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2.3.1 变量之间的相互关系


2.3.1 变量间的相关关系

思考

在学校,老师经常对学生这样说: “如果你的数学成绩好,那么你的物理 学习就不会有什么大问题。”按照这种 说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩 之间存在着一种相关关系。这种说法有 没有依据呢?

?

1〉商品销售收入与广告支出经费之 间的关系。商品销售收入与广

告支出经 费之间有着密切的联系,但商品收入不 仅与广告支出多少有关,还与商品质量、 居民收入等因素有关。

?

2〉粮食产量与施肥量之间的关系。在 一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越 高。但是,施肥量并不是决定粮食产量的 唯一因素,因为粮食产量还要受到土壤质 量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。

?

3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关 系。在一定年龄段内,随着年龄的增长, 人体内的脂肪含量会增加,但人体内的 脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有 关,可能还与个人的先天体质有关。

应当说,对于上述各种问题中的两个 变量之间的相关关系,我们都可以根据自 己的生活、学习经验作出相应的判断,因 为“经验当中有规律”。但是,不管你经 验多么丰富如果只凭经验办事,还是很容 易出错的。因此,在分析两个变量之间的 关系时,我们还需要有一些有说服力的方 法。

引入
1、刚才我们提过的现实生活中存在许多相关关系:

商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂
肪量与年龄等等的相关关系.

2、通过收集大量的数据,进行统计,对数据分析,
找出其中的规律,对其相关关系作出一定判断. 3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性, 所以样本数据应较大,和有代表性.才能对它

们之间的关系作出正确的判断.

探究
年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58

脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61

.

脂肪 35.2 34.6

如上的一组数据,你能分析人体的脂肪 含量与年龄之间有怎样的关系吗?

从上表发现,对某个人不一定有此规律,但
对很多个体放在一起,就体现出“人体脂肪随

年龄增长而增加”
这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年


人群的样本平均数.我们也可以对它们作统

计图、表,对这两个变量有一个直观上的印象
和判断.

下面我们以年龄为横轴,脂肪含量为纵
轴建立直角坐标系,作出各个点,称该图

为散点图。如图:
脂肪含量 40 35

30
25 20 15 10 5 年龄 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

O

从刚才的散点图发现:年龄越大,体内脂肪含量越

高,点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它
们成正相关。但有的两个变量的相关,如下图所示: 如高原含氧量与海拔高 度的相关关系,海平面以上, 海拔高度越高,含氧量越少。 作出散点图发现,它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程,称它们成负相

关.
O

我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条 直线附近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上 看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间 具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线,该直线 叫回归方程。 脂肪含量
40

那么,我们该 怎样来求出这个 回归方程?请同 学们展开讨论, 能得出哪些具体 的方案?

35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄

45 50 55 60 65

方案1、先画出一条直线,测量出各点与 它的距离,再移动直线,到达一个使距离的和 最小时,测出它的斜率和截距,得回归方程。
脂肪含量

.

40 35
30 25 20 15 10 5 0 年龄

20

25

30 35 40

45 50 55 60 65

. 方案2、在图中选两点作直线,使直线
两侧的点的个数基本相同。
脂肪含量 40

35
30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

方案3、如果多取几对点,确定多条直线,再求
出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线 的斜率和截距。而得回归方程。
脂肪含量 40 35

30 25
20

15
10 5 0 年龄

20

25

30 35 40

45 50 55 60 65

我们还可以找到更多的方法,但
这些方法都可行吗?科学吗?准确吗?

怎样的方法是最好的?
我们把由一个变量的变化去推测另

一个变量的方法称为回归方法。

我们上面给出的几种方案可靠性都不是很 强,人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:

?

b?
?

?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nxy
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 ? i

n

?

i ?1 n

i i 2 i

2

? x ? nx
i ?1

,
2

a ? y ?b x

y ? b x ? a

?

?

?

回归方程

以上公式的推导较复杂,故不作推导, 但它的原理较为简单:即各点到该直线的 距离的平方和最小,这一方法叫最小二乘 法。(参看如书P88)

2.3.2 变量间的线性关系

一、相关关系的判断 例1:5个学生的数学和物理成绩如下表:
A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

数学 物理

画出散点图,并判断它们是否有相关关系。

解:
物理成绩 80 75 70 65 60 55 50 40 50 60 70 80

数学成绩
90

由散点图可见,两者之间具有正相关关系。

二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 y -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 4 3 2 7 1 9

求两变量间的回归方程

解1: 列表:
i 1
i

2 -2

3 -3

4 -4

5 -5

6 5

7 3

8 4

9 2

10 1

x yi x yi
i

-1

-9
9

-7
14

-5
15

-3
12

-1
5
10

1
5
2 i

5
15

3
12

7
14
10

9
9

计算得:
10

x ? 0, y ? 0
i i

?x
i ?1

? 110, ?
i ?1

x y
i

i

? 110

b ?

?x y
i ?1 10

? 10 x y ?
2

?x
i ?1

2 i

? 10

x

110 ? 10 ? 0 ?1 110 ? 10 ? 0

a ? y ? bx ? 0 ? b? 0 ? 0

∴所求回归直线方程为 y=x

^

总结

求线性回归直线方程的步骤:
第一步:列表 x , y , x y ;
i i i i

第二步:计算

x, y, ? xi , ? xi
2 i ?1 i ?1

n

n

y ;
i

第三步:代入公式计算b,a的值; 第四步:写出直线方程。

小结
1、散点图
A、定义;B、正相关、负相关。 2、回归直线方程 (1)回归直线:观察散点图的特征,如 果各点大致分布在一条直线的附近,就称 两个变量之间具有线性相关的关系,这条 直线叫做回归直线。

(2)最小二乘法


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