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高一数学教案:苏教版高一数学等比数列2


第八课时 等比数列(二) 教学目标: 灵活应用等比数列的定义及通项公式,深刻理解等比中项概念,掌握等比数列的性质; 提高学生的数学素质,增强学生的应用意识. 教学重点: 1.等比中项的理解与应用. 2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点: 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 等比数列定义,等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课 根据定义

、通项公式,再与等差数列对照,看等比数列具有哪些性质? a+b (1)若 a,A,b 成等差数列 ? a= ,A 为等差中项. 2 那么,如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,…… G b 则即 = ,即 G2=ab a G G b 反之,若 G2=ab,则 = ,即 a,G,b 成等比数列 a G ∴a,G,b 成等比数列 ? G2=ab (a·b≠0) 总之,如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项.即 G=± ab ,(a,b 同号) 另外,在等差数列中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,那么,在等比数列中呢? - - - - 由通项公式可得:am=a1qm 1,an=a1qn 1,ap=a1qp 1,aq=a1· qq 1 - - 不难发现:am· an=a12qm+n 2,ap· aq=a12qp+q 2 若 m+n=p+q,则 am· an=ap· aq 下面看应用这些性质可以解决哪些问题? [例 1]在等比数列{an}中,若 a3·a5=100,求 a4. 分析:由等比数列性质,若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq 可得: 解:∵在等比数列中,∴a3·a5=a42 又∵a3·a5=100,∴a4=±10. [例 2]已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列,求证{an·bn}是等比数列. 分析:由等比数列定义及通项公式求得. 解:设数列{an}的首项是 a1,公比为 p;{bn}的首项为 b1,公比为 q. - 则数列{an}的第 n 项与第 n+1 项分别为 a1pn 1,a1pn - 数列{bn}的第 n 项与第 n+1 项分别为 b1qn 1,b1qn. - - 数列{an·bn}的第 n 项与第 n+1 项分别为 a1·pn 1·b1·qn 1 与 a1·pn·b1·qn,即为 - a1b1(pq)n 1 与 a1b1(pq)n

a1b1(pq)n an+1 bn+1 ∵ · = =pq - an bn a1b1(pq)n 1 它是一个与 n 无关的常数, ∴{an·bn}是一个以 pq 为公比的等比数列. 特别地,如果{an}是等比数列,c 是不等于 0 的常数,那么数列{c·an}是等比数列. [例 3]三个数成等比数列,它们的和等于 14,它们的积等于 64,求这三个数. 解:设 m,G,n 为此三数 由已知得:m+n+G=14,m· n· G=64, 2 3 又∵ G =m· n,∴ G =64,∴ G=4,∴ m+n=10
?m=2 ?m=8 ∴? 或? n = 8 ? ?n=2

即这三个数为 2,4,8 或 8,4,2. 评述:结合已知条件与定义、通项公式、性质,选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习 课本 P50 练习 1,2,3,4,5. Ⅳ.课时小结 本节主要内容为: (1)若 a,G,b 成等比数列,则 G2=ab,G 叫做 a 与 b 的等比中项. (2)若在等比数列中,m+n=p+q,则 am·an=ap·aq Ⅴ.课后作业 课本 P52 习题 5,6,7,9

等比数列(二)
1.已知数列{an}为等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 2.在等比数列中,a1=1,q∈R 且|q|≠1,若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 3.非零实数 x、y、z 成等差数列,x+1、y、z 与 x、y、z+2 分别成等比数列,则 y 等于( ) A.10 B.12 C.14 D.16 4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为 19,后三个数成等差数列,其和为 12,求此四 数.

5.在数列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数 列,a1=1,b1=2,a2=3,求 an∶bn 的值.

y 6.设 x>y>2,且 x+y,x-y,xy, 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列. x

7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为 21,中间两项 的和为 18,求这四个数.

等比数列(二)答案
1.已知数列{an}为等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 分析:要确定一个等比数列,必须有两个独立条件,而这里只有一个条件,故用先确定 基本量 a1 和 q,再求 a3+a5 的方法是不行的,而应寻求 a3+a5 整体与已知条件之间的关系. 解法一:设此等比数列的公比为 q,由条件得 a1q· a1q3+2a1q2· a1q4+a1q3· a1q5=25 即 a12q4(q2+1)2=25,又 an>0,得 q>0 ∴ a1q2(q2+1)=5 a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(q2+1)=5 解法二:∵ a2a4+2a3a5+a4a6=25 由等比数列性质得 a32+2a3a5+a52=25 即(a3+a5)2=25,又 an>0,∴ a3+a5=5 评述:在运用方程思想方法的过程中,还要注意整体观念,善于利用等比数列的性质, 以达到简化解题过程、快速求解的目的. 2.在等比数列中,a1=1,q∈R 且|q|≠1,若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 5 1+2+3+4 5 10 5 11-1 解:∵am=a1a2a3a4a5=a1 q =a1 q =a1 q 11-1 又∵a1=1,∴am=q ,∴m=11. 答案:C 3.非零实数 x、y、z 成等差数列,x+1、y、z 与 x、y、z+2 分别成等比数列,则 y 等于( ) A.10 B.12 C.14 D.16

?2y=x+z ?2y=x+z ? ? ?2y=3x 2 y =( x + 1 ) z 解:由已知得? ??y2=(x+1)z ? ?y2=(x+1)2x ? y=12 ? ? ? ?y2=x(z+2) ?z=2x
答案:B 4.有四个数,前三个数成等比数列,其和为 19,后三个数成等差数列,其和为 12,求此四 数. 解:设所求的四个数分别为 a,x-d,x,x+d

? ?(x-d) =ax 则?a+(x-d)+x=19 ?(x-d)+x+(x+d)=12 ?

2

① ② ③

?(4-d)2=4a 解得 x=4,代入①、②得? ? a-d=11 ?a=25 ?a=9 解得? 或? ?d=14 ?d=-2 故所求四个数为 25,-10,4,18 或 9,6,4,2. 5.在数列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数 列,a1=1,b1=2,a2=3,求 an∶bn 的值. 分析:关键是求出两个数列的通项公式.根据条件,应注意两个数列之间的联系及相互转 换.

?2bn=an+an+1 解:由题意知:? 2 ?an+1 =bnbn+1

① ②

∴an+1= bnbn+1 ,an= bnbn-1 (n≥2) 代入①得 2bn= bnbn+1 + bnbn-1 即 2 bn = bn+1 + bn-1 (n≥2) ∴{ bn }成等差数列,设公差为 d a22 9 又 b1=2,b2= = , b1 2 3 2 2 ∴d= b2 - b1 = - 2 = 2 2 ∴ bn = 2 + 2 2 1 (n-1)= (n+1) ,bn= (n+1)2, 2 2 2 ③

n(n+1) 当 n≥2 时,an= bnbn-1 = 2 且 a1=1 时适合于③式,故 an n = . bn n+1

评述:对于通项公式有关系的两个数列的问题,一般采用消元法,先消去一个数列的项, 并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形,构造一个新的数列. y 6.设 x>y>2,且 x+y,x-y,xy, 能按某种顺序构成等比数列,试求这个等比数列. x 分析:先由 x>y>2,可知 x-y<x+y<xy,下来只需讨论 两种情况讨论. 解:∵x>y>2,x+y>x-y,xy>x+y,而 当 y <1<x-y x y 和 x-y 的大小关系,分成 x

y y <x-y 时,由 ,x-y,x+y,xy 顺次构成等比数列. x x

? ? y ·xy=(x-y)(x+y) 则有? x ?(x+y)2=(x-y)xy ?
解方程组得 x=7+5 2 ,y=5+ ∴所求等比数列为 当 2 3 ,2+ 2 2 7 2 2 99 2 ,70+ 2 2 .

17 2 ,12+ 2

y y >x-y 时,由 x-y, ,x+y,xy 顺次构成等比数列 x x y
2

?x ·xy=(x+y) 则有?y ?x (x+y)=(x-y)xy

解方程组得 y=

1 ,这与 y>2 矛盾,故这种情况不存在. 12

7.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为 21,中间两项 的和为 18,求这四个数. 分析一:从后三个数入手. 解法一:设所求的四个数为
2

(x-d)2 ,x-d,x,x+d,根据题意有 x 27 27 4

? ?x= 4 ?(x-d) +(x+d)=21 ?x=12 x ? ,解得? 或? 9 ?d=6 ?(x-d)+x=18 ? ?d=2

75 45 27 9 ∴所求四个数为 3,6,12,18 或 , , , . 4 4 4 4 分析二:从前三数入手. 解法二:设前三个数为 x ,x,xq,则第四个数为 2xq-x. q 45

? ?x= 4 ?x +2xq-x=21 ?x=6 依题设有?q ,解得? 或? 3 ?q=2 ?x+xq=18 ? ?q=5

75 45 27 9 故所求的四个数为 3,6,12,18 或 , , , . 4 4 4 4 分析三:从首末两项的和与中间两项的和入手. 解法三:设欲求的四数为 x,y,18-y,2-x,由已知得:
?y2=x(18-y) ?x=3 ? ,解得? 或 ?2(18-y)=y+(21-x) ?y=6

?x= 4 ? 45 ?y= 4

75

75 45 27 9 ∴所求四数为 3,6,12,18 或 , , , . 4 4 4 4


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