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广东2013-2014学年度下学期高二第二段考理科数学试题及答案(人教版)


广东 2013~2014 学年度第二学期第二学段考试 高二年级理科数学试题卷(人教版)
命题人: 审题人:

8、设 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 , 且 g (3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ?

0 的解集是( A. C. )

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的. (将答案填在答题纸上) 1、复数 i 的值是( A 2、定积分
3

(? 3 , 0 ? ) (? 3 ,? (??, ?3) ? (0,3)

)

B. (?3, 0) ? (0,3) D. (??, ?3) ? (3, ??)

) B 1 ) C

?i

?1

D

i

?

3

1

(?3)dx 等于(
6
B.

二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)
9、.曲线 y ? x3 ? x 2 ? 1 在点 P(?1, ?1) 处的切线方程是 ; 种(用数据作答) ;

A. 3、.曲线 y ?

?6

C. ? 3

D. 3 )

10、从 4 名同学中选出 3 人,参加一项活动,则不同的选方法有 11、若 X ~ B (n, ) ,且 E ( x) ? 8, 则 D ( x) =

1 5 x ? 3 x 2 ? 4 x 在 x ? ?1 处的切线的倾斜角是( 5 ? ? 3? A. ? B. C. 4 4 4
6
2 4

5? D. 4

1 3



4、 ( x ? 3 y) 的二项展开式中, x y 项的系数是( A. 90 B. 45 C. 270

) D. 135

12、已知 (1 ? 2x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?

.;

5、用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于 60?”时,应该先 A. 假设三内角都不大于 60? C. 假设三内角至多有一个大于 60? B. 假设三内角都大于 60? D. 假设三内角至多有两个大于 60? )

13、随机变量 ξ 的分布列如右图,其中 a,b,

1 成等差数列, 2
ξ -1 a 0 b 1

则 E (? ) ?

. ;

P

6、已知随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1), P(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 1) ? ( A 1? 2 p B

1 2

1? p

C

1 p 2

D

1 ?p 2


7、 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, f ?( x ) 的图像如右图所示,则 f ( x ) 的图像只可能是(

14、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为 一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢, 按此规律,以 f ( n) 表示第 n 幅图的蜂巢总数.则

f (4) =_____, f (n) =___________.

1

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15、 (12 分)已知复数 z ?

1? i ? 3 ? 5i 求(1) z ; (2) z 。 1? i
19、 (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2n ? an ( n ? N ).
*

(1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值; 16、 (12 分)3 名教师与 4 名学生排成一横排照相,求(1)3 名教师必须排在一起的不同排法有多 少种?(2)3 名教师必须在中间(在 3、4、5 位置上)的不同排法有多少种?(3)3 名教师不 能相邻的不同排法有多少种? (2)猜想 an 的表达式,并加以证明。

17、 (14 分)已知在 ( x ? 3 x )n (其中 n<15)的展开式中: (1)求二项式展开式中各项系数之和; (2)若展开式中第 9 项,第 10 项,第 11 项的二项式系数成等差数列,求 n 的值; (3)在(2) 的条件下写出它展开式中的有理项。 20、 (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ?

a ln x ? ln x , g ( x) ? , x ? ?0, e? ,其中 e 是无理数且 e=2.71828?, a ? R . x x

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间与极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ? 18、 (本小题满分 14 分) 某学校高一年级组建了 A、B、C、D 四个不同的“研究性学习”小组,要求高一年级学生必须参加, 且只能参加一个小组的活动. 假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的. (1)求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数; (2)求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率; (3)设随机变量 X 为甲、乙、丙三名同学参加 A 小组活动的人数,求 X 的分布列与数学期望 EX.

1 ; 2

(3)是否存在实数 a,使 f ( x) 的最小值是 ?1 ?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

2

2013~2014 学年第二学期第二学段考试 高二年级理科数学答题卷


座位号
16 题: (12 分)

命题人: 统分表:

审题人:






选择 题
线

填空 题

15

16

17

18

19

20

合计

得 分 一 、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。答案填在表中 。 ......



题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8






17 题: (14 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.答案写在横线上 。 .......

班 级

9._______


10.________ 13 14

11._________ ;

12.__________







三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 题: (12 分) 解:



3

18 题: (14 分)

20 题: (14 分)

19 题: (14 分)

4

2013~2014 学年第二学期第二学段考试 高二年级理科数学参考答案
16 题: (12 分)
3 5 解: (1)3 名教师的排法有 A3 ,把 3 名教师作为一个整体与 4 个学生共 5 个元素的全排列共有 A5 种, 3 5 则共有 A3 A5 ? 720 (种)------------4 分



、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。答案填在表中 。 ......
3 4 3 4 (2)3 名教师的排法有 A3 , 4 个学生在 4 个位子上的全排列共有 A4 种,则共有 A3 A4 ? 144 (种)

题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 D

5 B

6 A

7 D

8 C

----------8 分

4 3 (3) A4 A5 ? 1440 ---------------12 分

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.答案写在横线上 。 ....... 9.___ x ? y ? 0 _ 10.___4_____ 11._____

16 ____ 3

17 题: (14 分)
0 1 2 解: (1)因为本题二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数 Cn , Cn , Cn , n , Cn

所以各项系数之和为 12.____-2______ 13

1 3

14

37



3n(n ? 1) ? 1

0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? Cn ? 2n ------------------4 分 (2) ( x ? 3 x )n (其中 n<15)的展开式中第 9 项,第 10 项,第 11 项的二项式系数
8 9 10 分别是 Cn , Cn , Cn 。-----------6 分

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 题: (12 分)

1? i ? 3 ? 5i 解:因为 z ? 1? i

8 10 9 依题意得 Cn ,写成: ? Cn ? 2Cn

n! n! n! ? ? 2? ,------7 分 8!(n ? 8)! 10!(n ? 10)! 9!(n ? 9)!
------------9 分

(1 ? i)2 2i ∴z? ? 3 ? 5i ? ? 3 ? 5i ??????????4 分 (1 ? i)(1 ? i) 1?1
? i ?3 ?5i ?3 ?4 i ??????????6 分
(2)

化简得 90+(n-9)(n-8)=2·10(n-8), 即:n2-37n+322=0,解得 n=14 或 n=23,因为 n<15 所以 n=14。 (2)展开式的通项
r Tr ?1 ? C14 x 14? r 2 r x 3 ? C14 x r 42? r 6

------------11 分

z ? 3 ? 4i

? z ? 3 ? 4i ? 32 ? (?4) 2 ? 5 -----------12 分

展开式中的有理项当且仅当 r 是 6 的倍数,------12 分 0≤r≤14,所以展开式中的有理项共 3 项是:
0 7 r ? 0, T1 ? C14 x ? x7 ; 6 6 r ? 6, T7 ? C14 x ? 164x6 ;

12 5 r ? 12, T13 ? C14 x ? 91x5 --------------14 分

5

当 n ? 4 时,有 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2 ? 4 ? a4 ,解得 a 4 ? (2)猜想 a n ? 2 ? 方法一: 18 题: (14 分) 解: (1)甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是 4 种,故有 4 3 ? 64 种. (4 分)
3 A4 3 ? , 3 8 4

15 1 ? 2? 3 . 8 2

(5 分) (9 分)

1 2
n ?1

(n? N*)

由 S n ? 2n ? an ( n ? N * ) ,得 S n?1 ? 2(n ? 1) ? an?1 ( n ? 2 ) , 两式相减,得 an ? 2 ? an ? an?1 ,即 a n ? 两边减 2,得 a n ? 2 ?

(10 分) (11 分) (12 分)

1 a n ?1 ? 1 ( n ? 2 ). 2

(2)甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为 所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为 1 ? (3)由题意 X 的可能取值为:0,1,2,3
1 2 C3 3 33 27 27 P( X ? 0) ? 3 ? ? , P( X ? 1) ? , 3 64 64 4 4

3 5 ? . ------------------- (8 分) 8 8

1 (a n ?1 ? 2) , 2 1 所以{ an ? 2 }是以-1 为首项, 为公比的等比数列, 2 1 n ?1 故 a n ? 2 ? ?1 ? ( ) , 2 1 即 a n ? 2 ? n ?1 ( n ? N * ). 2
方法二: ①当 n=1 时,由(1)可知猜想显然成立; ②假设当 n=k 时,猜想成立,即 a k ? 2 ?
*

(13 分) (14 分)

3 C23 9 C3 1 P( X ? 2) ? 33 ? ? ,------------------------ (12 分) , P( X ? 3) ? 3 64 16 4 4

(10 分)

1 2 k ?1



(11 分)

所以 X 的分布列如下:
X P 0 1 2 3

由 S n ? 2n ? an ( n ? N ) ,得 S k ?1 ? 2(k ? 1) ? ak ?1 , S k ? 2k ? ak 两式相减,得 ak ?1 ? 2 ? ak ?1 ? ak , 所以 a k ?1 ? (12 分)

27 27 9 1 64 64 64 64 27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . -----------------(14 分) 故数学期望 EX ? 0 ? 64 64 64 64 4

1 1 1 1 a k ? 1 ? (2 ? k ?1 ) ? 1 ? 2 ? k ?1?1 , 2 2 2 2
(13 分) (14 分)

即当 n=k+1 时,猜想也成立. 根据①和②,知对任意 n ? N * ,猜想成立.

19 题: (14 分) 解: (1)因为 S n ? 2n ? an , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? N 所以,当 n ? 1 时,有 a1 ? 2 ? a1 ,解得 a1 ? 1 ? 2 ?
*

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

20 题: (14 分) 解: (1)当 a=1 时, f ( x) ? 令 f ?( x) ?

1 ; 20 3 1 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? 2 ? 2 ? a2 ,解得 a 2 ? ? 2 ? 1 ; 2 2 7 1 当 n ? 3 时,有 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 3 ? a3 ,解得 a 3 ? ? 2 ? 2 ; 4 2

1 x ?1 ? ln x , f ?( x) ? 2 , x ? ?0, e? x x

(1 分)

x ?1 ? 0 ,得 x=1. x2
(2 分) (3 分)

当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增.
6

所以 f ( x) 的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间为(1,e) , f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1 . (4 分) (2)由(1)知 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为 1. 令 h( x ) ? g ( x ) ? (5 分) (6 分) (7 分)

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , x ? ?0, e? ,所以 h ?( x) ? . 2 x 2 x2

当 x ? (0, e) 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 ?0, e?上单调递增,

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? f ( x) min . e 2 2 2 1 故在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ? . 2 a (3)假设存在实数 a,使 f ( x ) ? ? ln x ( x ? ?0, e? )有最小值-1. x a 1 x?a 因为 f ?( x) ? ? 2 ? ? , x x x2
所以 h( x) max ? h(e) ?

(8 分)

(9 分)

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ?0, e?上单调递增,此时 f ( x) 无最小值; (10 分) ②当 0 ? a ? e 时, 当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (0, a) 单调递减; 当 x ? (a, e) 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在(a,e)单调递增; 所以 f ( x) min ? f (a ) ? (11 分) (12 分)

a 1 ? ln a ? ?1 ,得 a ? 2 ,满足条件; a e

③当 a ? e 时,因为 0 ? x ? e ,所以 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 ?0, e?上单调递减.

a ? ln e ? ?1 ,得 a ? ?2e (舍去) ; e 1 综上,存在实数 a ? 2 ,使得 f ( x) 在 ?0, e?上的最小值为-1. e f ( x) min ? f (e) ?

(13 分) (14 分)

7


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