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向量.01平面向量.学案A.教师版


学案 A
【练1】 给出下列命题: ① 若 a ? b ,则 a ? b ;
B, C, D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ② 若 A,

③ 若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ; ④a ? b 的充要条件是 a ? b 且 a ∥ b ; ⑤ 若 a ∥ b , b ∥

c ,则 a ∥ c ; 其中正确的序号是___________. 【答案】②③ 【解析】 ① 不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同; ② 正确;∵AB ? DC ,∴| AB |?| DC | 且 AB ∥ DC ,
B, C, D 是不共线的四点,∴ 又 A, 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四

边形,则 AB ∥ DC 且 | AB |?| DC | ,因此, AB ? DC . ③ 正确;∵a ? b ,∴a , b 的长度相等且方向相同;

c 的长度相等且方向相同,∴a , c 的长度相等且方向相同,故 a ? c . 又 b ? c ,∴b ,
④ 不正确;当 a ∥ b 且方向相反时,即使 a ? b ,也不能得到 a ? b ,故 a ? b 且 a ∥ b 不是 a ? b 的 充要条件,而是必要不充分条件; ⑤ 不正确;考虑 b ? 0 这种特殊情况; 综上所述,正确命题的序号是②③. 【练2】 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且 AB = a , AD = b ,则 BE =( 1 1 1 1 A.b— a B.b+ a C.a+ b D.a— b 2 2 2 2 【答案】A 【练3】 如图,已知 AB = a , AC = b , BD = 3DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =( A. a + ) )

3 b 4

1 3 B. a + b 4 4 3 1 D. a + b 4 4

1 1 C. a + b 4 4
【答案】B

【练4】 D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? (



1 A. BC ? BA 2 【答案】C

1 B. ?BC ? BA 2

1 C. ?BC ? BA 2

1 D. BC ? BA . 2

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【练5】 若向量 a ? ?1, 1? , b ? ? ?1, 1? , c ? ? 4 , 2? ,则 c = (



A.3 a + b 【答案】B

B.3 a — b

C.— a +3 b

D. a +3 b

【解析】 由计算可得 c ? (4,2) ? 3c ? b 故选 B 【练6】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 四 边 形 ABCD 的 边 A B∥ D C, AD ∥ BC , 已 知 点 A ? ?2 , 0 ? ,
B ? 6 , 8? , C ?8 , 6? ,则 D 点的坐标为___________.

【答案】 ? 0 , ? 2?
【解析】 平行四边形 ABCD 中, OB ? OD ? OA ? OC

∴OD ? OA ? OA ? OB ? ? ?2 , 0? ? ?8 , 6? ? ? 6 , 8? ? ? 0 , ? 2? 即 D 点坐标为 ? 0 , ? 2?
【练7】 (1)已知 3(m ? a) ? 2(m ? 2a) ? 4(m ? a ? b) ? 0 ,则 m ? __________ (2)已知 a , b 方向相同,且 a ? 3 , b ? 7 ,则 2a ? b ? _________ (1) 3a ? 4b ;(2) 1 【答案】 【练8】 已知向量 a = (1, k ) , b = (2 , 2) ,且 a + b 与 a 共线,那么 a ×b 的值为( A.1 【答案】D
2) , B (a , 0) , C (0 , b) (ab≠0)共线,则 【练9】 若三点 A(2 ,



B.2

C .3

D.4

1 1 + 的值等于________. a b

1 【答案】 2
【练10】 已知向量 i ? (1,0) , j ? (0,1) .若向量 i ? ?j 与 ?i ? j 垂直,则实数 ? ? ______. 【答案】0
i ? ? j ? ?1, ? ? , ? i ? j ? ? ? ,1? ,因为向量 i ? ? j 与 ? i ? j 垂直,所以 ? ? ? ? 0 ,即 ? ? 0 . 【解析】

【练11】 已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 2, k ? ,且 a ? (2a ? b) ,则实数 k ? ( A. ? 14 【答案】D 【练12】 若向量 a ,, b c 满足 a∥b 且 a ⊥ c ,则 c(a + 2b) =( A.4 【答案】D 【练13】 设 ?ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 CA ? CB =_____________. 【答案】 3 B.3 C.2 D.0 ) B. ? 6 C.6 D.14



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【解析】 CA ? CB =

CA ? CB ?

2

CA ? 2CA CB ? | CB |2

2

【练14】 若向量 a + b 满足 | a | + | b |= | a + b |= 1 ,则 a ×b 的值为( A. ? 【答案】A 【解析】a ? b ?

) D. 1

1 2

B.

1 2

C. ?1

?

?

? ?2 a ?b ?

1 ?? ?2 ?2 ?? a ? b ? 2ab ? 1 ,解得 a b ? ? . 2


【练15】 已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? 3 , a ? b ? 13 ,则 b 等于( A. 5 【答案】B
2 2

B. 4
2

C. 3 ①

D. 1

【解析】a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 13 将 a ? b ? a ? b cos?a , b? ? ?

2 3 b 代入①有 b ? 3 b ? 4 ? 0 ,解得: b ? 4 2

【练16】 平面内给定三个向量 a ? ?3,2? , b ? ? ?1,2? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m, n ;

? ? ? (3)若 d 满足 ? d ? c ? / / ? a ? b ? ,且 d ? c ?
(2)若 a ? kc / / 2b ? a ,求实数 k ; 【解析】 (1)由题意得 ? 3,2? ? m ? ?1,2? ? n ? 4,1?
5 ? m? ? ? m ? 4 n ? 3 ? ? 9 所以 ? ,得 ? 2 m ? n ? 2 8 ? ?n ? ? 9 ?

?

5 ,求 d .

(2) a ? kc ? ?3 ? 4k ,2 ? k ? ,2b ? a ? ? ?5,2?

? 2 ? ? 3 ? 4k ? ? ? ?5?? 2 ? k ? ? 0,? k ? ?

16 13

(3)设向量 d 的坐标为 ( x, y ) ,有 d ? c ? ? x ? 4, y ? 1? , a ? b ? ? 2,4?

? ?4 ? x ? 4 ? ? 2 ? y ? 1? ? 0 由题意得 ? 2 2 ? ? ? x ? 4 ? ? ? y ? 1? ? 5
? x?3 ?x ? 5 解得 ? 或? . ? y ? ?1 ? y ? 3

【练17】 已知 a , b 都是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角.

【答案】 60 ? 【解析】由题意可得: (a ? 3b) ? (7a ? 5b) ? 0 化简得: 7a ? 16a ? b ? 15b ? 0
2 2

…………①

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(a ? 4b) ? (7a ? 2b) ? 0 化简得: 7a ? 30a ? b ? 8b ? 0

2

2

…………②

两式相减得: 2 ? a ? b ? b ,代入① 或② 得: a ? b , 设 a, b 的夹角为 ? ,则 cos ? ?
a ?b b2 1 ? ? | a || b | 2 | b |2 2

2

2

2

∴? ? 60? ,即 a 与 b 的夹角为 60 ? .
【练18】 设 平 面 内 的 向 量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OM ? (2,1) , 点 P 是 直 线 OM 上 的 一 个 动 点 , 且
PA ? PB ? ?8 ,求 OP 的坐标及 ?APB 的余弦值.

【答案】 cos ?APB ? ?

4 17 17

【解析】设 OP ? ( x, y) . ∵ 点 P 在直线 OM 上, ∴OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1) , ∴x ? 2 y ? 0 ,即 x ? 2 y ,有 OP ? (2 y, y) . ∵PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y) , PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y) , ∴PA ? PB ? (1 ? 2 y)(5 ? 2 y) ? (7 ? y)(1 ? y) , 即 PA ? PB ? 5 y2 ? 20 y ? 12 . 又 PA ? PB ? ?8 ,∴5 y 2 ? 20 y ? 12 ? ?8 , 所以 y ? 2 , x ? 4 ,此时 OP ? (4,2) .
PA ? (?3,5), PB ? (1, ?1) .

于是 PA ? 34 , PB ? 2 , PA ? PB ? ?8 . ∴cos ?APB ?
PA ? PB PA ? PB ? ?8 34 ? 2 ?? 4 17 . 17

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课后练习
A

【题1】 在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? (



2 1 A. b ? c 3 3
【答案】A

5 2 B. c ? b 3 3

2 1 C. b ? c 3 3

1 2 D. b ? c 3 3

B

D

C

2 2 2 2 1 【解析】 AD ? AB ? BD ? c ? BC ? c ? ( AC ? AB) ? c ? (b ? c) ? b ? c 3 3 3 3 3
【题2】 已知 O ,A ,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ? ( )

A. 2OA ? OB B. ?OA ? 2OB 【答案】A.

2 1 1 2 C. OA ? OB D. ? OA ? OB 3 3 3 3 1 OC ? OB ,∴ OC ? 2OA ? OB 2

【解析】 由题意可知 A 为 BC 中点,∴ OA ?

?

?

【题3】 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点. 若 AC ? ? AE ? ? AF , 其中 ? ,? ? R , 则 ? ? ? ? __________.

4 【答案】 . 3
1 1 【解析】 AF ? AB ? AC ,①AE ? AD ? AC ,② 2 2 AC ? AB ? AD ,③
由① ② 分别得 AB ? 2 AF ? AC , AD ? 2 AF ? AC ,代入③ 得: 2 2 4 AC ? AE ? AF ,∴? ? ? ? . 3 3 3
b 方向相反,则 x 的值是( 【题4】 设向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) ,且 a ,

A

D E

?

?

?

?

B

F

C

?

?



A.2 【答案】B

B.—2

C. ?2

D.0

? b 方向相反,所以 a 【解析】因为向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) 且 a , ? ?b 且 ? ? 0 ,所以 x ? ?2 .
【题5】 设向量 AB ? (2, 3) ,且点 A 的坐标为 (1, 2) ,则点 B 的坐标为_____ . 【答案】设点 B 的的坐标为 ( x , y ) ,则 AB ? ( x , y) ? (1, 2) ? (2, 3) 解得: x ? 3 , y ? 5 ,∴ 点 B 的坐标为 (3, 5) 【题6】 已知 a ? ( x ? 2, 3), b ? (1, y ? 2) ,若 a ? b ,则 x ? ______, y ? ______. 【解析】由 a ? b 即 ( x ? 2, 3) ? (1, y ? 2) 得:
? x ? 2 ?1 ? x ? 3, y ? 1 ? ?3 ? y ? 2

?

?

?

【题7】 a ? 1 , b ? 2 , c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为(



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A. 30 ? 【答案】C

B. 60 ?

C. 120?

D. 150?

【题8】 在边长为 1 的正方形 ABCD 中, E 、 F 分别为 BC 、 DC 的中点,则向量 AE ? AF ? _____. 【答案】1 【题9】 已知 a ? 7 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,求 (a ? 3b)(a ? 5b) ; 【解析】原式 ? a ? a ? 2a ? b ? 15b ? b ? a ? 2 a b cos? ? 15 b ? 72 ? 2 ? 7 ? 2 ? cos 60 ? 15 ? 22 ? 3 【题10】 在 ?ABC 中,已知 AB ? 3 , BC ? 4 , ?ABC ? 60 ,求 AC .
2 2

【解析】∵ AC ? AB ? BC ,∴ AC ? AB ? BC ,∴ AC ?
2 2

AB ? BC
2

2

∵ AB ? BC ? ( AB ? BC )2 ? AB ? 2 AB ? BC ? BC ? 32 ? 2 ? 3 ? 4 ? cos120 ? 42 ? 13 ∴ AC ? 13

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