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山东省威海市2012届高三数学第二次模拟考试试题


2012 年威海市高考模拟考试 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号

涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改 液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1,10, A. {

1 } , B ? { y | y ? lg x, x ? A} ,则 A ? B ? 10

1 B. {10} C. {1} D. ? } 10 1 2.复数 的共轭复数为 1? i 1 1 1 1 1 1 1 1 A. + i B. C. ? + i D. ? ? i ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 3.如图,三棱锥 V ? ABC 底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA ? VC ,已知其主视 2 图的面积为 ,则其左视图的面积为 V 3
A.

3 2

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 6

A
V

4.若函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 是偶函数,则 tan A. 0 B. 1 C. ?1

?
2

C B
第 3 题图

?
D. 1 或 ?1

5.等差数列 {an } 中, S10 ? 90, A.16 B.12
x ?1

a5 ? 8 ,则 a4 =
C.8 D.6

6.已知命题 p : 函数 y ? 2 ? a

恒过 (1,2) 命题 q : 点; 若函数 f ( x ? 1) 为偶函数, f ( x) 则

的图像关于直线 x ? 1 对称,则下列命题为真命题的是
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A. p ? q

B. ?p ? ?q

C. ?p ? q

D. p ? ?q

7.R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (2012) ? A. ?2 B. 2 C. ?

1 2

D.

1 2

8.函数 f ( x)=
y

lg x x2

的大致图像为
y y y

o A 9.椭圆

x

o B

x

o

x

o

x

C

D

x2 y 2 3 , 若直线 y ? kx 与其一个交点的横坐标为 b , + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

则 k 的值为 A. ?1 B. ? 2 C. ?

3 3

D. ? 3

10.设 ( x ?

2 6 ) 的展开式中 x 3 的系数为 A ,二项式系数为 B ,则 A : B ? x
B.

A. 4

?4

C. 26
?

D. ?26

11.如图,菱形 ABCD 的边长为 2 , ?A ? 60 , M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点 ???? ???? ? M D C (含边界) ,则 AM ? AN 的最大值为 A. 3 B. 2 3 C. 6 D.9 N A
第 11 题图

B

12.函数 f ( x) 的定义域为 A ,若存在非零实数 t ,使得对于任意 x ? C (C ? A) 有 x ? t ? A,

+? 且 f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 C 上的 t 度低调函数.已知定义域为 ? 0, ? 的函数
A. ? 0, 1?

+? f ( x)= ? mx ? 3 ,且 f ( x) 为 ? 0, ? 上的 6 度低调函数,那么实数 m 的取值范围是 +? B. ?1, ?
C. ? ??, 0 ? 第Ⅱ卷( 共 90 分) D. ? ??, 0? ? ?1, ?? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.某商场调查旅游鞋的销售情况,随机抽取了部
0.0875

频率 组距

0.0375 更多资料关注微博 @高中学习资料库 求资料加微信:gzxxzlk
35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 尺寸

第 13 题图

分顾客的购鞋尺寸, 整理得如下频率分布直方图, 其中直方图从左至右的前 3 个小矩形的面 积之比为 1: 2 : 3 ,则购鞋尺寸在 ?39.5, 43.5? 内的顾客所占百分比为______. 14.阅读右侧程序框图,则输出的数据 S 为______. 15.将 a, b, c 三个字母填写到 3×3 方格中,要求每行每列都不能出现重复字母,不同的填写 方法有________种.(用数值作答) 16.若集合 A1 , A2 ? An 满足 A1 ? A2 ??? An ? A ,则称 A1 , A2 ? An 为集合 A 的一种拆分. 已知: ①当 A1 ? A2 ? {a1 , a2 , a3} 时,有 3 种拆分;
3

开始

②当 A1 ? A2 ? A3 ? {a1 , a2 , a3 , a4 } 时,有 7 4 种拆分; ③当 A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? {a1 , a2 , a3,a4 , a5} 时,有 155 种 拆分;

S ? 1, i ? 1

i?5




?? 由以上结论,推测出一般结论: 当 A1 ? A2 ??? An ? {a1 , a2 , a3 ,? a n?1 } 有 _________ 种 拆分.

S ? S ? (?1)i

输出 S

i ? i ?1
第 14 题图

结束

三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos ? x ?
2

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , x ? x2 是 2

y ? f (x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
(I)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? . 4

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为 8

原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 ,在区 间 ?0,

? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? 2? ?

18.(本小题满分 12 分)

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某市职教中心组织厨师技能大赛,大赛依次设基本功(初赛) 、面点制作(复赛) 、热菜 烹制(决赛)三个轮次的比赛,已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 且各轮次通过与否相互独立. (I)设该选手参赛的轮次为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)对于(I)中的 ? ,设“函数 f ( x) ? 3sin 求事件 D 发生的概率. 19.(本小题满分 12 分) 在等比数列 {a n } 中, a 2 ?

3 2 1 , , 4 3 4

x ?? ? 2

( x ? R) 是偶函数”为事件 D,

1 1 , a3 ? a 6 ? .设 bn ? log 2 a2 2 ? log 2 a2 2 , Tn 为数列 n n?1 4 512

{bn } 的前 n 项和.
(Ⅰ)求 an 和 Tn ; (Ⅱ)若对任意的 n ? N ? ,不等式 ?Tn ? n ? 2(?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中点,F 为线段 BP
? 上一点,∠CDP= 120 ,AD= 3 ,AP= 5 ,PC= 2 7 .

A

(Ⅰ)若 F 为 BP 的中点,求证:EF∥平面 PDC;

E F D P

1 (Ⅱ)若 BF ? BP ,求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值. B 3
21.(本小题满分 12 分)

a ?1 2 x ?1 . 2 1 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求 f (x) 在区间 [ , e] 上的最值; 2 e
已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅱ)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅲ)当 ?1 ? a ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ? 22.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F ? 0, p ? ( p ? 0 ) ,

C

a ln(?a) 恒成立,求 a 的取值范围. 2
y . F O R

直线 l : y ? ? p ,点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 x 轴的交点,
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l2 l 1


?


x

l

过 R 、 P 分别作直线 l1 、 l 2 ,使 l1 ? PF , l2 ? l l1 ? l2 ? Q . (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)在直线 l 上任取一点 M 做曲线 C 的两条切线,设切点为 A 、 B ,求证:直线 AB 恒 过一定点; (Ⅲ)对(Ⅱ)求证:当直线 MA, MF , MB 的斜率存在时,直线 MA, MF , MB 的斜率的倒 数成等差数列.

理科数学参考答案 一、选择题 C B B D D, 二、填空题 13. 55% 14. B A D C A, D D

0

15.

12

16.

(2n ? 1)n?1

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)

1 1+ cos 2? x 3 1 3 ? f ( x) ? sin 2? x ? 3 ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) , 2 2 2 2 2 3
------------------------------------------3 分 由题意知,最小正周期 T ? 2 ?

?
4

?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 2? ? 2 f ( x) ? sin(4 x ? ) 3

∴ -----------------------------------------6 分

?

? ? 个单位后,得到 y ? sin(4 x ? ) 的图象,再将所得图 6 8 ? 象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 6
(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个
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所以 g ( x) ? sin(2 x ? ). 6
-------------------------9 分 令 2x ?

?

?
6

? t ,∵ 0 ? x ?

?
2

,∴ ?

?

5 ?t ? ? 6 6

? ?? g ( x) ? k ? 0 ,在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2?

1 1 ? ?? ?0, 2 ? 上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知 ? 2 ? ?k ? 2 或 ?k ? 1 ? ? 1 1 ? ?k? 2 2





k ? ?1

.

-------------------12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (I)? 可能取值为 1,2,3. 分 记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B, -------------------------------2

P(? ? 1) ? P( A) ? 1 ?

3 1 ? , 4 4

3 2 1 P(? ? 2) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? (1 ? ) ? , 4 3 4
3 2 1 P(? ? 3) ? P( AB) ? P( A) P( B) ? ? ? . 4 3 2
--------------------------5 分

? 的分 布列为: ?
P 1 2 3

1 4

1 4

1 2
--------------------------

1 1 1 9 ? 的数学期望 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 4 2 4
7分 (Ⅱ)当 ? ? 1 时, f ( x) ? 3sin

x ?1 ? ? ? =3sin( x ? ) f ( x) 为偶函数; 2 2 2 x?2 ? ? ? 3sin( x ? ? ) f ( x) 为奇函数; 当 ? ? 2 时, f ( x) ? 3sin 2 2
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当 ? ? 3 时, f ( x) ? 3sin ∴ 事 件

x?3 ? 3 ? ? 3sin( x ? ? ) 2 2 2
发 生 的 概

f ( x) 为偶函数;
率 是

D

3 4

.

-----------------------------------12 分 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {a n } 的公比为 q ,由 a3 a6 ? a 2 ? q 5 ?
2

1 5 1 1 得q ? , q ? 16 512 2
-----------------------------

∴ an ? a2 ? q n?2 ? ( ) n . ----- 2 分

1 2

bn ? log 2 a2 2 ? log 2 a2 2= log
n n?1

1 ( )2 n?1 2

2 ? log

1 ( )2 n?1 2

2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? . ? )? (? 1 )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
------------------------------------5 分 (Ⅱ) ①当 n 为偶数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即

(n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 3 恒成立, n n


? ? (2n ?

2 ? 3) min n

----------------------------------6 分 而 2n ?

2 2 ? 3 随 n 的增大而增大,∴ n ? 2 时 (2n ? ? 3) min ? 0 , n n


∴ ??0 ----------------------------------8 分 ②当 n 为奇数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即

(n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 5 恒成立, n n


? ? ( 2n ?

2 ? 5) min n

-----------------------------------9 分 而 2n ?

2 2 2 ? 5 ? 2 2n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 2n ? ? n ? 1 等号成立, n n n
---------------------------------值 范 围

∴ ? ? 9. -----11 分

? 综 上 , 实 数 的 取 ----------------------------------------12 分
20.(本小题满分 12 分)

(- ?, 0 )

.

A 解(Ⅰ)取 PC 的中点为 O,连 FO,DO,
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Z

B

F D P

∵F,O 分别为 BP,PC 的中点, ∴ FO ∥BC,且 FO ?

1 BC , 2 1 BC , 2

又 ABCD 为平行四边形, ED ∥BC,且 ED ? ∴ FO ∥ED,且 FO ? ED ∴ 四 边 形

EFOD













---------------------------------------------2 分 即 EF∥DO ∴ 又 EF ? 平面 PDC

EF







PDC.

--------------------------------------------- 4 分

(Ⅱ)以 DC 为 x 轴,过 D 点做 DC 的垂线为 y 轴,DA 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则有 D (0 ,0 , 0),C(2,0,0),B(2,0,3) P( ?2, 2 3,0) ,A(0,0,3) ,

------------------------------6 分 设 F ( x, y, z ) , BF ? ( x ? 2, y, z ? 3) ? ∴

??? ?

? 1 ??? 4 2 BP ? (? , 3, ?1) 3 3 3


2 2 F( , 3, 2), 3 3

??? ? 2 2 AF ? ( , 3, ?1) 3 3

-----------------------------8 分 设平面 PBC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z )

??

?? ??? ? ?n1 ? CB ? 0 ?3 z ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? 即? ? ?4 x ? 2 3 y ? 0 ? ?n1 ? PC ? 0 ?

取 y ? 1得 n1 ? (

??

3 ,1, 0) -----------------10 分 2

2 3 2 ??? ? ? ? ? 3 ??? ? ? AF ? n 3 6 21 cos ? AF , n ?? ??? ? ? 3 2 3 ? ? ? 35 4 4 3 5 7 AF ? n ? ?1 ?1 ? 9 3 4 3 2
∴ AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 分 21. (本小题满分12分)

6 21 . 35

-------------------------12

1 x2 1 ? 1, 解: (Ⅰ)当 a ? ? 时, f ( x) ? ? ln x ? 2 4 2

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∴ f ?( x) ? ∵

?1 x x2 ?1 . ? ? 2x 2 2x
的 定 义 域 为

f (x)

(0,??)







f ?( x) ? 0



x ? 1. ---------------------------2 分 1 1 ∴ f (x) 在区间 [ , e] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, e e
5 1 3 1 1 e2 而 f (1) ? , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? , 4 e 2 4e 2 4
∴ f ( x) max ? f (e) ? ---4 分 (Ⅱ) f ?( x) ?

1 e2 5 . ? , f ( x) min ? f (1) ? 2 4 4

------------------------

(a ? 1) x 2 ? a ,x ? (0, ??) . x

①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;-------------5 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增; 分 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?
2

----------------6

?a ,? x ? a ?1

?a ?a 或x ? ? (舍去) a ?1 a ?1
--------------------8

∴ f (x) 在 ( 分 综上,

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; a ?1 a ?1

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f (x) 在 ( 当

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a ?1 a ?1
f (x)


a ? ?1





(0,??)











-----------------------9 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ? 1 ? a ? 0 时, f min ( x) ? f (

?a ) a ?1

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f(

?a a ) ? 1 ? ln(? a) a ?1 2

---------------------------10 分 即 a ln

?a a ? 1 ?a a ? ? ? 1 ? 1 ? ln(?a) a ?1 2 a ?1 2

整理得 ln(a ? 1) ? ?1 ∴ ----------------------------11 分 又 ∵

1 a ? ?1 e
?1 ? ?1 ?e ? , ? ?



?1 ? a ? 0







a













. 0

---------------------------12 分 22. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)依题意知,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP , ∴ 线.

RQ



线



FP











---------------------------------------2 分 ∴ PQ ? QF .

故动点 Q 的轨迹 C 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线, 其 方 程 为 :

x2 ? 4

?



p (

-----------------------------------4 分 y 0 p )

(Ⅱ)设 M (m, ? p) ,两切点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由 x ? 4 py 得 y ?
2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x. 4p 2p 1 x1 ( x ? x1 ) ① 2p
1 x2 ( x ? x2 ) ② 2p
-------------------6

∴两条切线方程为 y ? y1 ?

y ? y2 ?


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对于方程①,代入点 M (m, ? p) 得, ? p ? y1 ?

1 1 2 x1 (m ? x1 ) ,又 y1 ? x1 2p 4p

∴?p?

1 2 1 x1 ? x1 (m ? x1 ) 整理得: x12 ? 2mx1 ? 4 p 2 ? 0 4p 2p

2 同理对方程②有 x2 ? 2mx2 ? 4 p 2 ? 0

即 x1 , x2 为方程 x 2 ? 2mx ? 4 p 2 ? 0 的两根. ∴

x1 ? x2 ? 2m , x1 x2 ? ?4 p 2



-----------------------8 分 设直线 AB 的斜率为 k , k ?
2 y2 ? y1 x2 ? x12 1 ? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 4 p ( x2 ? x1 ) 4 p

所以直线 AB 的方程为 y ?

x12 1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,展开得: 4p 4p

y?


xx 1 m ( x1 ? x2 ) x ? 1 2 ,代入③得: y ? x? p 4p 4p 2p
直 线 恒 过 定 点

(

p

0

.

,

)

-------------------------------------10 分 (Ⅲ) 证明:由(Ⅱ)的结论,设 M (m, ? p) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且有 x1 ? x2 ? 2m , x1 x2 ? ?4 p ,
2

∴ ----------------------------11 分 ∴

kMA ?

y1 ? p y ?p , kMB ? 2 x1 ? m x2 ? m

x ? m x2 ? m x1 ? m x ? m 4 p ( x1 ? m) 4 p ( x2 ? m) 1 1 ? ? 2 ? 22 ? 2 ? 2 ? ?? 1 x2 y1 ? p y2 ? p x1 x1 ? 4 p 2 x2 ? 4 p 2 kMA kMB ?p ?p 4p 4p

=

4 p( x1 ? m) 4 p( x2 ? m) 4 p( x1 ? m) x2 ? 4 p( x2 ? m) x1 4 pm 4 pm m ? 2 ? ? ? ?? 2 2 x1 ? x1 x2 x2 ? x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) x1 x2 ?4 p p
--------------------------13


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又∵

1 kMF

?

m m 1 1 2 ,所以 ? ? ?? k MA kMB kMF ?p? p 2p
NA, NM , NB
的 斜 率 倒 数 成 等 差 数 列 .





线

----------------------------14 分

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