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广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中数学理试题


汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 要求的 .) 共 40 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

>
1. sin 660o 等于(
A.



3 2

B.

1 2


C. ?

1 2

D. ?

3 2

2.设 x ? R , 那么“ x ? 0 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知单位向量 i, j 满足 (2 j ? i) ? i ,则 i, j 夹角为(

??

? ?

?

??



A.

? 4

B.

? 6

C.

? 3

D.

2? 3

4.已知函数 ( )

?? ? y ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, 0 ? ? ? ? ,且此函数的图象如图所示,则点 ??,? ? 的坐标是 2? ?

A. ? 2,

? ?

??
? 4?

B. ? 2,

? ?

??
? 2? ? 2?

C. ? 4,

? ?

??
? 4?
ln x

D. ? 4,

? ?

??

5.函数 y ? e

? x ? 1 的图象大致是(



? x ? y ?1 ? 0 ? 6.已知 x , y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若 a ? ( x, ?2) , b ? (1, y ) ,则 z ? a ? b 的最大值是 ?x ? 4 y ?1 ? 0 ?
( )

A. ?1

B. 5

C. ?

7.若函数 f ? x ? 的零点与函数 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 ,则 f ? x ? 可以是 ( ) B. f ? x ? ? ln ? x ?

5 2

D. 7

A. f ? x ? ? ex ?1

? ?

1? ? C. f ? x ? ? 4x ?1 2?

D. f ? x ? ? ( x ?1)2

8.对于下列命题:①在△ABC 中,若 sin2A ? sin2B ,则△ABC 为等腰三角形;②已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,若 a ? 2 ,b ? 5 , A ?
? ?

?
6

,则△ABC 有两组解;③设 a ? sin
??
?

2012? 2012? 2012? ,b ? cos , c ? tan , 3 3 3

则 a ? b ? c ;④将函数 y ? 2sin ? 3x ? ? 图象向左平移 6 确命 题的个数是( A. 0 ) B. 1

? ? 个单位,得到函数 y ? 2cos ? 3x ? ? 图象。其中正 ? ? 6 6? ?

C. 2
第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分)

D. 3

二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

9.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?1, 0 ? , c ? ? 3, 4 ? .若 ? 为实数, a ? ? b // c ,则 ? ? 10.设 ? ? (0,

?

?

?

?

?

?

?

?



?
2

), 且函数 y ? (sin ? ) x

2

?6 x ?5

的最大值为 16,则 ? ?

。 。

11.已知 sin?? ?

? ?

??

2? ? 4 3 ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? , 则 cos? ? ? ?? ? ? sin ? ? ? 3 ? 3? 5 ? 2 ? ?

12.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?

? 5 2 ,A? , 4 3


则 cos B ?



13.若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 14.函数 f ( x ) ?

x2 ? x4 .给出函数 f ( x ) 下列性质:①函数的定义域和值域均为 ??1,1? ;②函数的 x?2 ?2

图像关于原点成中心对称; ③函数在定义域上单调递增; ④ ⑤ A 、 B 为函数 f ( x ) 图象上任意不同两点,则 描述的序号 15. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x | | x ? a |? 2? , B ? ? x | (Ⅰ)求集合 A 和集合 B ; (Ⅱ)若 A ? B ? R ,求 a 的取值范围。 。

?

A

f (x)dx ? 0(其中 A 为函数的定义域) ;

2< AB ? 2 。请写出所有关于函数 f ( x) 性质正确

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

? ?

2x ? 6 ? ? 1? . x?2 ?

16. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系中, 已知 A ( cos x , x ) ,B (1, , 为坐标原点, ? OB ? OC ,f ( x) ? | OC |2 . 1) O OA sin (Ⅰ)求 f ? x ? 的对称中心的坐标及其在区间 ? ?? ,0? 上的单调递减区间; (Ⅱ)若 f ? x0 ? ? 3 ? 2 , x0 ? ? 17. (本小题满分 14 分)zxxk
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

? ? 3? ? ,求 tan x0 的值。 , ?2 4 ? ?
1 , x ? R. 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ )设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a , b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin 值. 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

2sin ? A ?C ? ?

A ,求 a , b 的

1 3 x ? ?a ? 6?x ? ?4 ? 2a ? ln x , g ?x? ? ? x 2 ? 2x ? b 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对 ?x1 , x2 ? ?0,??? ,都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)若 f ?x ? 在 ?0, m? , ?n,??? 上单调递增,在 ?m, n? 上单调递减,求实数 a 的取值范围。 19. (本小题满分 14 分) 如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 (ABCD) 的池底水 平铺设污水净化管道 ( Rt? FHE , H 是直角顶点)来处理污水, 管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的 中 点 , E, F 分 别 落 在 线 段 BC, AD 上 。 已 知 AB ? 20 米 ,

D F

C E

A

H

θ

B

AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? 。
(Ⅰ )试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (Ⅱ )若 sin ? ? cos ? ?

3 ?1 ,求此时管道的长度 L ; 2

(Ⅲ )问:当 ? 取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度。 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

4x ? a 的单调递增区间为 ?m, n? , 1 ? x2

(Ⅰ )求证: f (m) f (n) ? ?4 ; (Ⅱ )当 n ? m 取最小值时,点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )(a ? x1 ? x2 ? n) 是函数 f ( x ) 图象上的两点,若存 在 x0 使得 f ( x0 ) ?
'

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求证: x1 ? x0 ? x2 x2 ? x1

汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 参考答案
一、选择题(40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

D
? 6
11.

A
4 5

C
12.

A

D

B

C
14.②④

C

二、填空题(30 分) 9.

1 2

10.

2 2 3

13. ? ??, ?3? ? ?3, ???

三、解答题(80 分) 1 5. 解: (Ⅰ)由 | x ? a |? 2 ,得 a ? 2 ? x ? a ? 2 ,即 A ? ( a ? 2, a ? 2)…… …………… 3 分 由

2x ? 6 x?4 ?1? ? 0 ? x ? ?4 或 x ? ?2 , x?2 x?2

即 B ? (??, ?4) ? (?2, ??) ……… ………………………………………………………………6 分

(Ⅱ) A ? B ? R ? ?

?a ? 2 ? ?4 ? ?4 ? a ? ?2 , ?a ? 2 ? ?2

? a 的取值范围是 ?4 ? a ? ?2 …………………………………………………………………12 分 ??? ? ??? ? 16.解:?OA ? (cos x , x) , OB ? (1, , sin 1)
则 OC ? OA ? OB

??? ?

??? ??? ? ?

? (1 ? cos x ,? sin x) … … … … … … … … … … … … … 2 1



? f ( x) ?| OC |2 ? (1 ? cos x)2 ? (1 ? sin x)2
? 3 ? 2(sin x ? cos x) ? 3 ? 2 2 sin( x ? ) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 4 ? ? ? 3) (Ⅰ)由 x ? ? k? ,k ? Z ,即 x ? k? ? ,k ? Z ?对称中心是 (k? ? , ,k ? Z 4 4 4 ? ? 3? ? 5? ,k ? Z 时 f ( x) 单调递减,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ,k ? Z 当 2 k? ? ? x ? ? 2 k? ? 2 4 2 4 4 ? 5? ] k ? Z ………………………………………6 分 ? f ( x) 的 单 调 递 减 是 [ 2k? ? ,2k? ? 4 4

??? ?

?

3? ? ? f ( x) 在区间 ? ?? ,0? 上的单调递减区间为 ? ?? , ? ? .………………………………………8 分 4? ?
? 1 ) ? 3 ? 2 ? sin( x0 ? ) ? 4 2 ? 3? ? 3? ? 5? 7? ……………………………………10 分 ? x0 ? [ , ],? x0 + ? [ , ? ] ? x0 + = 即x0 = 2 4 4 4 4 6 12
(Ⅱ) ? f ( x0 ) ? 3 ? 2 2sin( x0 ?

?

4

? tan x0 ? tan

7? ?? ? ? ? tan ? ? ? ? ?2 ? 3 。…………………………………………………12 分 12 ?3 4?

1 7 . 解 : Ⅰ ) f ( x) ? (

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 … … … … … … … … … … 2 分 2 2 2 6
2? ? ? ……………………………………………4 分 2

则 f ( x ) 的最大值为 0,最 小正周期是 T ? (Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

?

) ? 1 ? 0 则 sin(2C ? ) ? 1 6 6

?

? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ??
? 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11 ? 6

?
6

?

?
2

?C ?

?
3

……………………………………………………………………………6 分

?sin( A ? C ) ? 2sin A 由 正 弦 定 理 得

a 1 ? ① … … … … … … … … … … … 9 分 b 2

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

即 a ? b ? ab ? 9 ②……………………………………………………………………………12 分
2 2

由①②解得 a ? 3 , b ? 2 3 …………………………………………………………………14 分 18.解: (Ⅰ) f (x) 定义域为 (0,??) 当 a ? 2 时, f ( x) ?

1 3 x ? 4 x , f ' ( x) ? x 2 ? 4 ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?2 (舍) 3

x
f ' ( x) f (x)

(0,2) ↘

2 0

(2,??)
+ ↗

∴ f (x) 的递减区间为(0,2) ,递增区间为 (2,??) …………………………………………4 分 (Ⅱ)∵ ?x1 , x2 ? (0,??) 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 ∴ g ( x) max ? f ( x) min ………………………………………………………………………………5 分

16 3 2 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? b , g ( x) max ? g (1) ? 1 ? b … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分 16 19 ∴1? b ? ? ,∴ b ? ? ……………… ………………………………… ………………… 8 分 3 3 4 ? 2a x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a 2 ? (Ⅲ) f ?( x) ? x ? (a ? 6) ? …………………………………9 分 x x 由条件知 m, n 恰为 f ?( x) ? 0 的两个不相等正根,
由(Ⅰ)知 f ( x) min ? f (2) ? ? 即 x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? 0 恰有两个不相等正根,……………………………………………10 分
3 3 对于方程 a( x ? 2) ? x ? 6x ? 4 ? 0 显然 x ? 2 是方程的一个解,……………………………11 分 2 2 当 x ? 2 时, a ? ? x ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1) ? 3 ( x ? 0 且 x ? 2 )
2 当 x ? 0 时, ? x ? 2 x ? 2 ? 2

当 x ? 2 时, ? x ? 2 x ? 2 ? ?6 …………………………………………………………………13 分 ∴ a ? 2 且 a ? ?6 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 4 分
2

19.解: (Ⅰ) EH ?

10 10 10 , FH ? , EF ? sin? cos? cos ? sin ?
10 ? ? 3 ? 10 3 , ? tan ? ? 3 , ? ? [ , ] 。 … … 3 分 tan ? 6 3 3

由 于 BE ? 10? tan ? 10 3 AF ? , ? 所以 L ?

? ? 10 10 10 , ? ? [ , ] ………………………………………………5 分 ? ? 6 3 cos? sin ? sin ? cos ? ? 3 ?1 3 (Ⅱ) sin ? ? cos ? ? 时, sin? cos? ? , L ? 20( 3 ? 1) ;…………………………10 分 2 4

10 (Ⅲ) L ? 10 ? 10 ? = 10 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? ,设 sin ? ? cos ? ? t , ? ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?

则 sin ? ? cos ? ?

? ? t 2 ?1 ,由于 ? ? [ , ] , 6 3 2
在[

20 所以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ? ) ? [ 3 ? 1 , 2] , L ? t ?1 4 2
于是当 t ? 答:当 ? ?

2 时? ?

?

3 ?1 , 2] 内单调递减, 2

?
4

4

. L 的最小值 20( 2 ? 1) 米……………………………………………13 分

时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为 20( 2 ? 1) 米………………14 分

20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

?4 x 2 ? 2ax ? 4 ……………………………………………………………2 分 (1 ? x 2 )2

a ? ?m ? n ? ? 依题意 m, n 是方程 ?4 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根有: ? 2 ………………………………4 分 ?mn ? ?1 ?
2

4m ? a 4n ? a 16mn ? 4a(m ? n) ? a 2 ?(16 ? a 2 ) f ( m) f ( n ) ? ? ? ? ? ?4 … … … … … 6 分 a2 1 ? m2 1 ? n 2 (mn 2 ) ? (m ? n) 2 ? 2mn ? 1 ?4 4
(Ⅱ)? n ? m ? (m ? n)2 ? 4mn ?

a2 ?4 ?2 4

?n ? m 取最小值时, a ? 0, n ? 1, m ? ?1 ,……………………………………………………7 分
? f ? x ? 在 ??1,1? 上是增函数,?0 ? x1 ? x2 ? 1,
? f ' ? x0 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0 ,从而 x0 ?? ?1,1? ………………………………………………8 分 x2 ? x1

?1 ? x ? ?1 ? x ? ? 1 ? x x 即 ?1 ? x ? ?1 ? x ??1 ? x ?
2 2 0 2 0 1 2 2 2 0 2 1 2 2

f ?( x0 ) ?

2 4 ?1 ? x0 ?

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? 4 ?1 ? x1 x2 ? ? x2 ? x1 ?1 ? x12 ??1 ? x22 ?

2 2 2 ?(1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? x12 x2 ? x12 ? x2 ?1 ? ( x1x2 )2 ? 2x1x2 ?1 ? (1 ? x1x2 )2

?1 ? x0

1 ? x0 2

2 2

?

?

1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? ?1 ? x12 ??1 ? x22 ? ?1 ? x1x2 ?2

… … … … … … … … … … 1 0



? x ? 1? ? 2 ,故当 考虑函数 g ? x ? ? ,因 g ? x ? ? x ? ? 0,1? 时,有 g ' ? x ? ? 0 , 4 2 ?1 ? x ? ?1 ? x ?
1? x
2 '

所以 g ( x ) 是 (0,1) 上是减函数.
2 2 ? 由 g ( x0 ) ? g ( x1x2 ) , 得 x0 ? x1x2 ? x12 . ? x0 ? x1. … … … … … … … … … … … … 1 2 分
2 1 ? x0 1 ? x1 x2 由 及 0 ? 1 ? x02 ? 1 ? x1 x2 得 ? 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )

?1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ? ? ?1 ? x ? 故1? x
2 2 0 2 1 2 2 2 2 2

2

0

? 1 ? x22 ,即 x0 ? x2 .

? x1 ? x0 ? x2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 4 分


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