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辽宁省东北育才学校2016届高三上学期第二次模拟考试 数学(文)


2015—2016 学年度上学期高中学段高三联合考试 高三年级数学试卷(文)
答题时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:李砚秋 校对人: 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)已知全集 U=R,集合 A={x | 1<x≤3},B={x | x>2},则 A∩CUB 等于 A. {x | 1≤x≤2} B.{ x | 1≤x<2} C.{x | 1<x≤2} D.{x | 1≤x≤3} (2)命题“若 α= A.若 α≠

?

?
4

4

,则 tanα=1”的逆否命题是 B.若 α=

,则 tanα≠1

?
4

,则 tanα≠1

C.若 tanα≠1,则 α≠

?
4

D.若 tanα≠1,则 α=

?
4
y=f (x)

(3)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如右图所

示, 则函数

g ( x) ? a ? b 的图象是下图中的
x

A B C D (4)如图,在 ?ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 、 N ,若 A AB ? m AM , AC ? n AN ,则 m ? n ?

1 N D.3 B 2 C O 2 (5)若函数 f ? x ? 的导函数 f '(x ) = x - 4x + 3 ,则使得函数 fM ? x ?1? 单调递减的一个充分不必要条件
A.1 B.2 C. 是 x? A. ?0,1? B. ?3,5? C. ? 2,3? D. ? 2, 4?

(6)在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A

1 ? b, 且a ? b, 则?B ? 2 5? ? A. B. 6 3

C.

2? 3

D.

? 6
5 ,则 S5 = 4

(7)已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.29
2

B.31

C.33

D.35

(8)设抛物线 x ? 12 y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点,点 P 恰为 AB 的中点,则| AF |+| BF |= A.8 B.10 C.14 D.16

? ? ? ? ? 1 3 1 ? 2 ?? (9)已知非零向量 a, b 满足 a ? 2 b ,若函数 f ( x) ? x ? a x ? a.bx ? 1 在 R 上存在极值,则 a 和 3 2 ? b 夹角的取值范围为

?? ? ? ? 2? ? D. ? , ? ? , ? ?3 ? ?3 3 ? ( 10 ) 若 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 : 对 于 任 意 x1, x2 ? ? ?2015,2015? 有
A. ? 0, ? ? 6?

? ??

B.

?? ? ? ,? ? ?3 ?

C. ?

有 f ( x ) ? 2016 , 设 f ( x ) 在 ? ?2015, 2015? 上的最大值, f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2016 ,且 x ? 0 时, 最小值分别为 M , N ,则 M ? N 的值为 A. 2015 B. 2016
2 2

C. 4030

D. 4032

(11)设 F1 , F2 是双曲线 x ? 等于 A. 4 2 (12)定义在 (0, B. 8 3

y ? 1 的焦点,P 是双曲线上的一点,且 3| PF1 |=4| PF2 |,△ PF1 F2 的面积 24
C.24 D.48

?
2

) 上的函数 f ( x) , f ' ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ( x) ? f ?( x) ? tan x 成立,则
2f ( ) 3

A. 3 f ( ) ?

?

?

4

B. f (1) ? 2 f ( ) sin1

?

6

C. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

6

4

D. 3 f ( ) ? f ( )

?

?

6

3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

sin ? ? cos ? ? ; ? 2 ,则 tan( ? ? ) ? sin ? ? cos ? 4 ( 14 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 2)? f ( x )? 1 对 于 x ? R 恒 成 立 , 且 f ( x) ? 0 , 则
(13)设

f ? 2015? ? ________;
? y ? x?7 ? (15)不等式组 ? y ? ? x ? 11 表示的平面区域为 D ,若对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 上存在区域 D ? y ? ?2 x ? 14 ?
上的点,则实数 a 的取值范围是_________; (16)已知函数 f ( x) ? ?log ( x ? 1)(?1 ? x ? 0) 且 f [ f ( ? )] ? 3 ,在各项为正的数列 {an } 中, 1 4

ax ? 1( x ? 0), ? ? ? ?
2

3

1 a1 ? 2, an ?1 ? f (an ? ),{an } 的前n项和为 Sn ,若 Sn ? 126, 则n = 2
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题 10 分)设向量 a ? (I)若 a ? b ,求 x 的值; (II)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ?x ? 的最大值。



?

?

?

?

? ? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

? ?

(18) (本小题 12 分)将函数 y ? (sin x ? cos x) 在区间 (0, ??) 内的全部极值点按从小到大的顺序排成数
2

列 ?a n ? .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? 2n an ,其中 n ? N ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
*

(19) (本小题 12 分)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? a2 x ? a ? 0? 的两个极值点。 (1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)若 x1 ? x2 ? 2 2 ,求 b 的最大值. (20) (本小题 12 分)某种特色水果每年的上市时间从 4 月 1 号开始仅能持续 5 个月的时间.上市初期价 格呈现上涨态势,中期价格开始下跌,后期价格在原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的模拟 函数可供选择:① f ? x ? ? p ? q ; ② f ? x ? ? px ? qx ? 7; ③ f ? x ? ? logq ( x ? p) .其中 p, q 均为常数且
x 2

类推, x ? ?0,5?

q ? 1 .(注: x 表示上市时间, f ? x ? 表示价格,记 x ? 0 表示 4 月 1 号, x ? 1 表示 5 月 1 号,…,以此

(Ⅰ)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化态势,请你选 择,并简要说明理由; (Ⅱ)对(I)中所选的函数 f ( x ) ,若 f ? 2? ? 11, f ?3? ? 10 ,记 g ? x ? ?

计发现,当函数 g ? x ? 取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销市场的时间是几 月 1 号?

f ? x ? ? 2 x ? 13 ,经过多年的统 x ?1

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2, a2 b2 当AC垂直于x轴时,恰好有 | AF1 | : | AF 2 |? 3: 1.
(21) (本小题12分)已知A为椭圆 (Ⅰ)求椭圆离心率; (Ⅱ)设 AF 1 ? ?1 F 1 B, AF 2 ? ?2 F2 C , 试判断 ?1 ? ?2 是否 值?若是定值, 求出该定值并证明; 若不是定值, 请说明理由. (22) (本小题 12 分) 已知函数: f ( x ) ? ln x ? ax ? 3(a ? 0) (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; ( Ⅱ ) 若 对 于 任 意 的 a ? [1, 2] , 若 函 数 为 定

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间 ?a,3? 上 2 有最值,求实数 m 的取值范围. g ( x) ? x3 ?

2015—2016 学年度上学期高中学段高三联合考试 高三年级数学试卷(文)答案 答题时间: 120 分钟 满分:150 分 命题人:李砚秋 校对人: 一.选择题:CCABC DBABD CD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) -2 (14) 1 (15) ?0,1? ? ?1,3? (16)6 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题 10 分) 解: (I)由 a
2
2

? ( 3 sin x) 2 ? (sin x) 2 ? 4sin 2 x ,

b ? (cos x) 2 ? (sin x) 2 ? 1 ,及 a ? b , 得4sin 2 x ? 1
又 x ? [0,

?
2

], 从而 sin x ?

1 ,所以 2

x?

?
6

……4 分

(II) f ( x) ? a ? b ? 3sin x ? cos x ? sin 2 x

= 当x?

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? .……8 分 2 2 2 6 2

?

? [0. ]时, sin (2 x- )取最大值1. 3 2 6 3 2

?

?

所以 f ( x )的最大值为 . …10 分 (18) (本小题 12 分) 解: (I) f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 1 ? sin 2 x , kπ π 其极值点为 x ? ………2 分 ? (k ? Z) , 2 4 π π 它在区间 (0, ??) 内的全部极值点构成以 为首项, 为公差的等差数列, 4 2 π π π ∴ an ? ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ; ………6 分 4 2 4 π (II)∵ bn ? 2n an ? (2n ? 1) ? 2n 4 π π ∴ Tn ? [1 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ] ,∴ T1 ? , ………8 分 4 2 π 2Tn ? [1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , 4 * ∴当 n ? 2, n ? N 时,相减, π 得 ?Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , ……10 分 4 ∴ Tn ?

π [(2n ? 3) ? 2n ? 3] , 2 π [(2n ? 3) ? 2n ? 3] . 2
………12 分

综上,数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn ? (19) (本小题 12 分)

2 2 解: (1) f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) ∵ x1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f ( x) 的两个极值点, 2 2 ∴ f ' (?1) ? 0 , f ' (2) ? 0 。∴ 3a ? 2b ? a ? 0 , 12a ? 4b ? a ? 0 ,

解得 a ? 6, b ? ?9 。∴ f ( x) ? 6 x ? 9 x ? 36x ……4 分
3 2

(2)∵ x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个极值点,∴ f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 0 。 ∴ x1 , x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根。
2 2

∵ ? ? 4b ? 12a ,∴ ? ? 0 对一切 a ? 0, b ? R 恒成立。
2 3

x1 ? x2 ? ?

2b a x1 ? x2 ? ? 3a , 3 ……6 分,

∵ a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0 。



| x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? (?

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4(? ) ? ? a 3a 3 9a 2 3





| x1 | ? | x2 |? 2 2



4b 2 4 ? a ?2 2 2 2 9a 2 3 ,∴ b ? 3a (6 ? a) ……8 分
2 ∵ b ? 0 ,∴ 3a (6 ? a) ? 0 ,∴ 0 ? a ? 6 。 令 h(a) ? 3a (6 ? a) ,则 h' (a) ? ?9a ? 36a 。

2

2

2

当 0 ? a ? 4 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(0,4)内是增函数;

当 4 ? a ? 6 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(4,6)内是减函数。……10 分

∴当 a ? 4 时, h(a) 有极大值为 96,∴ h(a) 在 (0,6] 上的最大值是 96, ∴ b 的最大值是 4 6 。 ……12 分 (20) (本小题 12 分) 解:(Ⅰ)根据题意,该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减,基本符合开口向下的二次函数变 化趋势,故应该选择②

f ? x ? ? px2 ? qx ? 7;
解得

……………4 分 …………………6 分

(Ⅱ)由

f ? 2? ? 11, f ?3? ? 10

f ? x ? ? ? x2 ? 4 x ? 7

f ? x ? ? 2 x ? 13 x2 ? 2 x ? 6 ? 9 ? g ? x? ? ?? ? ?? ? ? x ? 1? ? 4? …………8 分 x ?1 x ?1 ? x ?1 ?
……………10 分 ? 9 ? ?? ? ? ? x ? 1? ? 4? ? ?2 ? x ?1 ? 当且仅当 x ? 1 ? 3 即 x ? 2 时等号成立.

? 明年拓展外销的时间应为 6 月 1 日…………………12 分
(21) (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)当 AC 垂直于 x 轴时, | AF 2 |?

b2 , a

| AF1 | : | AF 2 |? 3: 1,∴ | AF 1 |?


3b 2 a

4b 2 2 ? 2a ,∴ a 2 ? 2b 2 ,∴ b 2 ? c 2 ,故 e ? . a 2
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得椭圆的方程为 x ? 2 y ? 2b ,
2 2 2

-------------------3分 焦点坐标为

F1 (?b,0), F2 (b,0) .
① 当 弦 AC 、 AB 的 斜 率 都 存 在 时 , 设 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ),C( x2 , y2 ) , 则 AC 所 在 的 直 线 方 程 为

y?

y0 ( x ? b) , x0 ? b
2
2

代入椭圆方程得 (3b 2 ? 2bx0 ) y 2 ? 2by0 ( x0 ? b) y ? b 2 y0 ? 0 .

b2 y ∴ y0 y 2 ? ? 2 0 , ---------------------------5分 3b ? 2bx0 y 3b ? 2 x0 . ----------------------------7分 AF2 ? ?2 F2C , ?2 ? 0 ? ? y2 b 3b ? 2 x0 同理 ?1 ? ,∴ ?1 ? ?2 ? 6 ---------------------------9分 b 3b ? 2b ②当AC垂直于x轴时,则 ? 2 ? 1, ?1 ? ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 ; b 当AB垂直于x轴时,则 ?1 ? 1, ?2 ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 .

综上可知 ?1 ? ?2 是定值 6. --------------------------12分 (22) (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , 且 f ?( x ) ?

1 ?a, x

…………2 分

1 1 a a 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ?? ) ,无减区间; ……6 分
当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ?? ) ;

x2 m [m ? 2 f ?( x )] ? x 3 ? ( ? a ) x 2 ? x, 2 2 2 ? g?( x) ? 3x ? (m ? 2a) x ? 1, ? g ( x ) 在区间 ( a ,3) 上有最值, ? g ( x ) 在区间 ( a ,3) 上总不是单调函数, ? g ?(a ) ? 0 又 g ?(0) ? ?1? ? …………………………9 ? g ?(3) ? 0
(Ⅱ) g ( x ) ? x ?
3

由题意知:对任意 a ?[1,2], g?(a) ? 3a 2 ? (m ? 2a) ? a ? 1 ? 5a 2 ? ma ? 1 ? 0 恒成立,

1 ? 5a 2 1 19 ? ? 5a, 因为 a ? [1, 2] ? m ? ? 2 a a / 对任意 a ? ?1,2? , g ?3? ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立 32 ? 6a ? 26 26 ?? ? 2a ∵ a ? ?1,2? ∴m ? ∴m ? ? 3 3 3 32 19 ?? ? m ? ? ………………………………12 分 3 2 ?m ?


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