 时,ak=Sk-Sk-1= k- k-1. 6 6 1 又 ak- k= [(4k-3) k-(4k-1) k-1] 6 2 2 1 ?4k-3? k-?4k-1? ?k-1? = 6?4k-3? k+?4k-1? k-1 1 1 >0. 6?4k-3? k+?4k-1? k-1 即对任意的 k≥2,有 ak> k. 又因为 a1=1= 1, 所以 a1+a2+?+an≥ 1+ 2+?+ n. 则 Sn≥h(1)+h(2)+?+h(n),故原不等式成立. = 大纲理数 11.B14[2011· 四川卷] 已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=3f(x+2), 2 当 x∈[0,2)时,f(x)=-x +2x.设 f(x)在[2n-2,2n)上的最大值为 an(n∈N*),且{an}的前 n 项 和为 Sn,则n→∞ lim Sn=( ) 5 3 A.3 B. C.2 D. 2 2 大纲理数 11.B14[2011· 四川卷] D 【解析】 由 f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1 可得 a1= 1 1,再由 f(x)=3f(x+2)可知 f(x)=f(x+2),且由 3 y=f(x+2)错误!y=错误!f(x)可知,函数 f(x)在 错误!上的最大值 an(n∈N*)组成的数列

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1 a1 3 {an}是公比为 的无穷递减等比数列,所以lim Sn= = . 3 n→∞ 1-q 2 大纲理数 16.B14[2011· 四川卷] 函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总 有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 大纲理数 16.B14[2011· 四川卷] ②③ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概 念的理解.对于①,如-2,2∈A 且 f(-2)=f(2),所以①错误;对于②③,根据单函数的定 义,函数即为一一映射确定的函数关系,所以当函数自变量不相等时,则函数值不相等,即 ②③正确;对于④,函数 f(x)在某区间上具有单调性,则函数只能是在该区间上为一一映射 确定的函数关系,而不能说 f(x)一定是单函数,所以④错误. 2 1 大纲理数 22.B14[2011· 四川卷] 已知函数 f(x)= x+ ,h(x)= x. 3 2 (1)设函数 F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的单调区间与极值; 3 3? (2)设 a∈R,解关于 x 的方程 log4? ?2f?x-1?-4?=log2h(a-x)-log2h(4-x); 100 1 (3)试比较 f(100)h(100)-∑ h(k)与 的大小. = 6 k 1 2 1 课标理数 22.B14[2011· 四川卷] 【解答】 由 F(x)=f(x)-h(x)= x+ - x(x≥0)知, 3 2 4 x-3 9 F′(x)= ,令 F′(x)=0,得 x= . 16 6 x 9 9 0, ?时,F′(x)<0,当 x∈? ,+∞?时,F′(x)>0, 当 x∈? 16 16 ? ? ? ? 9 9 ? ? ? 故当 x∈? ?0,16?时,F(x)是减函数,当 x∈?16,+∞?时,F(x)是增函数. 9? 1 9 F(x)在 x= 处有极小值且 F? ?16?=8. 16

图 1-9 (2)原方程可化为 log4(x-1)+log2h(4-x)=log2h(a-x), 1 即 log2(x-1)+log2 4-x=log2 a-x, 2 x-1>0, ? ?4-x>0, ?? a-x>0, ? ??x-1??4-x?=a-x 1<x<4, ? ? ??x<a, ? ?a=-?x-3?2+5.

①当 1<a≤4 时,原方程有一解 x=3- 5-a; ②当 4<a<5 时,原方程有两解 x1,2=3± 5-a; ③当 a=5 时,原方程有一解 x=3;
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④当 a≤1 或 a>5 时,原方程无解. (3)由已知得 ?h(k)= ?
k=1 100 100

k.

k=1

1 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=f(n)h(n)- (n∈N*). 6 从而有 a1=S1=1. 4k+3 4k-1 当 2≤k≤100 时,ak=Sk-Sk-1= k- k-1. 6 6 1 又 ak- k= [(4k-3) k-(4k-1) k-1] 6 2 2 1 ?4k-3? k-?4k-1? ?k-1? = 6?4k-3? k+?4k-1? k-1 1 1 >0. 6?4k-3? k+?4k-1? k-1 即对任意的 2≤k≤100,有 ak> k. = 又因为 a1=1= 1,所以 ?ak> ?
k=1 100 1 故 f(100)h(100)- ?h(k)> . 6 k=1 100 100

k,

k=1

课标理数 10.B14[2011· 浙江卷] 设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax 2 +1)(cx +bx+1).记集合 S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集 合 S,T 的元素个数,则下列结论不可能 的是( ) ... A.|S|=1 且|T|=0 B.|S|=1 且|T|=1 C.|S|=2 且|T|=2 D.|S|=2 且|T|=3 |S|=1 且 |T|=0; 课标理数 10.B14[2011· 浙江卷] D 【解析】 当 a=b=c=0 时, 当 a≠0, 2 2 S | | c≠0 且 b -4c<0 时, =1 且|T|=1; 当 a≠0, c≠0 且 b -4c=0 时, |S|=2 且|T|=2; 当 a≠0, c≠0 且 b2-4c>0 时,|S|=3 且|T|=3. 课标理数 22.B14[2011· 浙江卷] 设函数 f(x)=(x-a)2lnx,a∈R. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e2 成立. 注:e 为自然对数的底数. 课标理数 22.B14[2011· 浙江卷] 【解答】 (1)求导得 f′(x)=2(x-a)lnx+ a 2lnx+1- ?. a)? x? ? 因为 x=e 是 f(x)的极值点, a? 所以 f′(e)=(e-a)? ?3-e?=0,解得 a=e 或 a=3e, 经检验,符合题意,所以 a=e 或 a=3e. (2)①当 0<x≤1 时,对于任意的实数 a,恒有 f(x)≤0<4e2 成立. ②当 1<x≤3e 时,由题意,首先有 f(3e)=(3e -a)2ln(3e)≤4e2, 2e 2e 解得 3e- ≤a≤3e+ . ln?3e? ln?3e? a? 由(1)知 f′(x)=(x-a)? ?2lnx+1-x?,
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?x-a?2 =(x- x

a 令 h(x)=2lnx+1- ,则 h(1)=1-a<0, x h(a)=2lna>0, a 且 h(3e)=2ln(3e)+1- ≥2ln(3e)+1- 3e 1 ?>0. =2?ln3e- 3 ln3e? ? 又 h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为 x0,则 1<x0<3e, 1<x0<a. 从而, 当 x∈(0,x0)时,f′(x)>0; 当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x) >0,即 f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增. 所以要使 f(x)≤4e2 对 x∈(1,3e]恒成立,只要 ?f?x0?=?x0-a?2lnx0≤4e2,?1? ? ? 成立. 2 2 ?f?3e?=?3e-a? ln?3e?≤4e ?2? ? a 由 h(x0)=2lnx0+1- =0,知 x0 a=2x0lnx0+x0.(3) 3 2 2 3 将(3)代入(1)得 4x2 0ln x0≤4e .又 x0>1,注意到函数 x ln x 在[1,+∞)内单调递增,故 1<x0≤e.再由(3)以及函数 2xlnx+x 在(1,+∞)内单调递增,可得 1<a≤3e. 2e 2e 由(2)解得,3e- ≤a≤3e+ , ln?3e? ln?3e? 2e 所以 3e- ≤a≤3e. ln?3e? 2e 综上,a 的取值范围 3e- ≤a≤3e. ln?3e? 课标文数 21.B14[2011· 浙江卷] 设函数 f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立. 注:e 为自然对数的底数. 课标文数 21.B14[2011· 浙江卷] 【解答】 (1)因为 f(x)=a2lnx-x2+ax,其中 x>0,[来 源:Z&xx&k.Com] ?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= -2x+a=- . x x 由于 a>0,所以 f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). (2)由题意得:f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立, ? ?f?1?=a-1≥e-1, 只要? 2 2 2 ?f?e?=a -e +ae≤e . ? 解得 a=e. 3e+ 2e ln?3e? 3e

[2011· 哈尔滨期末] 奇函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(1-x),则在(-∞,0) 上 f(x)的函数解析式是( ) A.f(x)=-x(1-x) B.f(x)=x(1+x) C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1)
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[2011· 盐城模拟] 若函数 f(x)= A.(-∞,+∞) C. ?

x -4 的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围是( mx +4mx+3
2

)

B. ? 0, ?

?3 ? , ?? ? ?4 ?

3? 4? ? 3? D. ?0, ? ? 4?

? ?

[2011· 青岛期末] 在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数), 2x 1 表示不超过 x 的最大整数,例如[2]=2,[3.3]=3,[-2.4]=-3,设函数 f(x)= x- ,则 1+2 2 函数 y=[f(x)]+[f(-x)]的值域为__________.

[2011· 浙江五校联考 ] 已知偶函数 f(x) 在区间 [0 ,+∞) 上单调递增,则满足 f(2x - 2)<f( 2)的 x 的取值范围是( ) A. (-∞,0) B. (0, 2) C. (0,2 2) D. ( 2,+∞)

[2011· 贵州四校一联] 给出以下四个命题: ①若函数 f(x)=x3+ax2+2 的图象关于点(1,0)对称,则 a 的值为-3; 1 ②若 f(x+2)+ =0,则函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数; f?x? 1 ③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 n 项和,且满足 Sn+1= Sn+2,则数列{an}是等比数 2 列; - ④函数 y=3x+3 x(x<0)的最小值为 2. 则正确命题的序号是 ________.
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[2011· 上海八校联考] 设 a,b,k 是实数, 二次函数 f(x)=x2+ax+b 满足: f(k-1)与 f(k)异号, f(k+1)与 f(k)异号.在以下关于 f(x)的零点的命题中, 真命题是( ) A.该二次函数的零点都小于 k B.该二次函数的零点都大于 k C.该二次函数的两个零点之差一定大于 2 D.该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内

[2011· 浙江六校联考] 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1 的导函数为 f′(x), f′(0)>0, f(x) f?1? 与 x 轴恰有一个交点,则 的最小值为 ( ) f′?0? 3 5 A. 2 B. C. 3 D. [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 2 2

1 [2011· 南充高中月考] 化简: ?log23?2-4log23+4+log2 ,得( 3 A.2 B.2-2log23 C.-2 D.2log23-2

)

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[2011· 烟台一调] 函数 y=ln(1-x)的图象大致为(

)

[2011· 淮南一模] 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如图 1 所示, 则函数 g(x) =a +b 的图象是( )
x

图1

图2

[2011· 巢湖统考] 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计 算,其参考数据如下: f(1.5)= f(1.25)= f(1)=-2 0.625 -0.984 f(1.375)= f(1.4375)= f(1.40625)= -0.260 0.162 -0.054 那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为____________.

[2011· 滨州模拟] 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举 行一场足球义赛,预计卖出门票 2.4 万张,票价有 3 元、5 元和 8 元三种,且票价 3 元和 5 元的张数的积为 0.6 万张.设 x 是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,该俱乐部
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的纯收入为函数 y=lg2x,则这三种门票的张数分别为________________万张时可以为失学 儿童募捐的纯收入最大.

[2011· 湖北重点中学二联] 已知函数 f(x)的图象如图所示,f′(x)是 f(x)的导函数,则下 列数值排序正确的是( )

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)

1 1 [2011· 三明三校联考] 已知 α、β 是三次函数 f(x)= x3+ ax2+2bx 的两个极值点,且 α 3 2 b-2 ∈(0,1),β∈(1,2),则 的取值范围是( ) a-1

?1 ? ?1 ? B. ? ,1? ?4 ? ?2 ? ? 1 1? ? 1 1? C. ? ? , ? D. ? ? , ? ? 2 4? ? 2 2?
A. ? ,1?

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[2011· 上海联考]

?

1

0

4-x2dx=________.

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