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1.3.2函数的极值与导数


例1:求参数的范围 若函数f(x)? ax3 - x 2 ? x - 5在(-?,+?)上单调递增, 求a的取值范围
练习2
3

已知函数f (x)= 2ax - x ,x ?(0, a ? 0, 1], 若f (x)在(0, 1]上是增函数,求a的取值范围。

3 [ ,?? ) 2

1.3.2函数的极值与导数

可不可以用导数来求极值点呢?
y

观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研 究方法,看极值与导数之间有什么关系?
x x0左侧 x0 x0右侧

o a
y

x0

b x

f?(x) f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0 增 极大值 减 f(x)
x0 x0左侧 x0右侧 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 x

o

a x0

f(x) b x



极小值



请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值? 导数为零的点就一定是极值点吗?

左正右负为极大 ,右正左负为极小
试做课本例4 方法步骤

定义
一般地, 设函数

y
f ?(a) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0

?x ? 0
f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(b ? ?x) ? 0

f (x) 在点x0附近有
定义, 如果对x0附近 的所有的点, 都有

f ?(b ? ?x) ? 0
3

f ( x) ? f ( x0 )
-2

-1

1

2

f ?(b) ? 0
4

x

5

我们就说 f (x0)是 f (x)

O

a

b

的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.
反之, 若

f ( x) ? f ( x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极

小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值.

y

f ( x3 )
f ( x4 )

f ( x1 )

f ( x2 )
O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.

(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间 而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大 值或极小值 (2)极大值不一定比极小值大 (3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0

例:y=x3

练习1
下图是导函数 y

y ? f ?(x) 的图象, 试找出函数 y ? f (x) y ? f ?(x)
x3 x x4 x5

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

x2 a x1 O

x6

b

1 3 例1 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4. 3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)


2 0

( 2, +∞)

f ?(x)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

求解函数极值的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格
(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?(x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表: (2) 令f
2 3

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?(x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: ?( x) ? 12 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2. (3) 令f
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

习题 A组 #4 下图是导函数 y ? f ?(x) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处 (1)导函数 y ? f ?(x) 有极大值?

y ? f ?(x)有极小值? x ? x1 或 x ? x4 (3)函数 y ? f (x)有极大值?
(2)导函数

x ? x2

(4)函数

y ? f (x)有极小值?

x ? x3

x ? x5

课外练习:
1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又 有极小值,则a的取值范围为 a ? 2或a ? ?1 .
2.(2006年天津卷)函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) 导函数 f ?( x )在 ( a , b ) 内的图像如图所示,则函数 f ( x ) y 在开区间 ( a , b ) 内有( A )个极小值点。 y ? f ?(x) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
b

a

O

x

作业:课本 P34A 组 5


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