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河南省豫东、豫北十所名校2014届高三数学阶段性测试试题(五)理


河南省豫东、豫北十所名校 2014 届高三数学阶段性测试试题(五)理(扫描版) 新人教 A 版

2013—2014 学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(五) 数学(理科)· 答案

(1)C (7)A (13)

(2)B (8)B

(3)B (9)C

(4)C (10)A (14)7

(5)B (11)A

(6)C (12)D

4 3

(15) ?2 3 (17)解: (Ⅰ)由 an+1

(16)

4 10 5

= 3an - 2n 可得

an+1 - 2n+1 = 3an - 2n - 2n+1 = 3an - 3?2n
又 a2 得 a2

3(an - 2n ) ,

= 3a1 - 2 ,则 S2 = a1 + a2 = 4a1 - 2 , + S2 = 7a1 - 4 = 31 ,得 a1 = 5 ,? a1 ? 21 ? 3 ? 0,

\

an+1 - 2n+1 = 3 ,故 {an - 2n }为等比数列.?????????????????(6 分) n an - 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an

- 2n = 3n- 1 (a1 - 21) = 3n ,故 an = 2n + 3n ,

? Sn ?

2(1 ? 2n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 7 ? ? 2n?1 ? ? . ????????????????(12 分) 1? 2 1? 3 2 2

(18)解:由题意得,该 100 名青少年中有 25 个是“网瘾”患者. (Ⅰ)设 Ai (0≤i≤3) 表示“所挑选的 3 名青少年有 i 个青少年是网瘾患者” , “至少有一人是网瘾患者”记 为事件 A , 则 P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 1 ? P( A0 ) ? 1 ? ( (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4 ,

75 3 37 ) ? .?????????(4 分) 100 64

3 81 27 1 3 3 1 P( X ? 0) ? ( ) 4 ? , P( X ? 1) ? C 4 ( ) ( ) ? , 4 256 4 4 64 3 2 1 2 27 3 3 3 1 3 P( X ? 2) ? C 2 , P( X ? 3) ? C 4 ( )( ) ? , 4( ) ( ) ? 4 4 128 4 4 64 1 4 1 P( X ? 4) ? C 4 .???????????????????????(10 分) 4( ) ? 4 256 X 的分布列为
X

0

1

2

3

4

81 27 27 3 1 256 64 128 64 256 81 27 27 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .??????????(12 分) 则 E( X ) ? 0 ? 256 64 128 64 256

P

(19)解: (Ⅰ)取 O 为 AD 的中点,连接 CO, PO ,如下图.

则在矩形 ABCD 中,有

CD DO 2 △CDO∽R t △DAB , ,可得 R t ? ? AD AB 2

则 ?OCD ? ?BDA, 故 ?OCD ? ?CDB ? 90? , 故 BD ? OC ,???????????????????????????????(3 分) 由 PA ? PD , O 为 AD 中点,可得 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD . 则 PO ? 平面ABCD ,则 PO ? BD . 又 OC ? 平面 POC , PO ? 平面 POC ,则有 BD ? 平面 POC , 又 PC ? 平面 POC ,故 PC ? BD .??????????????????????(6 分) (Ⅱ)由 VP ? ABCD ?

1 1 4 2 ,可得 PO ? 2 ,???(7 分) S矩形ABCD ? PO ? ? 2 ? 2 ? PO ? 3 3 3

建立如图所示空间直角坐标系,则有

A(1 , 0, 0), P(0, 0, 2),C(?1,2, 0), D(?1, 0, 0) ,
故 AP ? (?1 , 0, 2), AC ? (?2,2, 0) , DP ? (1 , 0, 2), DC ? (0,2, 0) .????????(8 分) 设平面 PAC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则有 ?

? ?n1 ? AP ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0

,即 ?

? ?? x1 ? 2 z1 ? 0 , ? ??2 x1 ? 2 y1 ? 0

令z1 ? 1, 得 n1 ? (2,2 2,1) ,
同理,设平面 PAD 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则有 ?

? ?n1 ? DP ? 0 ? ?n1 ? DC ? 0

,可得 n2 ? (2,0, ?1) ,

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 4 ?1 3 65 ? ? , ?????????????????(10 分) n1 ? n2 65 13 ? 5

由图可知二面角 A ? PC ? D 为锐二面角,

故二面角 A ? PC ? D 的余弦值为

3 65 .??????????????????(12 分) 65
p , 2
2

(20)解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ?
2

则将直线 l 的方程代入抛物线 C 的方程可得 x ? 2 pkx ? p ? 0 , 则 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ? p2 , (*) 故 AB ? AF ? BF ? y1 ?

p p ? y2 ? ? kx1 ? p ? kx2 ? p ? 2 p (k 2 ? 1) . 2 2
1

因直线 MA 为抛物线在 A 点处的切线,则 k MA ? y? x ? x ?

x1 , p

x1 x12 故直线 MA 的方程为 y ? x ? , p 2p
同理,直线 MB 的方程为 y ?

x2 x2 x? 2 , p 2p
p x1 ? x2 x1 x2 , ) ,又由(*)式可得 M ( pk , ? ) , 2 2 2p

联立直线 MA, MB 的方程可得 M ( 则点 M 到直线 l : y ? kx ? 故 S?MAB ?

p 的距离 d ? p k 2 ?1 , 2

3 1 AB d ? p 2 ? k 2 ? 1? 2 ≥p 2 , 2

由 △MAB 的面积的最小值为 4,可得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 k MA ? k MB ? 故 | MA | ? | MB | ?| AB | , ①
2 2 2

p 2 = 4 ,故 p = 2 .???????????(6 分)

x1 x2 ? ?1,故 MA ? MB ,则△MAB 为直角三角形, p2

由 △MAB 的三边长成等差数列,不妨设 MA ? MB ,可得 | MA | ? | AB |? 2 | MB |, ② 联立①,②可得 MA : MB : AB ? 3 : 4 : 5 , 由 S△MAB

=

1 1 d 12 MA MB = AB d ,可得 = , 2 2 AB 25

又 AB ? 2 p(k 2 ?1) ? 4(k 2 ?1) , d ? p k 2 ? 1 ? 2 k 2 ? 1 ,



25 d 1 12 , ? ? ,故 k 2 ? 1 ? 2 24 AB 2 k ? 1 25
25 .???????????????(12 分) 12

2 得此时 M 到直线 AB 的距离 d ? 2 k ? 1 ?

(21) (Ⅰ)解: h( x) ? 4 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ln x ? 2ln x ? x 2 ? 4 x ? 5 , 则 h?( x ) ? 4 ln x ? 2 x ?

2 , x

记 h??( x ) 为 h?( x) 的导函数,则 h??( x) ? ?

2( x ? 1) 2 ≤0, , x2

故 h?( x) 在其定义域 (0, ??) 上单调递减,且有 h?(1) ? 0 , 则令 h?( x) ? 0 可得 x ? 1 ,令 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , 故 h( x) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) .????????????(5 分) (Ⅱ)令 ? ( x) ? af ( x) ? g ( x) ,则有 x≥1 时 ? ( x)≤0 .

? ( x) ? ax ln x ? 2ln x ? ax ? x2 ? a ? 1 ,
? ?( x) ? a ln x ? 2 x ? ,
1 2 (a ? 2 x ? ) , x x 1 2 因为当 x≥1 时, x ? ≥2 ,故 a ? 2 x ? ≤a ? 4 . x x
记 ? ??( x ) 为 ? ?( x ) 的导函数,则 ? ??( x ) ?

2 x

?? )上 单 调 递 减 , 当 x≥1 时 有 ≤ 0, 故 ? ?( x ) 在 区 间 [1, ① 若 a ? 4≤0 , 即 a≤4 , 此 时 ? ??( x )

? ?( x ) ≤? ? (1) ? ,故 0 ? ( x) 在区间 [1, ?? ) 上单调递减,当 x≥1 时有 ? ( x)≤? (1) ? 0 ,故 a≤4 时,原不
等式恒成立; ② 若 a ? 4 ? 0 , 即 a ? 4 , 令 ? ??( x ) ?

1 2 a ? a 2 ? 16 ( a ? 2 x ? ) ? 0 可 得 1≤x ? , 故 ? ?( x ) 在 区 间 x x 4

[1,

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ? ) 上 单 调 递 增 , 故 当 1? x ? 时 , ? ?( x ) ? ? ? (1) 4 4

0 故 ? ( x) 在 区 间 ,

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 [1, ) 上单调递增,故当 1 ? x ? 时, ? ( x) ? ? (1) ? 0 ,故 a ? 4 时,原不等式不 4 4
恒成立.???????????????????????(11 分) 综上可知 a≤4 ,即 a 的取值范围为 ? ??, 4? .?????????????????(12 分) (22)解: (Ⅰ)过点 P 作圆 O 的切线交直线 EO 于 F 点,由弦切角性质可知 ?NPF ? ?PBA ,

PM ? PN ,??PNO ? ?PMA , 则 ?PNO ? ?NPF ? ?PMA ? ?PBA , 即 ?PFN ? ?BAO .

又 PF 为圆 O 的切线,故 ?POA ? ?PFN ? 90? , 故 ?POA ? ?BAO ? 90 .??????????????????????????(5 分) (Ⅱ)若 BC∥PE ,则 ?PEO ? ?BAO ,又 ?POA ? 2?PEO , 故 ?POA ? 2?BAO , 由(Ⅰ)可知 90 ? ?POA ? ?BAO ? 3?BAO ,故 ?BAO ? 30? ,

PE 3 PE ? 则 ?PEO ? ?BAO ? 30 , cos ?PEO ? 2 ,即 , 2 2 EO EO PE PE ? ? 3 .????????????????????????????(10 分) 故 PO EO
(23)解: (Ⅰ)当 tan ? ? ?2 时,将直线 C1 的参数方程化成直角坐标方程为 y ? ?2 x ? 4 , 曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 则圆 C2 的圆心为 C2 (1, 0) ,半径 r ? 1, ????????????????????(3 分) 则圆心 C2 到直线 C1 : y ? ?2x ? 4 的距离 d ?

2 , 5

则 AB ? 2 r ? d ? 2 1 ?
2 2

4 2 5 .????????????????????(5 分) ? 5 5

(Ⅱ)由直线 C1 的方程可知,直线 C1 恒经过定点 (1, 2) ,记该定点为 Q ,弦 AB 的中点 P 满足 C2 P ^ 故点

QP ,

P 到 C2Q

的中点

D(1,1) 的 距 离 为 定 值 1 , 当 直 线 C1 与 圆 C2 相 切 时 , 切 点 分 别 记 为

E , F .?????????????????????????????(7 分)

由图,可知 ?EDC2 ? ?FDC2 ? 60 ,则点 P 的参数方程为 í

ì 11π ? x = 1 + cos j 7 π ( <j < ), 6 6 ? ? y = 1 + sin j

表示的是一段圆弧.????????????????????????????(10 分)

1 ? ?5 x ? 2, x≥ 2 ? 1 ? 1 (24)解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? x, ? x ? ,?????(2 分) 3 2 ? 1 ? ??5 x ? 2, x≤ 3 ?
1 6 时, f ( x) ? 5x ? 2≥4 ,得 x≥ ; 2 5 1 1 当 ? x ? 时, f ( x) ? x≥4 ,无解; 3 2 1 2 当 x≤ 时, f ( x) ? ?5 x ? 2≥4 ,解得 x≤ ? ; 3 5
当 x≥ 综上可知, f ( x)≥4 的解集为 ? x x≥ 或x≤ ? ? .??????????????(5 分)

? ?

6 5

2? 5?

1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ a ? 1 1 ? (Ⅱ)当 a ? 3 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 1 ? ?( a ? 3) x, ? x ? , a 3 ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ 3 ?
故 f ( x ) 在区间 (??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 上单调递增; 故 f ( x )≥f ( ) ,与题意不符;????????????????????????(7 分)

1 a

1 a

1 a

1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ 3 ? 1 1 ? 当 0 ? a≤3 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 1 ? ?(3 ? a ) x, ? x ? , 3 a ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ a ?
故 f ( x ) 在区间 (??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 单调递增; 故 f ( x )≥f ( ) , 综上可知, a 的取值范围为 (0,3].?????????????????????(10 分)

1 3

1 3

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