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2013届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第一章集合与常用逻辑用语


2013 届高考数学(理)一轮复习单元能力测试 第一章集合与常用逻辑用语单元能力测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、 (2012 山东理) 已知全集 U ? ? 0 ,1, 2 , 3, 4 ? ,集合 A ? ?1, 2 , 3? , B ?

? 2 , 4? ,则 ( C U A ) U B 为



) B. ? 2 , 3, 4 ? C. ? 0 , 2 , 4 ?
2

A. ?1, 2 , 4 ?

D. ? 0 , 2 , 3, 4 ? ( )

2 . (2012 浙江理)设集合 A={x|1<x<4},B={x|x -2x-3≤0},则 A∩( C RB)=

A.(1,4)

B.(3,4)

C.(1,3)

D.(1,2)
1? x

3、 【2012 韶关第一次调研理】若集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域, N 是函数 y ? 的定义域,则 M∩N 等于( A. (0 ,1] ) C. ?
?
2

B. (0, ? ? )

D. [1, ? ? )

4、 【2012 厦门期末质检理 2】 “φ= A.充分不必要条件 C. 充要条件
5. (2012 湖南理)命题“若 α =
?
4

”是“函数 y=sin(x+φ)为偶函数的” B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

,则 tanα =1”的逆否命题是 B.若 α =
?
4





A.若 α ≠

?
4

,则 tanα ≠1
?
4

,则 tanα ≠1
?
4
2

C.若 tanα ≠1,则 α ≠

D.若 tanα ≠1,则 α =

6、 【2012 泉州四校二次联考理】命题 p : ? x ? R ,函数 f ( x ) ? 2 co s x ? ( ) A. p 是假命题; ? p : ? x ? R , f ( x ) ? 2 co s x ?
2

3 sin 2 x ? 3 ,则

3 sin 2 x ? 3 3 sin 2 x ? 3 3 sin 2 x ? 3 3 sin 2 x ? 3

B. p 是假命题; ? p : ? x ? R , f ( x ) ? 2 co s x ?
2

C. p 是真命题; ? p : ? x ? R , f ( x ) ? 2 co s x ?
2

D. p 是真命题; ? p : ? x ? R , f ( x ) ? 2 co s x ?
2

7、 (2012 湖北理)命题“ ? x 0 ? ?R Q , x 0 3 ? Q ”的否定是 A. ? x 0 ? ?R Q , x 0 3 ? Q C. ? x ? ?R Q , x 3 ? Q B. ? x 0 ? ?R Q , x 0 3 ? Q D. ? x ? ?R Q , x 3 ? Q





8、 【2012 深圳中学期末理】设集合 A={-1, 0, 1},集合 B={0, 1, 2, 3},定义 A*B={(x, y)| x∈A∩B, y∈A∪B},则 A*B 中元素个数是( A.7 B.10 C.2
5

) D.5
2

9、 【2012 粤西北九校联考理 3】下列命题错误的是( .. A. " x ? 2 " 是 " x ? 3 x ? 2 ? 0 " 的充分不必要条件;
2



B. 命题“ 若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为“ 若 x ? 1, 则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”;
2 2
2 C.对命题: “对 " k ? 0 , 方程 x ? x ? k ? 0 有实根”的否定是:“ ? k > 0 ,方程

x ? x ? k ? 0 无实根”;
2

D. 若命题 p : x ? A ? B , 则 ? p 是 x ? A 且 x ? B ; 10 、【 江 西 省 新 钢 中 学 2012 届 高 三 第 一 次 考 试 】 在 △ ABC 中 , 设 命 题
p: a sin B ? b sin C ? c sin A , 命题 q:△ABC 是等边三角形,那么命题 p 是命题 q 的 (



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 11、 (2012 浙江宁波市期末) 已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的增函数, f (1) ? 0 , 且 函数 g ( x ) 在 ( ? ? ,1] 上为增函数, [1, ? ? ) 上为减函数, g ( 4 ) ? g ( 0 ) ? 0 , 在 且 则集合 { x | f ( x ) g ( x ) ? 0} = ( )

(A) { x | x ? 0 或 1 ? x ? 4}(B){ x | 0 ? x ? 4}(C){ x | x ? 4} (D) { x | 0 ? x ? 1或 x ? 4} 12.定义:设 A 是非空实数集,若?a∈A,使得对于?x∈A,都有 x≤a(x≥a),则称 a 是 A 的最大(小)值 .若 B 是一个不含零的非空实数集,且 a0 是 B 的最大值,则( ) -1 -1 A.当 a0>0 时,a0 是集合{x |x∈B}的最小值 - - B.当 a0>0 时,a0 1是集合{x 1|x∈B}的最大值 -1 - C.当 a0<0 时,-a0 是集合{-x 1|x∈B}的最小值 -1 - D.当 a0<0 时,-a0 是集合{-x 1|x∈B}的最大值 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13、 (2012 上海理)若集合 A ? { x | 2 x ? 1 ? 0 } , B ? { x | x ? 1 ? 2 } ,则 A∩B=_________ .

14、 【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷】若自然数 n 使得作加法 n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) 运 算均不产生进位现象,则称 n 为“给力数”,例如: 3 2 是“给力数”,因 32 ? 33 ?34 不产生 进位现象; 2 3 不是“给力数”,因 23 ? 24 ?25 产生进位现象.设小于 1 0 0 0 的所有“给力数” 的各个数位上的数字组成集合 A ,则集合 A 中的数字和为__________ 15、 【2012 三明市普通高中高三上学期联考】下列选项叙述: ①.命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”
2 2 ②.若命题 p : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0

③.若 p ? q 为真命题,则 p , q 均为真命题 ④.“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 其中正确命题的序号有_______ 16、 【2012 泉州四校二次联考理】 已 知 集 合 A ? { ( x , y ) || x ? a | ? | y ? 1 |? 1} , B ? { ( x , y ) | ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1} , 若
2 2

A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ( 2011 年 朝 阳 区 高 三 上 学 期 期 中 ) 设 关 于 x 的 不 等 式
x ( x ? a ? 1 ) ? 0 (a ? 的解集为 M ,不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 N . R )
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求集合 M ; (Ⅱ)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围.

18、(本小题满分 12 分) 【山东省潍坊一中 2012 届高三阶段测试理】 已知集合 A
? x|x

?

2

? 3 ( a ? 1) x ? 2 ( 3 a ? 1) ? 0 , B ? { x |

?

x ? 2a x ? (a
2

? 1)

? 0}



(Ⅰ)当 a=2 时,求 A ? B ; (Ⅱ)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围

19.(本小题满分 10 分) 【2012 北京海淀区期末】若集合 A 具有以下性质: ① 0 ? A ,1 ? A ; ②若 x , y ? A ,则 x ? y ? A ,且 x ? 0 时, 则称集合 A 是“好集”. (Ⅰ)分别判断集合 B = {- 1, 0,1} ,有理数集 Q 是否是“好集” ,并说明理由; (Ⅱ)设集合 A 是“好集” ,求证:若 x , y ? A ,则 x ? y ? A ; (Ⅲ)对任意的一个“好集” A ,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题 p :若 x , y ? A ,则必有 xy ? A ; 命题 q :若 x , y ? A ,且 x ? 0 ,则必有
y x ? A;

1 x

? A.

20、(本小题满分 12 分)(山东省潍坊市 2012 届高三上学期期中四县一校联考) 已知集合 A ? ?x ? R | log ( 6 x ? 12 ) ? log ( x ? 3 x ? 2 ) ?, B ? ?x | 2 x
2 2 2 2 ?3

? 4 ,x? R .
x

?

求 A ? (CRB ).

1 21.(本小题满分 12 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数,命题 q:当 x∈[ ,2]时, 2 1 1 函数 f(x)=x+ > 恒成立.如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围. x c

22. (本小题满分 12 分)【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考理】 设集合 A 为函数 y=ln(- 1 1 x2-2x+8)的定义域,集合 B 为函数 y=x+ 的值域,集合 C 为不等式(ax- )(x+4)≤0 x+1 a 的解集. (1)求 A∩B; (2)若 C??RA,求 a 的取值范围.

祥细答案 一、选择题 1、 【答案】C
( 4} 【解析】 C U A ? { 0 , 4 } ,所以 C U A) U B ? {0, 2, ,选 C.

2. 【答案】B 【解析】A=(1,4),B=(-1,3),则 A∩( C RB)=(3,4).【答案】B 3、 【答案】A 【解析】因为集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域, x ? 0 ; N 是函数 y ?
, 以 1 ? x ? 0 , M ? ( 0 ,? ? ) N ? ? ? ? , 1M , ? ? N
1 ? x 的定义域,



?

?

?0,1

4、 【答案】A 【解析】φ=
? ? k ? ?
?
2

时 , y=sin(x + φ)= cos x

为 偶 函 数 ; 若 y=sin(x + φ) 为 偶 函 数 , 则

?
2

, k ? Z ;选 A;

5、 【答案】C 【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ”,所以 “若 α = tanα =1”的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则 α ≠ 6、 【答案】D 【解析】 f ( x ) ? 2 cos
2

?
4

,则

?
4

”.

x?

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ?
2

3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 3;

P 是真命题; ? p : ? x ? R , f ( x ) ? 2 co s x ? 7、 【答案】D

3 sin 2 x ? 3



解析:根据对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定.因此选 D 8、 【答案】B 【解析】解:A∩B={ 0, 1},A∪B {-1, 0, 1, 2, 3},x 有 2 种取法, y 有 5 种取法由乘 法原理得 2×5=10,故选 B。 9、 【答案】B

2 【解析】命题“ 若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为“ 若 x ? 1, 则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”

2

10、 【答案】C 【解析】 p : : 11、 【答案】A 【解析】由题,结合函数性质可得 x ? 1, f ( x ) ? 0 , x ? 1, f ( x ) ? 0 , x ? 0 或 x ? 4时 g ( x ) ? 0 ,
0 ? x ? 4时 g ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) g ( x ) ? 0 的解集为 { x | x ? 0 或 1 ? x ? 4} 。
a s in B ? b s in C ? c s in A

?

a b

?

b c

?

c a

? a ? b ? c ? q:△ABC 是等边三角形

12、 【答案】D 解析 本题是创新试题,考查阅读理解能力,从所给条件判断结论的正确与否.当 a0<0 1 1 1 1 时,对于集合 B 中的任一元素 x≤a0<0,从而 ≥ ,所以- ≤- ,故选 D. x a0 x a0 二、填空题 13、 【答案】 ( ? 1 , 3 ) 2 [解析] A ? ( ? 1 , ? ? ) , B ? ( ? 1, 3 ) ,A∩B= ( ? 1 , 3 ) . 2 2 14、 【答案】6 【解析】本题主要考查集合的列举法、定义新运算的应用. 属于基础知识、基本运算的考查. 给力数的个位取值:0,1,2 给力数的其它数位取值:0,1,2,3,所以 A={0,1,2,3} 集合 A 中的数字和为 6 15、 【答案】①②④ 【解析】①②④正确,若 p ? q 为真命题,则 p , q 中至少有一个真即可,③错误。 16、 【答案】 [-1,3] 【解析】 作出 | x | ? | y |? 1 的图像,利用平移,知集合 A 是中 心为 M ( a ,1) , 边长为 2 的正方形内部 (包括边界) , 又集合 B 是圆心为 N (1,1) , 半径为 1 的圆的内部 (包 括边界)易知 MN 的长度不大于 1 ? 1 时 A ? B ? ? , ,
2 即 ( a ? 1) ? 2 ,∴ ? 1 ? a ? 3 ,

故实数 a 的取值范围为[-1,3] 三、解答题

17、解:(Ⅰ)当 a ? 1 时,

由已知得 x ( x ? 2 ) ? 0 .

解得 0 ? x ? 2 .

所以 M ? { x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ) 由已知得 N ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? . ①当 a ? ? 1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? { x | a ? 1 ? x ? 0} . 因为 M ? N ,所以 ? 1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? ? 1 ②若 a ? ? 1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ? 1 成立 ③若 a ? ? 1 时, 因为 a ? 1 ? 0 ,所以 M ? { x | 0 ? x ? a ? 1} . 又 N ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ,因为 M ? N ,所以 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ? 1 ? a ? 2 综上所述, a 的取值范围是 [ ? 2, 2 ] . 18、解: (Ⅰ)当 a (Ⅱ)∵ a
? 2

?12 分

时, A
2

? ( 2 , 7 ), B ? ( 4 , 5 ) ? A ? B ? ( 4 , 5 )

? 1 时, B ? ( 2 a , a

? 1); a ? 1时, B ?

?

综上可知,使 B

? A

的实 a 的范围为[1,3] ? {-1}.

19、 【解析】 (Ⅰ)集合 B 不是“好集”. 理由是:假设集合 B 是“好集”. 因为 - 1
B , 1 ? B ,所以 - 1 - 1 = - 2 B . 这与 - 2
B 矛盾.

有理数集 Q 是“好集”. 因为 0 ? Q , 1 ? Q , 对任意的 x , y ? Q ,有 x - y 所以有理数集 Q 是“好集”. (Ⅱ)因为集合 A 是“好集” ,
Q ,且 x ? 0 时,

1 x

? Q .

所以 0 ? A .若 x , y ? A ,则 0 ? y ? A ,即 ? y ? A . 所以 x ? ( ? y ) ? A ,即 x ? y ? A . (Ⅲ)命题 p , q 均为真命题。 理由如下: 对任意一个“好集” A ,任取 x , y ? A , 若 x , y 中有 0 或 1 时,显然 xy ? A . 下设 x , y 均不为 0,1. 由定义可知: x ? 1,
1 x- 1 1 x 1 , 1 ? A.

x ?1 x

所以

-

A ,即

1 x ( x - 1)

? A .所以 x ( x - 1)

A.

综上可知, xy ? A ,即命题 p 为真命题. 若 x , y ? A ,且 x ? 0 ,则
1 x ? A .所以
1 = y孜 x x y A ,即命题 q 为真命题.

?6 x ? 12 ? 0 ? 2 20、解:由 lo g 2 (6 x ? 1 2 ) ? lo g 2 ( x ? 3 x ? 2 ) 得 ? x ? 3 x ? 2 ? 0 ? 2 ?6 x ? 12 ? x ? 3x ? 2
2

即?

? x ? 3x ? 2 ? 0 ?
2

?6 x ? 12 ? x ? 3 x ? 2 ?
2

,解得: ? 1 ? x ? 5 .即 A ? { x | ? 1 ? x ? 5} .
x ?3
2

B ? {x ? R | 2

x ?3

2

? 4 } ? {x ? R | 2
x

? 2 }
2x

由2

x ?3

2

? 2

2x

2 得x ? 3 ? 2x ,

解得 ? 1 ? x ? 3 .即 B ? { x ? R | ? 1 ? x ? 3} 则 ?R B = { x ? R | x ? ? 1或 x ? 3} .

则 A ? ( ?R B ) = { x ? R | 3 ? x ? 5} . 21、解析 由命题 p 知 0<c<1, 1 5 由命题 q 知:2≤x+ ≤ . x 2 1 1 要使此式恒成立,则 2> ,即 c> . c 2 又由 p 或 q 为真,p 且 q 为假知, p、q 必有一真一假, ①p 为真,q 为假时,p 为真,0<c<1; 1 1 q 为假,c≤ ,∴0<c≤ . 2 2 ②p 为假,q 为真时,p 为假,c≤0 或 c≥1; 1 q 真,c> ,∴c≥1. 2 1 综上可知,c 的取值范围为 0<c≤ 或 c≥1. 2 2 22、解析:该题通过 集合 A 为函数 y=ln(-x -2x+8)的定义域考查对数函数定义域的求法, 1 1 集合 B 为函数 y=x+ 的值域考查钩形函数的值域的求法,集合 C 为不等式(ax- )(x+4) x+1 a ≤0 的解集考查解二次不等式以及分类讨论,求解部分考查集合的交、补和子集的运算求解, 考查的知识方法比较多,但要求不是太高,属于中档题. 1 1 2 解:(1)由-x -2x+8>0,解得 A=(-4,2),又 y=x+ =(x+1)+ -1, x+1 x+1 所以 B=(-∞,-3]∪ [1,+∞).所以 A∩B=(-4,-3]∪[1,2). (2)因为?RA=(-∞,-4]∪[2,+∞). 1? ? 由?ax- ?(x+4)≤0,知 a≠0.

?

a?

1? ? 1? ? ①当 a>0 时,由?x- 2?(x+4)≤0,得 C=?-4, 2?,不满足 C??RA; a a

?

?

?

?

? 1? ?1 ? ②当 a<0 时,由?x- 2?(x+4)≥0,得 C=(-∞,-4)∪? 2,+∞?, a a ? ? ? ?
1 欲使 C??RA,则 2≥2,

a

解得-

2 2 2 ≤a<0 或 0<a≤ .又 a<0,所以- ≤a<0. 2 2 2

综上所述,所求 a 的取值范围是?-

? ?

2 ? ,0?. 2 ?


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