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1.2.2直线与平面平行的性质(公开课)


直线与平面平行的性质

复习回顾:
直线与平面平行的判定定理:
如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行.

a
图形

α
符号语言:

b

若 a ? ? , b ? ? , a // b,则 a // ?

简记为: 线线平行,则线面平行。

新课引入:
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条

直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a a

b

b α

α

平行

异面

(2)什么条件下,平面?内的直线与直线a平行呢?

讲授新课:
线面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

a / /? a?? ? ?? ? b

β
a

a / /b
b

简记为: “线面平行,则线线平行” 作用:判定直线与直线平行的重要依据。 关键: 寻找平面与平面的交线。

α

定理证明:
已知 : a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b 求证:a // b

例题讲解:
例1 在四面体ABCD中,E、F分别是AB、AC的中
点,过直线EF作平面α,分别交BD、CD于M、N, 求证:EF∥MN. E B F M D A

C

N

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 且a//b, 已知:直线a、b,平面?, a // ? , a,b ? ? , 求证: b//?

a
过a作辅助平面?, 提示: 且

b

? ?? ? c

?

例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面,求证:另一条也平行于这个平面. 且a//b, 已知:直线a、b,平面?, a // ? , a,b ? ? , 求证: b//?
?
?

a
c

b

B、B1) 例3长方体ABCD -A1 B1C1 D1中,点P ? BB(异于 1 PA ? BA1 ? M , PC ? BC 1 ? N , 求证:MN // 平面ABCD
D1 C1

提示 : 连结AC、 A1C1 A

1

B1

P M D N C

A

B

解 : 连结AC、 A1C1 长方体中A1 A //C1C ? A1C1 //AC ? AC ? 面A1C1B A1C1 ? 面A1C1B
A1

D1

C1

B1

P M D N C

A

B

? AC // MN MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

练习1.ABCD是平行四边形,点P是平面
ABCD外一点,M是PC的中点,在DM 上取一点G,过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证:AP//GH 提示:连结AC 交BD于O,连 结OM
A G D H O B C P M

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面AB1,则线段 PQ长为 D1 A1 P . Q B1 C
1

D
A B

C

练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
点P是面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点, 且PQ//面ABB1A1 ,则线段 PQ长为 D1 A1 P
2 2

. C
1

Q B1

D
A B

C

思考: 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C
要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开,应 怎样画线? 解: 如图,在平面A'C'内, 过点P作直EF//B'C',分别交 棱A'B'、C'D'于点E、F, A' D' E

F P
B'

C' C

连结BE、CF,
下面证明EF、BE、 A CF为应画的线.

D

B

思考:如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'
要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样 画线? 解: ⑴ D' BC//B'C' BC//EF EF//B'C' EF、BE、CF共面. A A' D E F

P
B'

C' C

则EF、BE、CF为应画的线.

B

课堂小结:
1.直线与平面平行的性质定理 a∥ b. a b

性质定理的运用.
⑴判定定理. 线线平行 ⑵性质定理. 线面平行 线面平行 线线平行

2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法:

3.要注意判定定理与性质定理的综合运用


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