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高中数学二轮思维提升能力拓展专题研究性讲义


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专题Ⅰ 集合、常用逻辑用语中相关问题的再研究

【易错题】
1.(教 L1 例 2)用列举法表示 A ? ? x x ? N ,

? ?

? 6 ? Z ? ? _________ 3? x ?

2.(教 L2 基 7)集合 M ? x 0 ? ax ? 1 ? 3 , N ? x - 1 ? x ? 4 ,若 M ? N ? N ,则 实数 a 的取值范围是_____________
2 2 3.(教 L2 例 3)已知集合 A ? x x - mx ? m - 7 ? 0 , B ? x x 2 - 3x ? 2 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

C ? x x 2 ? 4 x - 5 ? 0 满足 A ? B ? ? 且 A ? C ? ? ,则实数 m ? _____
4.(2011 届高三苏州期末考试 19 题改编)不等式

?

?

1 1 ? 的解集为______ m 4

5.(教 L3 基 6 改编)命题“ ?x ? 1, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定为____________

k ? 2x 6.(教 L3 基 8 改编)函数 g ( x) ? 为奇函数,则实数 k 的取值集合为______ 1? k ? 2x
7.(同心圆梦 3)满足 A ? B ? ? 1,2?的集合 A, B 共_________组;满足集合关系

A1 ? A2 ? A3 ? ?? An ? ?a1 , a2 , a3 ,?, ak ?(n ? N * ) 的集合 A1 ,?, An 共有_______组
8.(三角形中的充要关系的判断)在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的____________ 条 件 ; 在 ?A B C 中 , A ? B 是 cos A ? cos B 的 ___________ 条 件 ; 在 ?A B C 中 ,

s i nA ? co sB 是 ?ABC 为锐角三角形的____________条件

【专题研究、方法梳理】
专题 1:整数型(整除性)问题研究 类型 1:方程型的整数型(整除性)问题

1

2

x ? 1 ,其中 n ? N ,且 3 ? n ? 2012 ,在其二项展开式 x 中,若存在连续三项的二项式 系数成等差数列,问这样的 n 共有多少个? ...
引例 1(理科做) :已知二项式
5

?

?

n

引例 2:已知 Tn ?

1 1 (1 ? ) ,问是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm, 3 3n ? 1

Tn 成等比数列?若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说明理由?

类型 2:不等型的整数型(整除性)问题 引例 3:已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 2
n?2

, S n 是其前 n 项的和,问是否存在正整数

m, n ,使得

Sn ? m 2m 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 ?m, n? ;若 ? Sn?1 ? m 2m ? 1

不存在,请说明理由.

练习: 1.已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,等比数列 {bn } 的公比 q 为小于 1 的正有理数。若

a1 ? d , b1 ? d 2 ,且

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 ________ b1 ? b2 ? b3

2. m∈N,若函数 f ( x) ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则 m 的取值集合为 ____

2

3

3. 函数 f ( x) ? ax2 ? 2(a ? 3) x ? a ? 2 中, a 为负整数,则使函数至少有一个整数零点的 所有的 a 值的和为______________ 4. 设 a , b 均为大于 1 的自然数, 函数 f ( x) ? a(b ? sin x), g ( x) ? b ? cos x , 若存在实数 m 使得 f (m) ? g (m) ,则 a ? b ? _____ 触题生情:求函数 y ?

sin x ? 1 的值域.(有几种方法?哪种方法能体现本题的原型?) cos x ? 3

问题源头分析:不定方程问题. 【高考试题背景探源】 (2012 年江苏 20)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:
2 ? bn ?? bn ? ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an ?1 ? , n?N . an a an 2 ? bn 2 ? ?? n ? ? ?

an ? bn

?

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

5. 各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 , 则 q 的所有可能的值构成的集合为 __ 专题 2:集合与不等式恒成立(有解)的问题研究 引例:已知集合 A ? x|x2 ? 5x ? 4 ≤0 ,集合 B ? x | x2 ? 2ax ? a ? 2 ≤0

?

?

?

?

(1)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围;

3

4

总结:不等式恒成立问题的相关转换策略,请分析下列恒成立的等价条件: 1. f ( x ) = a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 ab ? 0,有 f ( x) ? f ( ) 对一切 x ? R 恒成立;

?

6

2. 函数 f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

) ,对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立;

3. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) ,若 f ( x) 在区间 ?? ?, 的 x1 , x2 ? ?1, a ? 1?,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ; 4. 已知函数 f ( x) ? x ?

2? 上是减函数,且对任意

1 ?1 ? ? a 2 , g ( x) ? x 3 ? a 3 ? 2a ? 1 , 若存在 x1 , x2 ? ? , a ?(a. ? 1) , x ?a ?

使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 9 ;

1 5. 已知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( ) x ? m ,若对 ? x1 ? ? ?1,3? , ? x2 ? ?0, 2? , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ; 2
6. 函 数 f ?x? ? x 2 ? 4x ? 3, g ?x? ? mx ? 5 ? 2m , 若 对 任 意 的 x1 ? ?1,4? , 总 存 在

x2 ? ?1,4?,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立;
7. 上题条件改为“若存在 x1 ? ?1,4? ,总存在 x 2 ? ?1,4?,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立”呢? 8. 函数 f ( x ) ?

4x ? k ? 2x ? 1 ,若对于任意的 x1、x2、x3 ,均存在以 f ( x1 )、f ( x2 )、f ( x3 ) 4x ? 2x ? 1

为三边长的三角形. 练习:已知函数 f ( x) 定义在区间[a, b]上,设“ min ? f ( x) | x ? D? ”为函数 f ( x) 在集合 D 上 最小值, “ max ? f ( x) | x ? D? ”为函数 f ( x) 在集合 D 上最大值.设 f1 ( x) ? min? f (t ) | a ? t ? x? , ( x ? [a, b] ) ; f 2 ( x) ? max ? f (t ) | a ? t ? x? , ( x ? [a, b] ) . 若 存 在 最 小 正 整 数 k , 使 得
f 2 ( x) ? f 1 ( x) ? k ( x ? a) 对任意的 x ? [a, b] 成立,则称函数 f ( x) 为区间 [ a, b] 上的“第 k 类

压缩函数” . (Ⅰ)若函数 f ( x) ? x3 ? 2x 2 ? 3 , x ? [0,2] ,试写出 f 1 ( x) 、 f 2 ( x ) 的解析式;
4

5

(Ⅱ) 若 m>0, 函数 g ( x) ? x 3 ? 3mx2 是 ?0,3m ? 上 “第 3 类压缩函数” , 求实数 m 的取值范围.

专题 3:一类集合交集非空问题研究 引例: (教 L2 例 4)集合 A ? ? x y ? 1 ?

? ? ? ?

2x ? 1 ? ? ? , B ? ?x [ x ? (a ? 1)][x ? (a ? 4)] ? 0? x ?1 ? ?
m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R? , 2

若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________ 变式 1: (2011 年江苏 14)设集合 A ? ?( x, y) |

B ? ?( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1 , x, y ? R? ,若 A B ? ? ,实数 m 范围是_________
| ( x ? 1) ? y ? } , B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 变式 2:设 A ? {( x, y)
2 2

1 9

若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是___________. 专题 4:两组数列元素所成集合的交并集合的元素问题研究 引例 1:两个集合 A ? ??3,0,3,6,

, a100? 和 B ? ?15,19,23,27,

, b100? 都各有 100 个元

素, 且每个集合中元素从小到大都组成等差数列, 则集合 A

B 中元素的最大值为_______

引例 2:设数列{an}的通项公式为 an ? 2n ? 1 为数列{bn}的通项公式为 bn=3n-2.集合 A ={x∣ x=an,n∈ N*},B={x∣ x=bn,n∈ N*}.将集合 A∪ B 中的元素从小到大依次排列, 构成数列 c1,c2,c3 , …,则{cn}的通项公式为___________
5

6

专题 5:数列隔项成等差(等比)数列问题研究 引例 1: (教 L4 例 2)已知数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? N * ) ,求证:数列 {an } 为等差数列的充要条件是 a1 ? 1 拓展:若数列 {an ? an?1}为公差为 d 的等差数列,试探究数列 {an } 为等差数列的充要条 件,并加以证明. 引例 2:已知正项数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 2 2n?1 (n ? N * ) ,求证:数列 {an } 为等比数列 的充要条件是 a1 ? 2 . 拓展:若正项数列 {an } 满足:数列 {an ? an?1} 为公比为 q 的等比数列,试探究数列 {an } 为 等比数列的充要条件,并加以证明. 练习: 数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , 则 {a n } 的前 60 项和为______;S 4n ? ____ 专题 6:复合函数的零点问题研究 引例 1: (教 L4 例 4)已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? q ,集合 A ? x f ( x) ? 0, x ? R ,

?

?

B ? ?x f ( f ( x)) ? 0, x ? R?. 若 B 为单元素集,试求 q 的值.
引例 2:已知 c ? 0 ,函数 f ( x) ? ?cx 2 ? cx , g ( x) ? x 3 ? cx 2 ? cx ,如果函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( f ( x)) 有相同的零点,试求实数 c 的取值范围.

【高考试题背景探源】 (2012 年江苏高考)已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数
c ,其中 c ? [?2 , 2] ,求函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h(x) ? f ( f (x)) ? y ? h( x) 的零点个数.
6

7

练习:

?1 ? ? 1, x ? 0 , 方程 ? f ( x)?2 ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个根的充要条件是____ 1. 函数 f ( x) ? ? x ?0, x ? 0 ?
2. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;② 存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同 的实根;③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根.其中真命题的序号为_________ 3. (2007 年江苏高考 20)已知 a, b, c, d 是不全为零的实数,函数 f ( x) ? bx ? cx ? d ,
2

) g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,方程 f(x)=0 有实根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f(x) =0 的根,反之,g(f(x) )=0 的实数根都是 f(x)=0 的根.(1)求 d 的值; (2)若 a=0, 求 c 的取值范围.

专题Ⅱ 函数中相关问题的再研究
本专题的认知地图,游览完本景点,你应该能够处理下列问题: 1. 含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次问题 2. 简单的复合函数、含分式的复合函数、含根式的复合函数、多元变量函数的值域 和最值问题; 3. 恒成立问题中参数范围的局部缩小策略 4. 函数型方程(不等式)常见求解策略 5. 常见的八类非基本初等函数的问题研究 八类函数分别是:尖底、平底型折线函数、 f ( x) ? x ?

c 型函数、牛顿三叉函 x

数、可化为二次函数的绝对值型的复合函数、对数与绝对值函数的复合函数、 指数与绝对值函数的复合函数、对数与双曲线型函数的复合函数、对数与二次
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8

函数的复合函数 6. 二次函数的零点分布问题、最值问题 7. 高中数学中具有将指数下移功能的运算方式问题 8. 函数与方程有三种等价语言的转化问题

【易错题】
1.(教 L6 练 7)已知函数 f ( x) 的定义域为 ?a, b ? ,值域为 ?c, d ? ,则 f (?2 x ? 1) 的定义域 为___________;值域为_______________
2 2. (教 L6 练 8) 已知函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? x ? x 的图像关于点 ?? 2,3? 对称, 则 f ( x)

的解析式为______________ 3.(教 L7 基 8)函数 y ? x ( x ? 2) 的值域为________;函数 y ? 2 的值域为_________;
2

1 x

函数 y ?

xa x ( 0 ? a ? 1 )的值域为__________; y ? log2 4 ? 2 x 的值域是________ x
2x ? 3 的单调增区间为______________ x ?1

4.(教 L8 基 6 改编)函数 y ? 已知函数 y ?

ax ? 3 在区间 ?? ?,?1? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是_________ x ?1

5.(教 L9 例 3)设 ?a, b ? 为函数 y ? f ( x) 的对称中心,则必有恒等式_________________ 根据上述结论,写出函数 f ( x) ? x ? sin(x ? 3) 的一个对称中心为________ 6.(双对称性问题)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x - 4) ? - f ( x) , 且在区间 ?0,2? 上是增函数 . 若方程 f ( x) ? m(m ? 0) 在区间 ?- 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? __________ __

8

9

?a x ?5 , x ? 6 ? 7.(教 L9 练 5)已知函数 f ( x) ? ? , 若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,则 a ( 4 ? ) x ? 4 , x ? 6 ? 2 ?
实数 a 的取值范围是__________

?a n ?5 , n ? 6 ? 变式 1:已知数列 ? f (n)?是单调递增数列,且通项公式为 f (n) ? ? , a ?(4 ? )n ? 4, n ? 6 2 ?
则实数 a 的取值范围是___________

变式 2: 函数 f(x)= ?

?(3a ? 1) x ? 4a ( x ? 1) 在 R 不是单调函数 , 则实数 a 的取值范围是 __ ...... ( x ? 1) ? log a x

变式 3:函数 f ( x) ? ?

2 2 ? ?k x ? k (1 ? a ), x ? 0 ,其中 a ? R . 若对任意的非零实 2 2 2 ? x ? ( a ? 4 a ) x ? ( 3 ? a ) , x ? 0 ?

数 x1 ,存在唯一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则 k 的取值范围为_____ 变式 4:已知函数 f(x)= ?

?(2a ?1) x ? 3a ? 4, x ? t ,无论 t 取何值,函数 f(x)在区间(-∞,+∞) x 3 ? x, x ? t ?

总是不单调.则 a 的取值范围是 8.(教 L12 例 3)已知函数 范围是__________ 9. (教 L14 基 3)已知函数 y ? f ( x) 是定义在 ?a, b? 上的单调函数,若 f (a) f (b) ? 0 , 则函数 f ( x) 的零点个数为___________ 10. 抽象函数虽然抽象,但总能从我们所学的基本初等函数中找到一个具体函数支撑抽象 性质,请各找出一个满足下列条件的基本初等函数:
9

y ? loga (ax2 ? x) 在区间 ? 1 ,1? 上是增函数,则实数 a 的取值 ? ?2 ? ?

10

(1) f (m ? x) ? f (m ? x) _________; (2) f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) _______ 11.(教 L16 练 4) 已知偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? 则 f (?0,5) ? _______ 12.求 F (a, b) ? (a ? b) 2 ? (e a ? eb ? b) 2 的最小值为_________(注重对结构的认知) 拓展 1:已知 a, b ? R 满足 (a ? 1 ? a 2 )(b ? 1 ? b2 ) ? 1, 则 a ? b 的最大值为________ 拓展 2:设 x , y 为实数,且满足关系式 ?
3 ? ( x ? 1) ? ?1 ?( x ? 1) ? 2011 ,则 x ? y ? ____ 3 ? ( y ? 1 ) ? 2011 ( y ? 1 ) ? 1 ?

1 , 当 2 ? x ? 3 时,f ( x) ? x ? 1 f ( x)

【专题研究、方法梳理】
专题 1:含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次研究 引例 1: (教 L6 练 9) 函数 y ? 3x 2 (?1 ? x ? 1) 的图像上有 A, B 两点, 且 x A ? x B , AB // x 轴,点 C (2, m) ,其中 m ? 3 , (1)试写出用点 B 的横坐标 t 表示 ?ABC 面积 S 的函数解 析式 S ? f (t ) ; (2)记 S 的最大值为 g (m), 求 g ( m)

练习:已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? bx ,且 f '(1) ? 0 2

(1) 试用含有 a 的式子表示 b ; (2)求 f ( x) 的单调区间

专题 2:简单的复合、含分式的复合、含根式的复合、多元变量函数的值域和最值问题 第 I 类:简单的复合函数
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引例 1: y ? 1 ? 4 ? x 2 ; y ? log2 (4 ? x 2 ) ; y ? 4 x ? 2 x ? 1 ; y ? sin 2 x ? sin x ? 1 第 II 类:带分式的复合函数(换元、部分分式法、反解(判别式法) 、公式法) 引例 2:直接写出函数 y ?

1 ? 2x 的值域为____________,曲线的对称中心为________; 1 ? 3x

若添加条件 x ? ?0,1? ,则值域为________; 根据以上结论直接写出函数的值域:y ?

1 ? 2 sin x 1? 2 x ? ?? ( x ? ?0, ?) ;y ? ( x ? ?0,1?) 1 ? 3 sin x 1? 3 x ? 2?

x2 ? 3 引例 3:求函数 y ? 的值域 x ?1
变式:求函数 y ? 变式:求函数 y ?

x ?1 的值域 x2 ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? ?? ( x ? ?0, ? )的值域 sin x cos x ? 2?

引例 4:求函数 y ?

5x 2 ? 8x ? 5 的值域 x2 ?1

第 III 类:带根式的复合函数 引例 5:求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域; 思考:根式函数 y ? Ax ? B ? Cx ? D ( AC ? 0) 的值域如何研究? 引例 5:求函数 f ( x) ?

x ? 1 ? 1 ? 2x 的值域;

变式 1:求函数 f ( x) ? x 1 ? 2x 的值域; 变式 2:求函数 y ?

x ? 1 ? 3 ? x 的值域;

变式 3:求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x 2 的值域; 变式 4:求函数 y ?

x ? 4 ? 15 ? 3x 的值域;
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思考:一般地,求函数 y ?

Ax ? B ? Cx ? D (其中 AC ? 0 )的值域如何研究?

第 IV 类:构造法求函数的值域问题 引例 6:求函数 f ( x) ?

x3 ? x 的值域是__________ ( x 2 ? 1) 2

探究拓展:多元函数的最值问题研究 1.设实数 n ? 6 , 若不等式 2 xm ? (2 ? x)n ? 8 ? 0 对任意 x ? ?? 4,2? 都成立, 则 最小值为 ____

m4 ? n4 的 m3n

2.已知点 P( x, y ) 到原点的距离为 1,则

x? y?2 的最大值为____________ x? y?2

3. F (a, ? ) ?

a 2 ? 2a sin ? ? 2 ,对于任意实数 a, ? , F (a,? ) 的最大值为__________ a 2 ? 2a cos? ? 2

4. 已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c≥0 (a ? b) 的 解 集 为 R , 则
M ? a ? 2b ? 4c 的最小值是 b?a

_____

专题 3:恒成立问题中参数范围的局部缩小策略 引例 1: (教 L7 例 4)若函数 f ( x) ? a ? 求实数 a 的取值范围.

1 的定义域与值域均为区间 ?m, n ? ( m ? n ) , x

2 x 引例 2: 已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e , 其中 e 是自然数的底数,a ? R .若 f ( x ) 在 ?? 1,1? 上

是单调增函数,则 a 的取值范围为____________
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练习: 1. 设 a∈ R,若 x > 0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=_______

2. f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a = 1 1 3. 设 f(x)奇函数,当 x ≥ 0 时, f(x)=2x-x 2,若函数 f(x)(x∈ [a,b])的值域为[ , ],则 b b a 的最小值为_________ ,实数 a 的取值集合为___________ 专题 4:函数型方程(不等式)的常见求解策略 引例 1: (天津高考) 已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是_______________ 引例 2:实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? 练习:
?x2+1,x?0 1.函数 f(x)=? ,则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是______ ?1 ,x<0
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 , 若 f ( 2 ? a 2 ) ? f ( a) , 则实数 a 的 2 ? 2 x ? x , x ? 0 ?

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a = ?? x ? 2a, x ? 1

__

变式:函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 , 则满足不等式 f (2a ? 3) ? f (2 ? a) 的 a 的范围是____ ?2, x ? 0

1 ? a?? ?a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? 1 2.已知 g (a) ? ?? a ? , ? ? a ? ? ,求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a 2a 2 2 ? ? 2 a?? ? 2 2 ?

专题 5:八类常见非基本初等函数的问题研究
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函数模型一:尖底、平底型折线函数

f ( x) ? x ? a1 ? x ? a2 ? ??? x ? an (a1 ? a2 ? ?? ? an ) (且 ?an ? 是等差数列)
它的图像是什么?一定是轴对称图像吗?若是,对称轴是什么?最小值何时取得?

引例 1:函数 f ( x) ?

? x ? n 的最小值为__________
i ?1

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引例 2:设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值为________ 练习: f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ( x ? R) , 且 f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是__________ 变式:下列命题中真命题的序号是 _. (1) f ( x ) 是偶函数;

(2) f ( x ) 在 ? 0, ??? 上是增函数; (3)不等式 f ( x) ? 2010 ? 2011 的解集为 ? ; (4)方程 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) 有无数个实数解 拓展:已知函数 f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+?+|100x-1|,则当 x= 函数模型二: f ( x) ? x ? 函数 f ( x) ? x ? 时,f(x)取得最小值.

c 型函数 x

c 的图像和性质如何研究? x c ? ?? ,若对任意的 x ? N * ,都有 f ( x) ? f (2) , 引例:函数 f ( x) ? x ? 的定义域是 ?0, x
则实数 c 的取值范围是__________ a 练习:已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈ R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围是______ e 函数模型三:牛顿三叉曲线

y ? x2 ?

a (a ? 0) 称为牛顿三叉曲线.运用数学方法,总结“牛顿三叉”函数的图像和性质 x
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练习: 1.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

a 在 ?2,??? 上为增函数,则 a 的取值范围为 x

变式:若条件改为①?? ?,?2?上为减;②?? 2,0? 上为增;③(0,2) 上为减,结论分别如何? 2.已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图像以原点为顶点, 且过点 (1,1) , 反比例函数 y ? f 2 ( x) 的 图像与 y ? x 的两个交点间的距离为 8, f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 。试判断当 a ? 3 时,关于

x 的方程 f ( x) ? f (a) 的实数解的个数为
函数模型四:可化为二次函数的绝对值型复合函数 引例 1:已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,请说明理由; (2)求函数 f ( x) 在区间 ?1,2? 上的最小值; (3)设 a ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m, n 的取 值范围. (只要写出结果,不需要写出解题过程)
2 思考:已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a .求函数 y ? f ( x) 在区间[1,2]上的最小值.

练习: 1. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? ax ( x ? R) 有最小值,则实常数 a 的取值范围是 变式:函数 f ( x) ? x ? a x ? 1 在 ?0,??? 上有最大值,则实数 a 的取值范围是___
2 2. 已知函数 f ( x ) ? x x ? 3 , x ? ?0, m? ,其中 m ? R ,且 m ? 0 .

(1)如果函数 f ( x) 的值域是 ?0,2? ,则实数 m 的取值范围为___________;
2 (2)如果函数 f ( x) 的值域是 0, ?m ,实数 ? 的最小值为_________

?

?

15

16

函数模型五:对数和绝对值函数的复合型函数 引例:已知函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| , g ( x) ? x | x ? a | ?2 ? 2ln 2, a ? 0 . (Ⅰ )当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值;

3 a, x ? [1, ??) 恒成立,求 a 的取值范围; 2 (Ⅲ ) 对任意 x1 ? [1, ??) ,总存在惟一的 ...x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值
(Ⅱ )若 f ( x) ? 范围.

函数模型六:指数和绝对值函数的复合型函数 引例: (2008 江苏卷 20)若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?
x? p1

, f 2 ( x) ? 2 ? 3

x? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? ? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ?

(Ⅰ )求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (Ⅱ )设 a , b 为两实数,a ? b 且 p1 , p2 ? a, b ? ,若 f ? a ? ? f ?b ? .求证: f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为

b?a (闭区间 ?m, n? 的长度定义为 n ? m ) 2

16

17

函数模型七:对数与双曲线型函数的复合型函数 引例:设 f ( x ) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x ) .如果存在实数 a 和函数

h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则
称函数 f ( x ) 具有性质 P ( a ) .(1)设函数 f ( x ) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数 x ?1

(i)求证:函数 f ( x ) 具有性质 P (b) ; (ii)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P (2) .给定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,
若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围.
17

18

1 4 思考: (1)由题定义,给出下列四个函数:① f(x)= x3-x2+x+1;② f(x)=lnx+ ; 3 x+1 ③ f(x)=(x2-4x+5)ex;④ f(x)= x2+x ,其中具有性质 P(2)的函数是 ____ 2x+1

(2)已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 ? x 2 , ? ? -1 , ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ?

??

x 2 ? ?x1 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? ) ? f (? ) ,则 ? 的取值范围为_____________ 1? ?

函数模型八:对数与二次函数的复合型函数 引例:已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? 2 ln x(a ? 0) ,且 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值. (1)试找出 a,b 的关系式;

1 2 1 (3)求函数 f ( x) 在 x ? (0, ] 的图像上任意一点处的切线斜率 k 的最大值 2
(2)若函数 f ( x) 在 x ? (0, ] 上不是单调函数,求 a 的取值范围;

18

19

专题 6:二次函数的系列问题研究 问题 1:二次函数的零点分布问题 引例 1: 二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a , 方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 (1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与

1 的大小.并说明理由 16

, 引例 2:已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ ?11]
上有零点,求 a 的取值范围

练习: 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3 , 函数 g ( x) ? ax ? 2a , 若存在 x0 ? R , 使得 f ( x0 ) ? 0 与
2

g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是____________
2 变 式 : 设 函 数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3 , 函 数 g ( x) ? x ? a , 若 不 存 在 x0 ? R , 使 得

f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是_______
问题 2:二次函数的最值问题 引例: (2009 年江苏高考)设 a 为实数,函数 (1)若

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

(2)求 f ( x) 的最小值; f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; 不等式 h( x) ? 1 的解集. f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 ....

(3)设函数 h( x) ?

19

20

解法思考:第(2) 、 (3)问有没有其他解法? 对第(2)问解法的思考与拓展(双最值问题) : 1. 任意两个实数 a , b 定义运算“ ? ”如下: a ? b ? ?

?a , a ? b ,函数 ?b , a ? b

f ( x) ? x2 ?[(6 ? x) ? (2 x ? 15)] 的最大值.
2. 设 a ? 0, b ? 0 , h ? min{a, 数, 则 h 的最大值为 .

b } ,其中 min{x, y} 表示 x, y 两数中最小的一个 a ? b2
2

1 a ?1 ? b, c 均为正实数,记 M ? max ? ? b , ? bc , ? c ? ,则 M 的最小值为 3. 已知 a , a b ? ac ?
问题 3:二次函数的综合问题 引例:已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? m ? 1 (1)若函数 y ? lg[ f ( x)]定义域为 R ,求实数 m 的取值范围;若值域为 R ,结论如何? (2)若函数 f ( x) 在区间 ?? 1,0? 和 ?2,4? 上单调递减,求实数 m 的取值范围; (3) 是否存在整数 a , b (其中 a ? b ) , 使得关于 x 的不等式 a ? f ( x) ? b 的解集为 ?a, b? ? 若存在,求出 a , b 的值;若不存在,请说明理由

20

21

专题 7:高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些? 引例 1: (教 L11 例 3)已知均不为 1 的正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且
x y z

1 1 1 ? ? ? 0, x y z

则 abc ? ______ 引例 2:已知等式 ( x2 ? 2x ? 2)5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ai(i=0,1,2,…,10)为实常数,则 练习: 1.(2012 江苏数学联赛初赛)设 a 为正实数, k ? a
2
lg a

? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,其中

? na
n ?1

10

n

的值为_____________

,则 k 的取值范围是_________

x2 x3 2. 设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤ ≤9,则 4 的最大值是 y y
专题 8:函数与方程的三种语言的等价转化问题 引例 1: (教 L14 例 3)已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 在区间 ?0,1? 内有零点,则实数 a 的 取值范围是__________ 引例 2: (教 L14 例 4(3) )设函数 f ( x) ?

x x?2

? ax2 , 其中 a ? R .若函数 f ( x) 有四个

不同的零点,则实数 a 的取值范围是___________ 练习: 1.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (b ? a) x(b ? 2a 且 ab ? 0) ,试就 a , b 的不同取值情况,
3 2

讨论函数 f ( x) 的零点个数

21

22

2.若函数 f ( x) ? a x ? x ? a(a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则 a 的取值范围是_____ 变式: 若存在实数 m 使得 a
m

?m (其中 a ? 0且a ? 1) 成立, 则实数 a 的取值范围是______

专题Ⅲ

导数中相关问题的再研究

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该会处理以下问题: 1. “函数在某区间上是增函数(减函数) ”和“函数在某区间上存在单调增区间(减 区间”分别如何处理? 2. 你知道什么是洛必达法则(L·Hospital)?它可以用来优化什么问题?

【易错题】
1.(教 L17 基 1)水波的半径以 50cm/s 的速度向外扩展,当半径为 250 cm 时,圆面积的 膨胀率是________ cm / s 2.(教 L17 巩 1)半径为 R 的圆受热均匀膨胀,若半径增加了 r ,则圆面积的平均膨胀率 是__________ 3. (教 L17 巩 4) 已知点 P 在曲线 y ? 的取值范围_____
22
2

4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则? e ?1
x

23

4. (教 L18 练 6) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10 , 则 a ? b ? ___ 变式:已知函数 f ? x ? ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b ,其中 a, b ? R .若函数 f ? x ? 仅在 x ? 0 处有 极值,则 a 的取值范围是 5.(教 L18 练 8)设 f ( x) ?

ex ,其中 a 为正实数.若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,则 a 的 1 ? ax 2

取值范围为________________

1 4 x ? 6 x 2 ? cx ? d 既有极大值又有极小值,实数 c 的取值范围是__ 4 x 7. (教 L19 基 2)函数 f ( x) ? 1 ? ? sin x, x ? ?0, ? ? ,则它的单调递增区间为_______ 2 1 1 ? (a ? 0) 的一条公切 8.(公切线问题)曲线 C1 : y ? ln(x ? a) ;曲线 C 2 : y ? ? x?a a
6. 已知函数 f ( x) ? 线过点 ?? a,0? ,则实数 a ? ______ 9.(教 L19 基 8)对于函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1的极值情况,4 位同学有下列说法: 甲:该函数必有 2 个极值; 丙:该函数的极小值必小于 1; 乙:该函数的极大值必大于 1 丁:方程 f ( x) ? 0 一定有 3 个不等的实数根

这四种说法中,正确的个数为_________

【专题研究、方法梳理】
专题 1:导数问题中两类问题的辨析 引例:设 f ( x ) ? ? (1)若函数在 ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax 3 2

? 1 2? , ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; ? 2 3? ? ?

(2)若函数在 ? ,?? ? 上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围;

?2 ?3

23

24

练习:设函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? 2ax ? a2 , a ? R , (1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 ?1, e? 上的最小值; (2)若函数 f ( x ) 在 ? , 2 ? 上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; 2 (3)求函数 f ( x ) 的极值点.

?1 ?

? ?

专题 2:洛必达法则(L·Hospital)简介 引例 1: (2010 年新课标全国卷(理) )设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax2 (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

引例 2: (2010 年湖北理科卷)设函数 f ( x) ? ax ?

b ? c(a ? 0) 的图像在点 ?1, f (1)? 处的 x

切线方程为 y ? x ? 1 (1)用 a 表示出 b, c ; (2)若 f ( x) ? ln x 在 ?1,??? 上恒成立,求 a
24

25

的取值范围.

练习: 1. 设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,则实数 a 的取值范 围为________________ 2. 若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x ? ?0,π ? 都成立,则 a2 ? a1 的最小值为 ? ? 2? ? .

专题Ⅳ

三角函数、平面向量中相关问题的再研究

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该掌握下列问题的处理方法: 1. 三角函数中单位圆问题 2. 三角函数中求值和求角问题 3. 一类与三角函数图像有关的参数取值问题 4. 平面向量中算两次思想 5. 平面向量中一类向量系数和的取值范围问题 6. 平面向量中坐标法的运用举例与坐标法在解题中的应用 7. 三角形中一个三角恒等式的深度研究 8. 三角恒等变换公式的研究---一个错误引发的若干思考 9. 平面向量与三角形四心问题的相关研究 10. 对三角函数教材中两个问题的再研究与再思考 11. 三角形中的三角问题研究

【易错题】
n i ? ?c o s ??_ _ _ _ _ _ 1. (教 L20 基 7) 已知角 ? 的终边上有一点 P(4t ,?3t )(t ? 0) , 则 2s
2.(教 L20 基 8)函数 y ?

sin x sin x

?

tan x cos x 的值域为________ ? tan x cos x
25

26

3.(教 L20 巩 4)函数 y ? lg(2 sin x ? 1) ? 1 ? 2 cos x 的定义域为_______ 练习:若 cos ? ?

2x ? 3 ,又 ? 是第二、三象限角,则 x 的取值范围是______ 4? x

4.(三角函数中的图像重合对称问题)设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? ,将 y ? f ? x ? 的图 像向右平移

? 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于__________; 3
2? ) 的图像向左平移至少 3

如果所得图像关于 x 轴对称,则 ? 的最小值等于__________ 5. (三角函数中的图像平移问题) 将函数 y ? sin(2 x ? 位,可得一个偶函数的图像 6.(教 L22 巩 3)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ?0,2? ? ) 的图像如图所示,则 ? ? ______ 7. (教 L22 练 10) 若函数 y ? sin 2 ( x ? 图象的对称轴相同,则实数 a 的值为 个单

?
6

) 与函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的
.

8. (教 L24 练 8) 已知函数 f ( x) ? 2a sin 2x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b 的定义域是 ? 值域是 ?2,5? ,则 a , b 的值分别为______ 9.(教 L25 巩 3)化简: 2 ? 2cos8 ? 2 1 - sin8 的结果是_______ 10.(教 L27 基 6)在 ?ABC 中,已知 cos A ?

?? ? ,? , ?2 ? ?

5 3 , sin B ? ,则 cosC ? _______ 13 5

11.(教 L27 基 8)在锐角三角形 ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A ,则 AC 的取值范围是______ 变式:在周长为 16 的三角形 ABC 中, AB =6, A, B 所对的边分别为 a , b ,则 ab cos C 的取值 范围是 .

12.若 a ? (1,2),b ? (2 ? m,1 ? m) ,若两向量夹角为钝角,则实数 m 的取值范围是_______ 13.(教 L32 巩 32)若复数 z 满足 z ? i ? 1,则 z ? i ? 1 的最大值为______
26

27

14. 若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a ? b 的最小值是______________.

【专题研究、方法梳理】
专题 1:三角函数中的单位圆问题 引例:2. 如图, O 为坐标原点,A、B 是单位圆 O 上的动点, C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,设 ?COA ? ? . O B

y A

?3 4? (Ⅰ )当点 A 的坐标为 ? , ? 时,求 sin ? 的值; ?5 5?
(Ⅱ )若 0 ? ? ?

C

x

π ,且当点 A、B 在圆 O 上沿逆时针方向移动 2 π ,试求 BC 的取值范围. 3

时,总有 ?AOB ? 练习:

1.点 P 是单位圆上一点, 它从初始位置 P 0 开始沿单 位圆按逆时针方向 运动角 ? ( 0 ? ? ? 运动

y
P2 P1 P0 O

?
2

)到点 P1 ,然后继续沿单位圆逆时针方向

? 4 到点 P 若点 P ,cos ? 的值等于 ___ 2, 2 的横坐标为 ? 3 5 3 3 2. 角 ? ( 0 ? ? ? 2? )的终边过点 P (sin ? , cos ? ) ,则 ? ? ______ 5 5
专题 2:三角函数中的求值与求角问题研究 引例 1:已知 -

x

?
2

? x ? 0 , sin x ? cos x ?

1 ,则 sin x - cos x ? _______ 5

变式 1:已知 ? ? ?

1 1 ? ?? ? ? ? 2 2 ,则 sin (2? ? ) ? _____ , ? ? ,且 sin ? cos ? 3 ?2 ?
1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ?0, ? ? ,求 2? ? ? 的值 2 7

变式 2:已知 tan( ? ? ? ) ?

27

28

思考:已知三角函数求角选用函数遵循什么原则? 练习:

1 13 ? 1. 已知 cos ? ? ,cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 7 14 2
2.(苏州 2013 届零模)已知 ? 为锐角, sin(? ? 15 ) ?
?

4 ,则 cos(2? ? 15? ) ? _____ 5
______

?? 4 ? ? 练习:设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2? ? ) 的值为 6? 5 12 ?
专题 3:一类与三角函数图像有关的参数取值问题 引例 1: (教 L23 基 7)有一种波,其波形为函数 y ? sin

?
2

x 的图像,若在区间 ?0, t ? 上至

少有 2 个波峰(图像的最高点) ,则正整数 t 的最小值为_________ 引例 2:已知 f ( x) ? sin(? x ?

?

)(? ? 0), f ( ) ? f ( ) ,且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小 6 3 3 6 3

?

?

? ?

值,无最大值,则 ? =_________. 练习: 1.已知函数 y ? 2 cos
2

? ?? 则正整数 ?x ? 2 sin ?x cos?x(? ? 0) 在区间 ?0, ? 上是单调函数, ? 8?
3 4

k 的值为_______
2.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间 ?0,

? ?? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值 ? 2? ?

28

29

专题 4:平面向量中的算两次思想 引例:

练习:在 ?ABC 中,点 D, E 分别在边 BC 、AC 上,且 BD ?

1 1 BC , CE ? CA , AD 与 4 3

BE 交于 R 点,求

RD RE 及 的值 AD BE

思考:算两次思想在整个高中数学教学和解题中有哪些部分还有涉及?至少说出两处. 练习(理科做) :我们知道,对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同可以构造等式, 这是一种非常有用的思想方法—算两次( G ? Fubini 原理) ,如小学有列方程解应用题, 中学有等积法求高。 请结合二项式定理, 利用等式 (1 ? x) (1 ? x) ? (1 ? x)
n n 2n

( n? N*) ,

证明: (1)

? (C
r ?0

n

r n

n r m?r m (2) ? (C n C n ) ? C 2 n ) 2 ? C2 n ; r ?0

n

29

30

专题 5:平面向量中一类向量系数和的取值范围问题 引例 1:如图,在正方形 ABCD 中, E 为 AB 的中点, P 为以 A 为 圆心、 AB 为半径的圆弧上的任意一点,设向量 AC ? ? DE ? ? AP , 则 ? ? ? 的最小值为

引例 2. A, B, C 是圆上三点, CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ,若

OC ? mOA ? nOB ,则 m ? n 的取值范围是_______
练习: 1. ( 2009 年全国高中数学联赛湖北省预赛题)已知 O 为锐角三角形 ?ABC 的外心,

AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且 2 x ? 10y ? 5 ,则 cos?BAC ? _____
2.在梯形 ABCD 中,DA=AB=BC=

1 CD=1.点 P 在阴影区域(含边 2
.

BD 的取值范围是 界)中运动,则 AP·

3. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向 OA ? a, OB ? b, 其中 a ? (3,1),b ? (1,3).若

OC ? ? a ? ?b,0 ? ? ? ? ? 1且 ? , ? ? 0 ,C 点所有可能的位置区域的面积为



4. 若 ?ABC 内接于以 O 为圆心, 以 1 为半径的圆, 且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 , 则该 ?ABC 的面积为 专题 6:平面向量中坐标法的运用举例与坐标法在解题中的应用 引例 1:在梯形 ABCD 中, AD //BC , ?ABC ?

?
3

, AD ? 1 , BC ? 2 , P 是腰 AB 所

在直线上的动点,则 3PC ? 2 PD 的最小值为___________ 引例 2: (2012 南京一模)在面积为 2 的 ?ABC 中,E,F 分别是 AB,AC 的中点,点 P 在
30

31

直线 EF 上,则 PC ? PB ? BC 的最小值是______________ 练习:如图,梯形 ABCD 中, AD // BC , AD ? AB, AD ? 1, BC ? 2, AB ? 3 , C

2

P 是 AB 上的一个动点, ?CPB ? ? , ?DPA ? ?
(Ⅰ ) 当 PD ? PC 最小时,求 tan ?DPC 的值; (Ⅱ ) 当 ?DPC ? ? 时,求 PD ? PC 的值. 拓展:坐标法在解题中的应用 D A P

B

1. 设关于 ? 的方程 3 cos ? ? sin ? ? a ? 0 在区间 ? 0, ? ? 内有相异的两个实根 ? , ? 则实数 a 的取值范围是 2. 已知 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和,公差 d ? 0 ,且 s p ? sq ( p ? q) , 则 s p?q ? 3. 满足条件 AB ? 2, AC ?

2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是



4. 如图在矩形 ABCD 中, 已知 AB ? 4 ,BC ? 2 ,M , N , P 分别为矩形边 DA , AB ,BC 上的中点,Q 是边 CD 上的点, 且 CQ ? 3QD ,则 MQ ? NP 的值为__________.

5. 如 图 , 点 C 为 半 圆 的 直 径 AB 延 长 线 上 一 点 ,

AB ? BC ? 2 , 过 动 点 P 作 半 圆 的 切 线 PQ . 若
,则 ?PAC 的面积的最大值为_______ P C? 2 P Q

6.在边长为 1 的正三角形纸片 ABC 的边 AB, AC 上分别取 D, E 两点,使沿线段 DE 折叠

31

32

三角形纸片后,顶点 A 正好落在边 BC 上(设为 P ) ,在这种情况下,求 AD 的最小值.
A

E D

B

专题 7:三角形中一个三角恒等式的深度研究 引例:在斜三角形中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C

P

C

思考 1: 一般地, 当 A, B, C 满足什么条件时,tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 能 成立?(是怎么推导的?)

练习 1:在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? 练习 2: (2012 年江苏高考 15 题)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

思考 2:在 ?ABC 中,请你探究 tan A tan B tan C 的取值范围

思考 3:设 x ? tan ? , y ? tan ? , z ? tan ? ,证明下列问题:
32

33

(1)已知 x, y, z ? R ,且 一个式子的值为 0;

x? y y?z z?x ? ? ? 0 ,求证:条件的三个式子中至少有 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

(2)已知 x ? y ? z ? xyz ,求证:

x y z 4 xyz ? ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 )

专题 8:三角恒等变换公式的研究---一个错误引发的若干思考 引例: (1)等式 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 能成立吗?恒成立吗? (2)等式 cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? 能成立吗?恒成立吗? 思考 1:设 ? , ? 为锐角, (1)比较 sin(? ? ? )与sin ? ? sin ? 的大小,并说明理由;

(2)比较 cos(? ? ? )与cos? ? cos? 的大小,并说明理由.

思考 2:试探究等式 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立的充要条件.

专题 9:平面向量与三角形四心问题的相关研究

O 是△ ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足:
(1) OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) ? ? [0, ??) ,点 P 形成的图形一定通过△ ABC 的



33

34

(填外心、内心、重心、垂心) ( 2 ) OP ? OA ? ? ?

?

AB

? AB sin B ?

?

? ? , ? ? [0, ??) 点 P 形成的图形一定通过 AC sin C ? ? AC

△ ABC 的 ______ 心 ( 3 ) OP ? OA ? ? (

AB AB cos B

?

AC AC cosC

) , ? ? [0, ??) 点 P 形成的图形一定通过

△ ABC 的 ______ 心 专题 10:对三角函数教材中两个问题的再研究与再思考 问题 1:如图,在半径为 R 、圆心角为 60 的扇形 AB 弧上 任取一点 P ,作扇形的内接矩形 PNMQ ,使点 Q 在 OA 上, 点 M 、 N 在 OB 上,求这个矩形面积的最大值及相应 的 ?BOP 的值.
O M N B Q P A

研究 1:有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60° ,从这个扇形中切割下一个内接矩形, 即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上(如图所示) ,求这个内接矩形的最大面积.

研究 2:如图,现要在一块半径为 1 m ,圆心角为

? 的扇形纸报 AOB 上剪出一个平行四 3

34

35

边形 MNPQ ,使点 P 在弧 AB 上,点 Q 在 OA 上,点 M、N 在 OB 上,设 ?BOP ? ? , 平行四边形 MNPQ 的面积为 S .(1)求 S 关于 ? 的函数关系式; (2)求 S 的最大值及相应的 ? 角.

变式 1:如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,?ABC 外的地方种草,

?ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC ? a , ?ABC ? ? ,设 ?ABC 的面积为 S1 ,正方形的面积为 S 2 . (1)用 a, ? 表示 S1 和 S 2 ; (2)当 a 固定,?
变化时,求

S1 取最小值时的角 ? . S2

变式 2: 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯, 样式如图中实线部分所示. 其 上部分是以 AB 为直径的半圆,点 0 为圆心,下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,

DE , DF 是两根支杆, ?EOA ? ?FOB ? 2 x, (0 ? x ? 其中 AB ? 2 米,

?
4

). 现在弧 EF 、

线段 DE 与线段 DF 上装彩灯,在弧 AE 、弧 BF 、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯.若 每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为 2 k ,节能 灯的比例系数为 k ( k ? 0 ),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的 和.(1)试将 y 表示为 x 的函数;(2)试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效 果”最佳.
35

36

问题 2: (教材 24 页第 7 题)如图,已知 ? A 是定角,P, Q 分别在 ? A 的两边上, PQ 为定长,当 P, Q 处于什么位置时, ?APQ 的面积最大?

对习题的再研究: (1)线段 AB 为定值的相关问题研究

? A 是定角, P, Q 分别在 ? A 的两边上, PQ 为定长 m ,设 AQ ? a , AP ? b ,则:
① 当 a ? b 时, ?APQ 的面积有最大值;②当 a ? b 时, ?APQ 的周长有最大值

(2)线段 AB 过定点的相关问题研究 如图,已知 ?POQ ? ? 为定值,,过定点 M 引线段 AB ,分别交 OP 、 OQ 于 A, B . (1)求证:当 MA ? MB 即 M 是线段 AB 中点时,△ OAB 的面积最小;
36

37

(2)△ OAB 是以 O 为顶点的等腰三角形时,截线段的乘积 MA ? MB 最小.
P A

M O θ B Q

拓展 1:海岸线 MAN , ?A ? 2? , 现用长为 l 的拦 网围成一养殖场,其中 B ? MA, C ? NA .

(1)若 BC ? l , 求养殖场面积最大值; (2)若 B 、 C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 内选点 D ,使 BD ? DC ?l ,求四边形 养殖场 DBAC 的最大面积; (3)若(2)中 B、C 可选择,求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值.

拓展 2: 如图, 已知 ?POQ ? ? 为定值,, 过定点 M 引线段 AB , 分别交 OP 、OQ 于 A, B . (1)求证:当 MA ? MB 即 M 是线段 AB 中点时,△ OAB 的面积最小; (2)△ OAB 是以 O 为顶点的等腰三角形时,截线段的乘积 MA ? MB 最小.
P A

M O θ B Q

37

38

专题 11:三角形中的三角问题 问题 1:判断三角形形状问题 对于 ? ABC ,有如下六个命题: (1)若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 ? ABC 为等腰三角形 (2)若 sin B ? cos A ,则 ? ABC 是直角三角形;

(3)若sin 2 A ? sin 2 B ? cos2 C ? 1 ,则?ABC一定为钝角三角形 ; (4)若 tan A ? tan B ? tan C ? 0, 则?ABC一定为锐角三角形. 2 2 2 (5)若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ? ABC 是钝角三角形 a b c (6)若 , 则 ? ABC 是等边三角形 其中正确命题的序号为_____ ? ? A B C cos cos cos 2 2 2
问题 2:三角形中的几个最值问题

AC BC AB 2 ? ? 1. △ABC 中, AB 边上的高与 AB 边的长相等, 则 的最大值为_____ BC AC BC ? AC
2. 在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? tan A tan C ? tan C tan B ,且 c ? 3 ,则该三角形的面 积的最大值为____ 问题 3:测量问题 (2010?江苏)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的 标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ ABE=α,∠ ADE=β. (1)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m), 使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少 时,α-β 最大?

38

39

练习:如图,足球比赛场的宽度为 a 米,球门宽为 b 米,在足球 比赛中,甲方边锋沿球场边线,带球过人沿直线向前推进。试问: 该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角正切值最大? (注: 图中 AB 表示乙方所守球门,所在直线为乙方底线,只考虑在同 一平面上的情形) o

专题Ⅴ 究

数列中相关问题的再研

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该掌握下列问题的处理方法: 1. 数列的单调性问题研究 2. 数列的有界性问题研究 3. 数列的周期性问题研究 4. 数列中的数阵(数表)问题研究 5. 等差数列中前 n 项和的一类最值问题研究 6. 数列中的奇偶分析法问题研究 7. 数列中的项数问题研究 8. 交错数列求和问题研究 9. 数列中的存在性问题研究 10. 数列中的子数列问题研究 11. 数列中等差数列和等比数列的公共项问题研究 12. 一类证明问题的结构研究 13. 数列公式的结构问题研究 14. 数列中的不等关系问题研究 15. 数列与简易数论问题研究

【易错题】
1. 在数列{an}中,已知 a1=1,an=an-1+an-2+ ?? a2+a1 ( n ? 2) ,则 an ? 变式:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? 1) ,则 a 6 =
2 2. 数列 ?an ? 是等比数列是 an 是等比数列的________条件(充分不必要)



? ?

3. 已知三角形 ?ABC 的三边长 a, b, c 成等差数列,且 a ? b ? c ? 84 ,则实数 b 的取
2 2 2

39

40

值范围是_____ 4. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 的取值集合是______________ 5. 已知等差数列

1 , 若 an , an?2 , an?k (k ? N* , k ? 2) 成等差数列,则 k n
3

{an } 的前 n 项和为 S n ,若 ? a2 ? 1? ? 2012 ? a2 ? 1? ? 1 ,
2011

? a2 0 1 ? 1 1?

3

? 2 0 1?2 a

?

1? ??

1 ,则下列四个命题中真命题的序号为

_____

① S2011 ? 2011 ;② S2012 ? 2012 ;③ a2011 ? a2 ;④ S2011 ? S2

o g 6. 已知数列 {an } 是等比数列, 首项 a1 =8, 令 bn = l
大,且 S 7 ? S8 ,则数列 {an } 的公比 q 的取值范围是

2

an , 若数列{ bn }的前 7 项的和 S7 最

变式:已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列,Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ?Sn ? 中的 唯一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 7. 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 { 的值为 8. 等差数列{an}和{bn}的前 n 项的和分别是 Sn 和 Tn, 且

Sn } 是公差为 d 的等差数列,则 {an } 为等差数列时 d an

a a Sn 2n , 则 5 =___, 5 =__ ? Tn 3n ? 1 b5 b6 S n 7n ? 45 a , 则使得 n ? bn Tn n?3

变式: 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项的和分别是 Sn 和 Tn, 且 为正整数的 n 的个数为________

9. (教 L35 练 7) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 am ? n, an ? m , 则 am? n ? ____,

S m?n ? ____;若 S m ? n, S n ? m(m ? n) ,则 S m?n ? ______
n n ?1 n?2 2 n * 10. 已知 a , b 是不为 0 的常数, a ? b, n ? N ,则 a ? a b ? a b ? ? ? b ?

11. 在等差数列 {an } 中,前 n 项和 Sn ? 范围是

n m ,前 m 项和 Sm ? ,其中 m ? n ,则 S m ? n 的取值 m n
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41

12. 已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时都有 ai+bj=ak+bl,则
1 2011 ? (ai ? bi ) 的值是 2011 i ?1



变式 1 已知数列{an}, {bn}满足 a1=1, a2=2, b1=2, 且对任意的正整数 i, j, k, l, 当 i+j=k+l 时都有 ai-bj=ak-bl,则
1 n ? (ai ? bi ) 的值是 n i ?1



变式 2 数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时都有 aibj=akbl,记 cn= n (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) ?

? (an ? bn ) ,则{cn}的通项公式为

【专题研究、方法梳理】
专题 1:数列单调性问题研究 引例 1:数列 ?an ? 满足 an ? ?n 2 ? 5n ? 3 ( ? 为实常数) ,其中 n ? N ,且数列 ?an ? 为
*

单调递增数列,则求实数 ? 的取值范围为_________ 变式 1: 通项公式为 an ? an2 ? n 的数列 ?an ? , 若满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , 且 an ? an?1 对 n ? 8 恒成立,则实数 a 的取值范围是______ 变式 2:数列 ?an ? 满足 an ? ______项 变式 3: 数列 ?an ? 满足 a n ? _______
*

n ? 2011 n ? 2012

(n? N ) ,最小项为第_______项;最大项为第

n?? * ( ? 为实常数,n ? N ) , 最大项为 a8 , 最小项为 a9 , 2n ? 17

则实数 ? 的取值范围为__________ 变式 4:数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? k ? n ? 2k ,若对任意正整数 n ,an ? a3 ? a4 均成立,则实数 k 的取值范围是______________ 引例 2:已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

a n ?1 ? a n ? 2 ? ... ? a 2 n

1 , 若对于一切 n ? 1 的自然数,不等式 n 1 2 ? log a (a ? 1) ? 恒成立,则实数 a 的取值范围为________ 12 3
41

42

练习:设函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) ,数列 ? f ( xn )? (n ? N * ) 是首项为 f (a4 ) ,公差 为 2 的等差数列,又 g (n) ? xn f ( xn ) ,数列 g (n) 是递减数列,则 a 的取值范围是 .

引例 3: (教 L34 例 4) 已知 a , b 为两个正数, 且a ? b , 设 a1 ? 且 n ? N 时, a n ?
*

a?b , 当n ? 2 b1 ? ab , 2

a n ?1 ? bn ?1 , bn ? an?1bn?1 2

(1)证明:数列 {an } 为单调递减数列;数列 {bn } 为单调递增数列 (2)证明: a n ?1 ? bn ?1 ?

1 (a n ? bn ) 2

专题 2:数列有界性问题研究 引例:已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ? (2)设 bn ?1 ? 2 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. (背景探源见专题 1) an

关于(1)的练习(抓住式子的整体结构特征证明数列问题,是整体思想的体现) : 1.设 a1 ? 2 , an ?1 ?

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 通项公式 bn =_____ an ? 1 an ? 1

2.各项都为正数的数列 ?an ? ,其前 n 项的和为 Sn , Sn ? ( Sn?1 ? a1 )2 (n ? 2) ,若

bn ?

an?1 an ? ,且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn ,则 Tn = an an?1

.

42

43

关于(2)的变式(数列有界性问题) : N*)是整数,且 an+1-an 是关于 x 的方程 x2+( an+1-2)x-2an+1 设数列{an}满足:an(n∈ =0 的根. (1)若 a1=4,且 n≥2 时,4≤an≤8,求数列{an}的前 100 项和 S100; N*) (2)若 a1=-8,a6=1,且 an<an+1(n∈ ,求数列{an}的通项公式. 专题 3:数列周期性问题研究 引例:已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 1 ( n ? N )
*

(1)若 a1 ?

9 ,求数列的通项公式 an ; 5
*

(2)若 a1 ? a ? ?k , k ? 1? ( k ? N ) ,用 k , a 表示 ?an ? 的前 3k 项的和 S 3k ; (3)是否存在 a1 , n0 (n0 ? N * ) ,使得当 n ? n0 时 an 恒为常数?若存在,求出 a1 和 n0 ; 若不存在,说明理由;

? an ? 1 , an ? 1, ? ? 练习:数列 ?an ? 满足 a1 ? a ? ? 0,1? ,且 an ?1 ? ? an 若对于任意的 n ? N ,总 ?2a , a ? 1. n ? n
有 an?3 ? an 成立,则 a 的值为 .

1 2 3 5 8 9 6 10 4

专题 4:数列中的数阵(数表)问题研究 引例 1: (2008 年江苏)将全体正整数排成一个三角形数 7 阵:按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为

43

44

引例 2: 我们在下面的表格内填写数值: 先将第 1 行的所有空格填上 1; 再把一个首项为 1, 公比为 q 的数列 ?an ? 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的 数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.

第1列 第1行 第2行 第3行 ? 第n行 1

第2列 1

第3列 1

? ?

第n列 1

q

q2
?

q n?1 , Bn ,试用 n, q 表示 B1 ? B2 ? ? Bn 的值;

(1)设第 2 行的数依次为 B1 , B2 ,

(2) 设第 3 列的数依次为 c1 , c2 , c3 ,

, cn ,求证:对于任意非零实数 q , c1 ? c3 ? 2 c2 ;

(3)请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题,如果都选,被认为选 择了第一问) . ①能否找到 q 的值,使得(2) 中的数列 c1 , c2 , c3 ,

, cn 的前 m 项 c1 , c2 ,

, cm ( m ? 3 )

成为等比数列?若能找到,m 的值有多少个?若不能找到,说明理由. ②能否找到 q 的值,使得填完表格后,除第 1 列外,还有不同的两列数的前三项各自依次 成等比数列?并说明理由.

44

45

练习: 已知整数数列 {an } 满足:a1 ? 1, a2 ? 2 ,2an ?1 ? an?1 ? an?1 ? 2an ? 1(n ? N , n ? 2) . (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 将数列 {an } 中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表:

依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和,设由这些和按原来行的前后顺序构成的数 列为 {bn } ,求 b5 ? b100 的值; (3) 令 cn ? 2 ? ban ? b ? 2
an ?1

( b 为大于等于 3 的正整数), 问数列 {cn } 中是否存在连续三项

成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.

专题 5:等差数列中前 n 项和的一类最值问题研究 引例:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 d ? 0 , a3 ? 7 , S12 ? 0 , S13 ? 0 .
45

46

(1) 求公差 d 的取值范围; (2)求 S1 , S 2 , S 3 ,?S13 中的最大值

思考 1:等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , d ? 0 ,若 S 9 ? S 23 ,则前多少项的和最大?

思考 2:若把条件改为“ S10 ? S 23 ” ,有类似的结论吗?

思考 3:一般地,若 a1 ? 0 , d ? 0 , S p ? S q ,则前多少项的和最大?

思考 4:若 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 0 , d ? 0 , S p ? S q ,求证: S p ?q ? 0 ;

思考 5:探究 5 的逆命题是否成立?即若 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 0 , d ? 0 ,且

S p?q ? 0 ,则 S p ? S q 成立吗?为什么?

练习 1: (教 L35 基 6)已知 {an } 为等差数列,若 那么当 S n 取得最小正值时, n ? ______

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 S n 有最大值, a10

2:等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S16 ? 0 , S17 ? 0 ,则当 n ? ____ 时, S n 最大

46

47
2 3:在等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 , a2011 、 a2012 是方程 x ? 3x ? 5 ? 0 的两个根. S n 是

数列 {an } 的前 n 项和,那么满足条件 S n ? 0 的最大自然数 n ? ____ 专题 6:数列中的奇偶分析法问题研究 引例:已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2012 ,公比 q ? ?

1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn , 2

前 n 项积记为 ? ( n) .(Ⅰ )求数列 ?Sn ? 的最大项和最小项; (Ⅱ )判断 ?(n) 与 ?(n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n) 取得最大值; (Ⅲ )证明 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些 等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为 d1 , d2 , d3 ,

dn ,证明:数列 {dn } 为等比数列

练习: 1: 数列 ?

an ?

满足 an ?1 + an =4n-3(n∈ N ), 当 a1 =2 时, 则数列 ?
?

an ?

的通项公式为______

2:数列 ?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 .数列 ?bn ?满足 bn ? an?1 ? (?1) an , n ? N ? .
n

(1)若数列 ?an ?是等差数列,求数列 ?bn ?的前 6 项和 S6 ; (2)若数列 ?bn ?是公差为 2 的等差数列,求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若 b2n ? b2n?1 ? 0 , b2 n ?1 ? b2 n ?

6 , n ? N ? ,求数列 ?an ? 的前 2 n 项的和 T2 n . 2n

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48

专题 7:数列中的项数问题研究 引例:已知等比数列 {an } 的首项是 1 ,公比为 2,等差数列 {bn } 的首项是 1 ,公差为1 ,把

{bn } 中的各项按照如下规则依次插入到 {an } 的每相邻两项之间,构成新数列 {cn } : a1 , b1 , a2 , b2 , b3 , a3 , b4 , b5 , b6 , a4 ,……,即在 an 和 an ?1 两项之间依次插入 {bn } 中 n 个项,
则 c2013 ? ______

练习: 数列 ?an ? 的的前 n 项和是 Sn , 且满足的前 n 项和是 2Sn ? pan ? 2n(n ? N *, p ? 2) (1) 证明:数列 ?an ?1 ? 为等比数列;(2) 若 a2 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 对 于 ( 2 ) 中 的 数 列 ?an ? , 若 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? log an ? 1)( n ? N* , ) 在 bk 与 2 (

bk ?1 (k ? N * ) 之间插入 2 k ?1 个 2,得到一个新的数列 ?cn ? ,试问:是否存在正整数 m ,使
得数列 ?cn ? 的前 m 项和 Tn ? 2011 ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. ”

专题 8:交错数列求和问题研究 引 例 : 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 为 1 , 公 差 为 2 , 若 a1 a2 ? a2 a3? a3 a4? a4 a5 ????

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?a2n a2n?1 ? t ? n2 对 n ? N * 恒成立,则实数 t 的取值范围是 _____
练习:已知数列 {an } 满足 a1 ? ?

3 , an ?1 ? 2an ? 1, 数列 {bn } 满足 bn ? an ? 1 ,数列 {cn } 的 4

前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n (1) 求数列 {bn } 的通项公式; (2) 令 dn ? (?1)n cncn?1 , Tn 为数 列 {dn } 的前 n 项和,求 T2 n?1 好有 4 个,求正整数 p 的值. ; (3) 若使不等式

2cn? p cn

?

bn?1 ? p ? 8 成立的自然数 n 恰 bn

专题 9:数列中的存在性问题研究 引例 1:已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? 3n (n ? N ? ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件 的项,若不存在,请说明理由

引例 2:已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ? 2, S3 ? 9 ? 3 2 , (1)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ; (2)设 bn ?

Sn ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 n
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50

练习:1. 公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2+ 2,S3=12+3 2. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式 an 及其前 n 项和 Sn; (Ⅱ )记 bn=an- 2,若自然数?1 ,? 2 ,...,? k ,...满足 1 ? ?1 ? ?2 ? ... ? ?k ? ... ,并且

b?1 , b? 2 ,...,b? ,...成等比数列,其中?1 ? 1,?2 ? 3 ,求?k (用 k 表示) ; k
Sn N*)恰好成 (Ⅲ )记 cn= n ,试问:在数列{cn}中是否存在三项 Cr,Cs,Ct(r<s<t,r,s,t∈ 等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.

2. 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, 满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。 Sn 为其前 n 项和, (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试问是否存在正整数 m ,使得 的所有正整数 m

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项?若存在,求出满足条件 am ? 2

50

51

拓展提高:已知各项均为正数的等比数列 {an } 的公比为 q ,且 0 ? q ? (1)在数列 {an } 中是否存在三项,使其成等差数列?说明理由;

1 。 2

(2)若 a1 ? 1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数列中的某一项 ① 求公比 q ;② 若 bn ? ? logan?1 ( 2 ? 1) , Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn , Tn ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn , 试用 S2011 表示 T2011

专题 10:数列中的子数列问题研究 引例 1: (教 L37 例 2)已知 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 0 , ?an ? 的部分项 a k1 、a k 2 、?、

a kn 恰为等比数列,若 k1 ? 1 , k 2 ? 5 , k 3 ? 17 ,求 k n
练习 1: 设数列 {an } 是公差不为零的等差数列,a1 ? 2 ,a3 ? 6 , 若自然数 n1 , n2 ,?nk ,? 满足 3 ? n1 ? n2 ? ? ? nk ? ? ,且 a1 , a3 , an1 ,?an ,? 是等比数列,则 nk =
k

51

52

引例 2: 数列 ?an ? 的各项均为正数.若对任意的 n ? N , 存在 k ? N , 使得 an?k 2 ? an ? an?2k
* *

成立,则称数列 ?an ? 为“ J k 型”数列. (1)若数列 ?an ? 是“ J 2 型”数列,且 a2 ? 8, a8 ? 1,求 a2 n ; (2)若数列 ?an ? 既是“ J 3 型”数列,又是“ J 4 型”数列,证明:数列 ?an ? 是等比数列.

【高考试题背景探源】设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项 的和为 S n ,已知对任意整数 k ? M ,当 n ? k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立. (1)设 M ? {1} , a 2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M ? {3, 4} ,求数列 {an } 的通项公式

专题 11:数列中等差数列和等比数列的公共项问题研究 引例:设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 则 ?an ? 的前 n 项 和 Sn =_________________ 变式 1: (等比数列的某些项成等差数列问题)
52

53

等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 ,a3 成等差数列,若 a1 =1,则 s 4 =_________ 变式 2: (等差数列中的某些项成等比数列问题) (教 L37 例 2)已知 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 0 , ?an ? 的部分项 a k1 、a k 2 、?、a kn 恰 为等比数列,若 k1 ? 1 , k 2 ? 5 , k 3 ? 17 ,求 k n 变式 3:既成等差数列又称等比数列的问题 (1)是否存在不相同的三个数,使得三个数既成等差数列又成等比数列? (2)是否存在这样的三元素集,使得三个元素既成等差数列又成等比数列? (3)设 a1 , a2 ,?, an 是各项不为零的 n(n ? 4) 项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将数列删去 某一项后, 得到的数列 (按原来顺序) 是等比数列, 所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为_____ d ?

(4) (I)设 a1 , a2 ,

an 是各项均不为零的等差数列 (n ? 4) ,且公差 d ? 0 ,若将此数

列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. ①当 n ? 4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(II)求证:对于一个给定的正整数 (n ? 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2

bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列

专题 13:一类证明问题的结构研究 引例:设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列

? S ?是
n

53

54

公差为 d 的等差数列 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n , d 表示) ; (2) 设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? cSk 都成立. 求证: c 的最大值为

9 2.

练习:如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在函数 f(x)的定义域内,就有 f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称 f(x)为“保三角形函数”. (1)判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论: ① f(x)=

x;

② g(x)=sinx (x∈(0,π)).

(2)若函数 h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数,求证:M 的最小值为 2.

思考 1:如果 g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,且值域为 ? 0, ??? ,则 g ? x ? 是不是“保三 角形函数”? 思考 2:由解法可知 g ? x ? ? sin x 不是保三角形函数,但是在定义域的某个区间上能不能
54

55

成为保三角形函数?比如 g ? x ? ? sin x x ? ? 0, A? 是保三角形函数,求 A 的最大值

?

?

专题 14:数列公式的结构问题研究 引例:设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若首项 a1 ? 3 ,公差 d ? 1 ,求满足 S 2 ? (S k ) 2 的正整数 k; 2 k
k2

(2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S

? (S k ) 2 成立.

专题 14:数列中的不等关系问题研究 问题 1:数列中的最值问题 (1)设 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a3 +a4 ? a1 ? a2 =5 ,则 a5 ? a6 的最小值是 _________
55

56

(2)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10,S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为______ 问题 2:与数列有关的不等式恒成立条件下参数问题 (1)等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,第 17 项的平方等于第 24 项,使得不等式

a1 ? a2 ?

? an ?
c n

1 1 ? ? a1 a2

?

1 恒成立的正整数 n 的取值范围是__________ an

* (2)若 an ? n ? (n ? N ) ,且 an ? a3 ,则实数 c 的取值范围是_________.

问题 3:数列中比大小问题 (1)等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 0, a3 ? b3 ? 0, 且a1 ? a3 ,则

a2 ____b2;a5 ____b5 (大小关系)
(2) 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N 总有 Sn ? qan ? 1(q ? 0,q ? 1 ,
*

m,k ? N *, 且m ? k ) .①求数列的 ?an ? 通项公式 an ;
② 试比较 Sm?k 与

1 2 1 1 ( S2 m ? S2 k ) 的大小;③ 当 q ? 1 时,试比较 与 的大小. ? 2 Sm?k S2 m S2 k

练习: 1.等比数列 ?an ? 中,a1 ? 512 ,公比 q ? ? 中最大项是_______. 2.已知公差不为零的正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,正项等比数列{bn}的前 n 项的

1 ,定义 ?n ? a1a2 a3 2

an ,则 ?1 , ?2 , ? 3

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和为 Tn ,若 a15 ? b5 , a30 ? b20 , 则S30 ? S15 _____T20 ? T5 (用不等号连接)
2 ? 3.已知 ?bn ? 是等差数列,对于给定的正整数 m , b12 ? bm ?1

3 ,则 bm?1 ? 2

? b2 m ?b2 m ? 1

的最大值为

. 其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, ? a7 , a2 , a4 , a6

4. (2011 江苏) 设 1 ? a1 ? a2 ?

成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________ 【讲评时对结论进行推广和拓展】
1 1 1 1 5.已知 (1 ? )(1 ? )(1 ? )....(1 ? ) ? k 2n ? 3 ,则 k 的最大值为____ 2 4 6 2n ? 2

6.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N * . (1)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 an?1 ? an , n ? N * ,求 a 的取值范围.

7.已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,前 n 项和为 Sn ,设 m,n,p∈ N*,且

m?n ? 2p
(1)求证: Sn ? Sm ? 2S2 p ; (2)求证: Sn Sm ? S p ;
2

(3)若 S1005 ? 1 ,求证:

2009 i ?1

?S

1
i

? 2009

专题 14:数列与简易数论问题研究 引例 1:设 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列. (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m, k ? N ? ,使 am ? am?1 ? ak ?

1 (2)数列 {bn } 中,若 b1 ? 1 ,公比 q ? (0, ) ,且 ?k ? N ? , bk ? bk ?1 ? bk ? 2 仍是 {bn } 中的 2
57

58

项,则 q ?

.

(3) {an } 满足 a1 ? 1, d ? 2, 试证明任给 m ? N? ,总存在 p ? N? 使 a1 , am , ap 成等比数列.

引例 2:已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由; (2)找出所有数列

?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N * , an?1 ? b ,并说明理由
an
n

引例 3: 从数列 {an } 中取出部分项, 并将它们按原来的顺序组成一个数列, 称之为数列 {an } 的一个子数列.设数列 {an } 是一个首项为 a1 、公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列. (1)若 a1 , a2 , a 5 成等 比数列,求其公比 q . (2)若 a1 ? 7 d ,从数列 {an } 中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项,
58

59

试问该数列是否为 {an } 的无穷等比子数列,请说明理由.

思考:若 a1 ? 1 ,从数列 {an } 中取出第 1 项、第 m (m ≥ 2) 项(设 am ? t )作为一个等比 数列的第 1 项、第 2 项,试问当且仅当 t 为何值时,该数列为 {an } 的无穷等比子数列,请 说明理由.

引例 4:设数列 ?an ?? n ? 1,2,

? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ?an ? 中任意(不同)

两项之和仍是该数列中的一项,则 称该数列是“封闭数列”. (1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列”,并说明理由? (2)试问:数列 ?an ? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.

59

60

练习: 1. 设 a1 , a2 , ???, a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1 ? a2 ? ??? ? a50 ? 9 ,

(a1 ? 1)2 ? (a2 ? 1)2 ? ??? ? (a50 ? 1)2 ? 107 ,则 a1 , a2 , ???, a50 中数字 0 的个数为

.

2. 已知 a, b, c, d 是正整数, a ? b ? c ? d , d ? a ? 7 ,若 a , b, c 成等差数列, b, c, d 成等比数 列,则这四数依次为 .

3. 已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,对于任意的 n ? N ,总存在 m ? N ,使得
* *

am ? 3 ? bn 成立,则 an ?

..

4. 一个正数,它的小数部分、整数部分及它本身,依次构成等比数列,则这个正数为
60

61

5. 设有等比数列 a, aq, aq2 ,

, 其中 q 是整数,试问数列中存在三项构成等差数列吗?

6. 已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列, a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 . (1) 若 b3 ? ai( i 是某个正整数) , 求证:q 是整数, 且数列 ?bn ? 中的每一项都是数列 ?an ? 中的项; (2) 是否存在这样的正数 q , 使等比数列 ?bn ? 中有三项成等差数列?若存在, 写出一个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由.

专题Ⅳ

不等式中相关问题的再研究

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该能够掌握下列问题的处理方法: 1.求参数取值问题中的一类确定主元问题的研究 2.一类区域的面积问题研究 3.多元变量问题处理方法的系统研究 4.几类基本不等式问题研究 5.利用函数研究不等式的问题研究

【易错题】
1.(教 L40 基 8)已知 log3 x ? x ? 6 ; log5 y ? y ? 6 ,则 x , y 的大小关系为______
61

62

变式:已知 a ? 1 ,若函数 f ( x) ? a x ? x ? 4 的零点为 m,函数 g ( x) ? loga x ? x ? 4 的 零点为 n,则

1 4 ? 的取值范围是__________ m n

2.(教 L41 巩 2)已知关于 x 的不等式 取值范围为__________

ax ? 5 ? 0 的解集为 M ,若 5 ? M ,则实数 a 的 x2 ? a

3.(教 L42 例 1 变式)三边长均为正整数且最大边长为 11 的三角形的个数为_______
* 变式:已知 ?ABC 三边 a , b , c 的长都是整数,且 a ? b ? c ,如果 b ? m m ? N ,

?

?

则这样的三角形共有

_______ 个

?x ? 2 ? 4. 已知实数 x , y 满足 ?2 x ? y ? 0 ,且目标函数 z ? y ? 3x 的最大值为 ? 1, 最小值为 ?ax ? by ? c ? 0 ?
? 5 ,则

a ? 2b ? 3c 的值为________ (可进一步思考:你考虑过 a , b 的符号么?) a

5. 已知 a, b, c ? R * ,若 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为______ 6. 已知 a ?1 ? b ?1 ? 4 ,则 ab ? a ? b 的最大值与最小值的和为_______

1? ? 1? ? 7. 已知 a, b ? R 且 a ? b ? 1 ,则 ? a ? ? ? ? b ? ? 的最小值为_______ a? ? b? ?
*

2

2

8.(2011 年江苏高考题改编) 不等式(3x2+a)(2x+b) ?0 对一切 x∈[-1,+?)恒成立,其中 a>0, 则实数 b 的取值范围为_________;不等式(3x2+a)(2x+b) ?0 对一切 x∈(a,b)恒成立, 其中 a<0,则 b-a 的最大值为____________ 9.(教 L44 基 5)不等式 kx ? kx ? 1 ? 0 对于任意 x 恒成立,实数 k 的取值范围是___
2

10.写出柯西不等式并写出等号成立的条件_____________________________

【专题研究、方法梳理】
专题 1:求参数取值问题中的一类确定主元问题的研究
62

63

引例 1: 设关于 x 的不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 对于满足 m ? 2 的一切 m 都成立, 则x的
2

取值范围是_____________

cm ,画面的宽与 引例 2: (主元的选择与确定)设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840
高之比为 ? ( ? ? 1 ) ,画面的上、下各留 8cm 的空白,画面的左、右各留 5cm 的空白, 问怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张的面积最小?如果 ? ? ? , ? ,那 3 4 么 ? 为何值时,能使得宣传画所用纸张面积最小? 练习 1:若在 ?0,4? 上存在实数 p 使得不等式 x 2 ? px ? 4 x ? p ? 3 成立,则实数 x 的取值 范围是_________ 2: (2010 浙江) 设 a1 ,d 为实数, 首项为 a1 , 公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且满足 S 5 S 6 ? 15 ? 0 ,则 d 的取值范围是______________ 变式:试求 a1 的取值范围 3:若 ?an ? 为等差数列,前 n 项和为 S n ,求证:对于任意的 n ? N , S n , S n?1 , S n? 2 不能
*

2

?2 3? ? ?

构成等比数列.

专题 2:一类区域的面积问题研究 引例 1:在平面直角坐标系中,已知平面区域 A ? 区域 B ? 练习:

???x, y? x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0??,则平面

???x ? y, x ? y??x, y?? A??的面积为________

63

64

1: f ( x) ? x 2 ? 2 x , 则满足条件 ?

? f ( x) ? f ( y ) ? 0 的点 ? x, y ? 所形成的区域面积为______ ? f ( x) ? f ( y ) ? 0

2 2:已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ,若 f (a) ? f (b) ,且 0 ? a ? b ,则满足条件的的点 ?a, b ? 所

围成的面积为______ 3:如图放置的等腰直角三角形 ABC 薄片(∠ACB= 90 ? ,AC=2)沿 x 轴 滚动,设顶点 A(x,y)的轨迹方程是 y= f ( x) ,则 f ( x) 在其相邻两个 零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 引例 2:直角坐标系中,点集 A ? ? x , y ? | x2 ? y2 ≤1 , B ? ?? x , y ? | ?1≤ x ≤1 , ? 1≤ y ≤1? , 点集 Q ? ( x , y) x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A , ( x2 , y2 ) ? B 所表示的区域的面积__

?

?

?

?

?x ? 0 ? 练习:两个正实数 a , b 满足 a ? b ? 3 ,若当 ? y ? 0 时,恒有 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 , ?x ? y ? 1 ?
则以 a , b 为坐标的点 ( a, b) 所形成的平面区域的面积等于____ 专题 3:多元变量问题处理方法的系统研究 一、变式换元法 引例 1:已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的导函数是 g ( x), a ? b ? c ? 0 ,
3 2

g (0) ? g (1) ? 0 . 设 x1 , x2 是方程 g ( x) ? 0 的两根,则| x1 ? x2 |的取值范围为
引例 2:在 ?ABC 中,已知三边长满足 ?

___

?b ? c ? 2a b ,则 的取值范围是______ a ?c ? a ? 2b
b 的取值范围是_____ a

b, c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c ,则 练习 1: 已知正数 a ,
练习 2: (浙江大学自主招生试题)设 x , y 为正实数, a ?

x 2 ? xy ? y 2 , b ? p xy ,

c ? x ? y (1)如果 p ? 1 ,则是否存在以 a, b, c 为三边长的三角形?请说明理由;
64

65

(2)对任意的正实数 x , y ,试探索当存在以 a, b, c 为三边长的三角形时 p 的取值范围.

二、引入新元法 引例:求函数 ? ? 6 xy ? 8( x ? y) ? 5( x 2 ? y 2 ) 的最大值 变式 1:已知实数 x, y , z 满足 xyz ? 32, x ? y ? z ? 4 ,则 | x | ? | y | ? | z | 最小值为 变式 2:已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 1 , x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ,求 xyz 的最大值为______ 变式 3:设 x , y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则 三、确定主元法(具体见专题 1) 引例:已知实数 x1 , x2 , x3 满足方程 x1 ? 最小值是 练习:已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 , 则 c 的最大值是___________ 变式:设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a· b= ? 专题 4:几类基本不等式问题研究 第一类:设 x ? 0, y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值为_______
2 2 变式 1:设 x, y ? R , 4 x ? y ? xy ? 1,则 2 x ? y 的最大值为_________ 2 2 变式 2:设 x, y ? R , 3x ? y ? xy ? 1,则 2 x ? y 的最大值为________

x2 y2 的最小值是 ______ ? x ? 2 y ?1

1 2 1 2 1 1 2 x2 ? x3 ? 1 及 x1 ? x 2 ? x3 ? 3 ,则 x3 的 2 3 2 3

1 0 ,<a-c,b-c>=60 ,则|c|的最大值为 2

练习:设实数 x、y 满足 x +2xy-1=0,则 x+y 的取值范围是_________

2

65

66

a2 ? b2 ? c2 第二类:若已知 a, b, c ? 0 ,则 的最小值为 ab ? 2bc
变式:设 x, y , z , w 是不全为零的实数,求

.

xy ? 2 yz ? zw 的最大值 x ? y 2 ? z 2 ? w2
2

第三类:若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为______ a ? 2b

2 练习:已知 a ? 0 , b ? 0 , a ?

b2 ? 1 ,则 a 1 ? b 2 的最大值为________ 2

2 2 变式:已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? 2b ? 1,则 a 1 ? b 2 的最大值为________

专题 5:利用函数研究不等式的相关问题研究 引例 1: 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数且 f (1) ? 0 , 当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 则不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集是
' 练习 1: 定义在 R 的可导函数 f ( x) 满足:f ? x ? 1? 为偶函数,f ? 2? ? 1, f ? x ? ? f ? x ? ? 0

则不等式 f ? x ? ? e 的解集为
x ' m 练习 2:定义在 R 的可导函数 f ( x) 满足: f ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则当 m ? 0 时, e f ? m?

与 f ? 0 ? ( e 是自然对数的底数)的大小关系是 引例 2: 已知定义在 R 的函数 f ( x), g ? x ? 满足: g ? x ? ? 0 ,f
'

? x? g ? x ? ? f ? x ? g ' ? x ? ? 0。
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若 f ? x? ? ax g ? x? ,

f ?1? f ? ?1? 5 f ? n? , 则 使 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ? ? , 令 an ? g ?1? g ? ?1? 2 g ? n?
____

Sn ?

15 的最小自然数 n = 16

引例 3:已知函数 f ( x) ?

4e x ,方程 f ( x) ? x 的一个根为 t,且 a ? t , f (a) ? b ex ? 1

(1)求函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x) ;求导函数 f ' ( x) 的值域; (2)证明:①a ? b ,②a ? f (a) ? b ? f (b)

练习: 1.设 M 是由满足下列条件的函数 f ? x ? 构成的集合:① 方程, f ? x ? ? x ? 0 有实数根;② 函数 f ? x ? 的导数 f
'

? x ? 满足 0 ? f ' ? x? ? 1 .

(1) 若函数 f ? x ? 为集合 M 中 的任意一个元素, 证明: 方程 f ? x ? ? x ? 0 只有一个实根; (2)判断函数 g ? x ? ?

x ln x ? ? 3 ? x ? 1? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 2

(3)设函数 f ? x ? 为集合 M 中的任意一个元素,对于定义域中任意 ? , ? ,当

? ? 2012 ? 1, 且 ? ? 2012 ? 1 时,证明: f ?? ? ? f ? ? ? ? 2
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68

2. 已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? b 是奇函数,且图像在点 (e, f (e)) 数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

(e 为自然对数的底

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 n ? m ? 1,(n, m ? Z ) 时,证明: mnn

?

? ? ?nm ?
m

m n

专题Ⅵ

解析几何中相关问题的再研究

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该能掌握处理下列问题的方法: 1. 一类与三角问题有关的最值问题与直角走廊问题的拓展研究 2. 两类最值问题研究 3. 平行线间的一类三角函数问题的研究 4. 圆系方程问题研究 5. 和圆有关的八类轨迹问题研究 猫的轨迹问题(达芬奇椭圆仪) 、阿波罗尼斯圆、 运动轨迹面积问题、 圆(圆锥曲线)的一组切线方程问题、圆的公切线问题、圆的包络问题 6. 椭圆中的系列问题研究 椭圆定义知多少与椭圆圆周角性质定理的拓展研究 圆锥曲线中一类对称问题、焦点三角形问题、 一类向量成定比问题、几类椭圆中点的存在性问题、 椭圆的极坐标方程的相关问题研究、椭圆的极点和极线的相关问题研究、 解析几何中定的问题研究、解析几何中的几类最值问题
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【易错题】
1. (教 L46 基 6) 经过点 A(4,?3) , 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为_____ 2.(教 L46 例 1(1) )直线 x ? y cos? ? 1 ? 0(? ? R) 的倾斜角 ? 的取值范围为_______ 变式:若已知 ?

?
2

? ? ? 0 ,则直线 x tan? ? y ? 0 的倾斜角大小为_______

3.(教 L47 基 6)已知直线 l1 : 4x ? 3 y ? 0; l 2 : ax ? 2 y ? 8 ? 0; l3 : 2x ? y ? 0 ,若三条直 线共有三个不同的交点,则实数 a 满足的条件是_______ 4. (教 L47 巩 3) 若两点 A(1,0), B(3,2 3) 到直线 l 的距离均等于 1, 则直线 l 的方程为____

O 为坐标原点, 5. (教 L49 基 4) 动点 P 满足 x ? y ? x ? y , 则 OP 的取值范围是______
2 2

6. 注意圆中的几个结论: (看看你还记得么?) (1)相交弦定理; (2)直线与相切问题如果切点已知,则切线与切点与圆心连线垂直; (3)两个等圆相切,则切点必为两个圆心的中点;

PA, PB 为圆的两条切线, A, B 为两切点, 7.已知圆 O 的半径为 1, PA ? PB 的最小值为____
8. 若直线 y ? kx ? 2 与曲线 y ? 1 - x 2 有公共点,则 k 的取值范围是_______ 9. 已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,若圆上有且只有 4 个点到直线 3x ? 4 y ? 20 ? 0 的距离为 1,则 r 的取值范围是__________. 引申:关于圆 (x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) 上点到直线 l 与距离为 d 的点的个数归纳?
2 2 2

10. 若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(-1,0)到动直线 ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M,已知 点 N(3,3) ,则线段 MN 长度的最大值为__________________. 11. 已知点 A, B 的坐标分别是 ?0,?1? , ?0,1? ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜 率之积为 ?

1 ,过 D(2,0) 的直线 l 与轨迹 C 有两个不同的交点时,则直线 l 的斜率的取值 2
69

70

范围是_________ 12. 在平面直角坐标系 xoy 下,已知双曲线 x 2 ? y 2 ? a( a ? 0 ) ,右焦点为 F,右准线为 l,点 A, B 是右支上两点, ?AFB ? 120 ? , 线段 AB 的中点 M 在右准线上的射影点为 M ? , 则

MM ? 的最大值为 AB

.

13.(教 L53 基 7)若 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点,点 P 在双曲线上,若点 P 到 16 20
.

P 到焦点 F2 的距离是 焦点 F 1 的距离等于 9,则点
14.(教 L53 巩 3)过点 ?2,?2? 与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有公共渐近线的双曲线方程为_______ 2

15.(教 L54 基 2)抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标为______ 16. (教 55 巩 4) 若直线 y ? kx ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 总有公共点, 则 m 的取值范围是_____ 5 m

【专题研究、方法梳理】
专题 1:一类与三角问题有关的最值问题与直角走廊问题的拓展研究 引例:已知直线 l 过点 P(3,2) ,且与 x 轴的正半轴、 y 轴正半轴分别交于 A, B 两点 (1)求 S ?ABC 面积最小值及此时直线的方程; (2)求 OA ? OB 最小值及此时直线的方程; (3)求 PA ? PB 最小值及此时直线的方程

变式 1:过点 P(3,2) 作直线 l 交 x 轴与 y 轴交于 A, B 两点,若 S ?ABO 的面积为 12,试问这 样的直线有几条?

1,8) 变式 2: 已知过点 P( 的直线 l 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于 A, B 两点, 若 ?OAB 面
70

71

积为 S 的直线条数为 2 条,则 S 的取值范围是___________ 问题背景探源:直角走廊问题(拓展) 引例 如图,一条直角走廊宽为:1m,若一根铁棒 EF 能水平地通过此直角走廊,求此根铁 棒的最大长度

变 1:如图,一条直角走廊宽分别为 1m 和 8m,若一根 铁棒 EF 能水平地通过此直角走廊,求此根铁棒的最大长度

变 2:如图,一条转角处角度为 ? ( 0 ? ? ? ? ) 的等宽走廊宽为 1m,若一根铁棒 EF 能水平地 通过此直角走廊,则此根铁棒的最大长度为 _____________

变 3:如图,一条等宽直角走廊宽为 2m,现有一转动灵 活的平板车,其俯视图的外框为一矩形,它的宽为 1, 平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少?

变 4:一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的四分
71

72

之一圆弧, AB , DC 分别与圆弧 BC 相切于 B , C 两点, EF ∥ AB , GH ∥ CD ,且 两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1 m . (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M , N 分别在外壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁 圆弧相切于点 P .设 ?CMN ? ? (rad) ,试用 ? 表示木棒 MN 的长度 f (? ) ; (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值. M C D

?

1m B P G H 1m

m
N 小结: 1. 解决直角走廊问题的基本思想方法: 1m A E 2. 直角走廊问题的数学本质: F Q

1m

专题 2m :两类最值问题研究 第一类引例:在直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 上 (1)求一点 P ,使 P 到点 A(4,1) 和 C (3,4) 的距离之和最小; (2)求一点 Q ,使 Q 到点 A(4,1) 和 B(0,4) 的距离之差最大.

变式 1:以 A(4,5) 为一个顶点,试在 x 轴上找一点 B ,另在直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 上找一 点 C 构成 ?ABC ,使其周长最小.
72

73

变式 2:自 A(-3,3) 发出的光线被 x 轴反射后射到圆 x 2 ? y 2 - 4 x - 4 y ? 7 ? 0 上,则光线 走过的最短距离为_________ 第二类引例:等腰三角形 ?ABC 的腰 AB 上的中线长为 3 ,则 ?ABC 的面积的最大值__

B C 的周长的最大值为_______ 变式 1: 等腰三角形 ?ABC 的腰 AB 上的中线长为 2 , 则 ?A
变式 2:在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,D 在线段 AC 上,AD=kAC(k 为常数,且 0<k<1), BD=l 为定长,则△ABC 的面积的最大值为 变式 3: 在正三棱锥 P-ABC 中, D 为线段 BC 的中点, E 在线段 PD 上, PE=kPD(k 为常数, 且 0<k<1),AE=l 为定长,则该棱锥的体积的最大值为 本题背景: 2008 年江苏高考题: 满足条件 AB=2, AC= 2BC 的△ABC 的面积的最大值 ____ 专题 3:平行线间的三角函数问题的研究 引例: l1 、 l2 、 l3 是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线. (Ⅰ)如果 l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距离也是 1,可以把一个正三角形 ABC 的三 顶点分别放在 l1 , l2 , l3 上,求这个正三角形 ABC 的边长; (Ⅱ)如图,如果 l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距离是 2,能否把一个正三角形 ABC 的 三顶点分别放在 l1 , l2 , l3 上,如果能放,求 BC 和 l3 夹角的正切值并求该正三角形边长; 如果不能,说明为什么? (Ⅲ)如果边长为 2 的正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 , l2 , l3 上, 设 l1 与 l2 的距离为 d1 , l2 与 l3 的距离为 d2 ,求 d1 ? d2 的范围?

73

74

练习: 如图, 某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、l2 的 距离分别为 4m、8m,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1m,l2 与该养殖区的最近 点 B 的距离为 2m. (1)如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得 ?BAD ? 60 , 请据此算出养殖区的面积; ( 2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,试在该小组未测得

?BAD 的大小的情况下,估算出养 殖区的最小面积.
l1

D A
C

l1

D A
C

B
l2

B

l2 思考:如图,已知矩形 (图甲) ORTM 内有 5 个全等的小正方形,其中顶点(图乙) A、B、C、D 在矩形

ORTM 的四条边上.若矩形 ORTM 的边长 OR=7,OM=8,试求小正方形的边长;
M E A F K D L T

J C
H B I R

G O

专题 4:圆系方程问题研究
2 2 引例 1:求过直线 l : 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,且满足

下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积.

74

75

引例 2:求过两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 13 ? 0 与 C2 : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 的交点且 圆心在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程为______________________________ 总结:经过圆与圆交点的圆系方程 (1) 过两圆 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的直线 方程为__________________________________ 例:过点 M (2,4) 向圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1引两条切线,切点为 P, Q ,求 P, Q 所在 直线的方程为___________ (2) 经过两圆 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的圆 的方程为___________________________________ 专题 5:和圆有关的八类轨迹问题研究 第一类:如果圆 (x ? m)2 ? ( y ? 2m)2 ? 4 上总存在两点到原点的距离为 1,则实数 m 的 取值范围为___________ 第二类:平面内到 A(0,-3)的距离为 1,到点 B(4,0)的距离为 2 的直线有______条. 变式:在平面直角坐标系 xOy 中,若与点 A(2,2) 的距离为 1 且与点 B(m,0) 的距离为 3 的 直线恰有两条,则实数 m 的取值范围为__________ 第三类:猫的轨迹问题(达芬奇椭圆仪问题) 引例:如图,线段 EF 的长度为 1,端点 E , F 在边长不小于 1 的正
A D

方形 ABCD 的四边上滑动,当 E , F 沿正方形的四边滑动一周时,

EF 的中点 M 所形成的轨迹为 G ,若 G 的周长为 l ,其围成的面积
为 S ,则 l ? S 的最大值为 .

E M B

思考:若 M 点是线段 EF 上任意一点,则 M 点的轨迹是什么?

F

C

75

76

第四类:阿波罗尼斯圆问题 思考:已知动点 M 与两定点 A 、 B 的距离之比为 ? (? ? 0) ,那么点 M 的轨迹是什么? 引例 1:满足条件 AB ? 2,AC ? 2BC 的?ABC 的面积的最大值是_________.
2

引例 2:已知点 A(?2 , 0),B(4 , 0),圆 C : ? x ? 4? ? y2 ? 16 ,P 是圆 C 上任意一点,问是 否存在常数?,使得

PA ? ? ?若存在,求出常数?;若不存在,请说明理由. PB
y

P

B x O 2 变式 1:已知点 A(?2 , 0),圆 C : ?x ? 4 ? ? y 2 ? 16 ,P 是圆 C 上任意一点,问:在平面上是
否存在点 B,使得

· C A

PA 1 ? ?若存在,求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由. PB 2
y

P B · C A O x

变式 2:已知点 A(?2 , 0),B(4 , 0),圆 C : ? x ? 4? ? ? y ? b ? ? 16 ,P 是圆 C 上任意一点,
2 2



PA 为定值,求 b 的值. PB

第五类:运动轨迹面积问题

76

77

已知圆 M: (x ? cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1, 直线 l:y=kx,给出下列四个命题:
1 对任意实数 k 和 ? ,直线 l 与圆 M 相切 ○ 2 对任意实数 k 和 ? ,直线 l 与圆 M 有公共点 ○ 3 对任意实数 ? ,必存在实数 k,使得直线 l 与圆 M 相切 ○ 4 对任意实数 k,必存在实数 ? ,使得直线 l 与圆 M 相切,其中正确命题的序号为______ ○

思考 1:圆扫过的面积是多少? 思考 2:已知 l1 和 l 2 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点是 A ,动点 B, C 分别在 l1 和 l 2 上,且 BC ? 3 2 ,过 A, B, C 三点的动圆所形成的区域的面积为__________ 思考 3:已知点 P 在椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )上运动,点 F 为椭圆的右焦点,以 P a2 b2

为圆心, PF 为半径做圆,当 P 在椭圆上扫过一周时,形成的轨迹图像的面积为_______

第六类:圆(圆锥曲线)的一组切线方程问题 引例:已知圆方程为 x ? y ? r ,则过圆上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程是_________
2 2 2

1: 圆方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 则过圆上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程为_______
2 2 2

2:圆方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,过圆上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程为_____
2 2

3:椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,则过椭圆上一点 P( x0 , y0 ) 的椭圆的切线方程为________ a2 b2

这个点和这条切线的几何背景是什么?极点和极线 4: 双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, 则过双曲线上一点 P( x0 , y0 ) 的双曲线的切线方程为______ a2 b2
2

5: 抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) , 则过抛物线一点 P( x0 , y0 ) 的抛物线的切线方程为___
77

78

6:已知圆方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,则过圆外一点 P( x0 , y0 ) 作圆的两条切线,切点分别是

A, B ,则相交弦直线的方程为______________

第七类:圆的公切线问题 引例:设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1) 2 ? ( y ? 3k ) 2 ? 4(k ? N * ) ,求这组圆的公切线方程 引例中的一组圆的半径是定值,如果半径是变量,怎么求一组圆的公切线方程呢?

变式: 有一组圆 Ck : ( x ? 2m ? 1) 2 ? ( y ? m ? 1) 2 ? 4m2 (m ? 0) , 求这组圆的公切线方程. 练习:有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .四个命题中: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . 其中真命题的代号是 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 D.所有的圆均不 经过原点 .

. (写出所有真命题的代号)

第八类:圆的包络问题 设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,下列命题: ① M 中所有直线均经过一个定点;② 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 ③ 对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 ④ M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 ⑤ 存在一个圆与所有直线相交; ⑥ 存在一个圆与所有直线不相交; ⑦ 存在一个圆与所有直线相切; 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

专题 6:椭圆(圆锥曲线)中的系列问题研究
78

79

问题 1:椭圆定义知多少? (1)第一定义的数学语言刻画:______________________________(_____________) 例:一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,则动圆圆心 的轨迹方程为_________ 例:已知圆柱的底面半径为 4, 与圆柱底面成 30 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,建立 适当的坐标系,求椭圆的标准方程与离心率__________________能否对结论做一般推广? (2)第二定义(也称为圆锥曲线的统一定义) :__________________________________
?

b2 (3) 椭圆第三定义: 与两个定点 B(?a, 0) , C (a, 0) 连线的斜率乘积等于定值 ? 2 (a, b ? 0) a
的动点 A 的轨迹方程是 思考 1:考虑其逆命题,成立吗? _____,其轨迹是_______________________

y A

结论 1:椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个顶点与椭圆上 a2 b2 B

y
o
C x

除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为



思考 2:能否对结论 1 作一般性推广?结论如何?

思考 3:在双曲线中能否给出类似的结论?
2 y2 已知 AB 是过双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的中心的一条弦, P 是双曲线上异于顶点的一点,设直线 a b

PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 ? k2 =___________
结论 2:椭圆

y A

x y ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意经过原点的弦 a2 b2

2

2

B

y
o
C
79

的两个端点与椭圆上的任一点(除这两点外)连线斜率 之积为

x

80

【高考试题背景探源】 (江苏 2011 高考第 18 题)在平面直角坐标系 xOy 中,M , N 分别是椭
2 2 圆 x ? y ? 1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P

4

2

作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k. (1)若直线 PA 平分线段 NM 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 你能利用我们所探究的结论来解决(3)吗?

y

y
M

P B

o
C
A

x

N

2 2 思考 1: (4)如图,若 D 为椭圆 x ? y ? 1 的右顶点,直线 AD、PD 交直线 x ? 3 于 E , F 两

4

2

点,则 EF 的最小值为



y

你能利用我们所探究的结论来解决(4)吗?

o

y

P

D

E

x
A

F

思考 2:请将圆中的其它性质类比到椭圆中,进行探究. (1)圆的垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦.类比:椭圆中,过原点平分 椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值?(假设它们的斜率存在);

(2)圆的切线定理:过切点的直径垂直于圆的切线.类比:椭圆中,椭圆上一点与原点
80

81

连线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值?(假设它们的斜率存在).

思考 3:以江苏 2011 年高考试题第 18 题为例,能否对第(3)问的结论作一般性研究?即 对于椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,满足题设的 PA、PB 的斜率乘积是否为定值? a2 b2

练习: 1.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆
2 x ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,B,C 分别为椭圆的 a 2 b2 2

y B

上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D . 若
cos ?F1 BF2 ? 7 ,则直线 CD 的斜率为 25

F1

O

F2 D

x

C 2. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1与 x 轴交与 A, B 两点, P 是椭圆上任一点,直线 PA, PB 分别与直线 4

x?

10 交与 M , N 两点,问以 MN 为直径的圆是否过定点? 3

3. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A ,过 A 作两条互相垂直的弦 AM , AN 交椭圆于 4
81

82

M , N 两点(1)当直线 AM 斜率为 1 时,求点 M 的坐标
(2)当直线 AM 斜率为 k 时,直线 MN 是否过 x 轴上的一定点
y M

A N

O

x 4:已知 A, B 是椭圆

x2 P ? y 2 ? 1上关于 x 轴对称的两点, 4

是椭圆

上任一点,直线 PA, PB 分别与 x 轴交于点 M (m,0), N (n,0) 两点,求证:

mn 为定值

问题 2:圆锥曲线中一类对称问题研究

x2 y2 ? ? 1 有不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 引例: 试探究是否存在实数 m , 使得椭圆 4 3
对称?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由;

P 为线段 AB 的中点, 结论: 若直线 AB 交椭圆于 A, B 两点, 且 AB 不与 x 轴垂直, 则_____
2 2 变式 1:已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1相交于 A, B 两点,是否存在实数 k ,

使 A, B 两点关于直线 x ? 2 y ? 0 对称?若存在,求出实数 k 的值,不存在,请说明理由

82

83

变式 2:已知抛物线 C : y 2 ? x 与直线 l : y ? kx ?

3 ,试问 C 上是否存在关于直线 l 对称 4

的两点?若存在,求出实数 k 的取值范围;若不存在,请说明理由

变式 3:中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的一个顶点为 B(0,?1) ,右焦点到直线

m : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在斜率 k ? 0 的直线 l 交于 M , N 两点,使得 BM ? BN ?若存在,求出 k 的 取值范围;若不存在,请说明理由

问题 3:焦点三角形面积问题 引例: 已知椭圆方程为

x2 y2 P 是椭圆上异于 F1 , F2 F1 , F2 是其左右焦点, ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

的任意一点,若已知 ?F1 BF2 ? ? ,求证: ?F1 BF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

思考:情况可否推广到双曲线中?结论如何?

83

84

x2 y 2 练习:已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是准线上 a b
一点,且 PF1 ? PF2 , PF 1 ? PF 2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是

问题 4:一类向量成定比问题研究

3 x2 y2 引例: 已知椭圆 C : , 过右焦点 F 且斜率为 k( k ? 0 ) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
的直线与 C 相交于 A, B 两点,若 AF ? 3FB ,则 k ? ______ 练习:已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 b2

C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为_______.

问题 5:几类椭圆中点的存在性问题研究

x2 y2 引例 1:已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , F1 , F2 是椭圆的左、右焦点,试问在椭圆 a b
上存在几个点 P ,使得 PF 1 ? PF 2?

x2 y 2 引例 2:已知 F1, F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,l 为右准线,若椭圆 a b
上存在一点 P ,使 PF1 是 P 到直线 l 的距离的 3 倍,则离心率的取值范围为 .

84

85

x2 y 2 练习:已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) ,若椭圆上 a b
存在一点 P 使

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为 ? sin PF1F2 sin PF2 F1



若将比值形式变为乘积形式,结论如何? 引例 3:在平面内,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,椭圆的离心率 a 2 b2



3 , P 点是椭圆上任意一点, 且 PF (1)求椭圆的标准方程; (2)以 1 ? PF 2 ? 4, 2

椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC ,这样的等腰直角三角形 是否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.

练习:已知曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 ,直线 l : kx ? y ? k ? 0 , O 为坐标原点. a

(1)讨论曲线 C 所表示的轨迹形状; (2)当 a ? 1 , k ? 2 时,求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长; (3)若直线 l 与 x 轴的交点为 P ,当 a ? 0 时,是否存在这样的以 P 为直角顶点的内接于 曲线 C 的等腰直角三角形?若存在,求出共有几个?若不存在,请说明理由.

85

86

问题 6:椭圆的极坐标方程的相关问题研究 引例:若以 F1 为极点,以 F1 x 作为极轴,设 P( ? ,? ) 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的任意一点, a2 b2

请利用椭圆的第二定义推导以左焦点为极点的椭圆的极坐标方程

思考 1:请利用椭圆的第二定义推导以右焦点为极点的椭圆的极坐标方程;

思考 2: 若过右焦点的直线 l 交椭圆于 P, Q 两点, 若设 P 点的极角为 ? , 写出 PF2 和 QF2 ;

思考 3: 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F ? 4m,0? a 2 b2

( m ? 0 , m 为常数) ,离心率等于 0.8,过焦点 F 、倾斜角为 ? 的直线 l 交椭圆 C 于 M 、

N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 ? ? 90? 时,
(3)试问

1 1 5 2 ? ? ,求实数 m ; MF NF 9

1 1 ? 的值是否与 ? 的大小无关,并证明你的结论. MF NF
y

N
F

86

O
M

x

87

【高考试题背景探源】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
y A P B

e) 和 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) .已知 (1 , 0) , F2 (c ,

? 3? e , ? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的离心率; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

F1

O

F2

x

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

87

88

思考:有没有其他解法?

问题 8:椭圆的极点和极线的相关问题研究 引例: (2010 年江苏高考 18 题)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ?1 9 5

的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F. 设过点 T( t , m )的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 . (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关)

88

89

【高考试题背景探源】

x2 y 2 椭圆极点和极线的定义与作图:已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),则称点 a b

P( x0 , y0 ) 和直线

x0 x y0 y ? 2 ? 1 为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的. a2 b

从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考: (1)若点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,则其对应的极线是什么? (2)椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么? (3)过椭圆外(上、内)任意一点 P( x0 , y0 ) ,如何作出相应的极线?

练习: (2009 年福建) 已知椭圆 C 的离心率 e=

, 长轴的左右端点分别为

(-2, 0) ,

(2,0),如图所示.(1)求椭圆 C 的方程; (2) 设直线 x=my+1 与椭圆 C 交于两点 P, Q, 直线 与 交于点 S,试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一

条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的 结论;若不是,请说明理由.

89

90

问题 7:解析几何中五类定的问题研究 类型 1:定直线问题

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 a 2 b2 5 C2 : x2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |? . 3 (Ⅰ ) 求椭圆 C1 的方程.
已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C1 : (Ⅱ ) 已知点 P(1,3) 和圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B , 在线段 AB 上取一点 Q ,满足: AP ? ?? PB , AQ ? ? QB ,( ? ? 0 且 ? ? ?1 ).求证:点 Q 总在某 定直线上.

类型二:定点问题 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1) 若直线 l 过点 A(4, 0) , 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 , 求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对 互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦 长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。

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类型三:定圆问题 x2 y2 2 已知椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 P(2, 2),设椭圆 E 的右准线 l 与 x a b 2 4 5 轴的交点为 A, 椭圆的上顶点为 B, 直线 AB 被以原点为圆心的圆 O 所截得的弦长为 .(1) 5 求椭圆 E 的方程及圆 O 的方程; (2) 若 M 是准线 l 上纵坐标为 t 的点,求证:存在一个异于 M 的点 Q,对于圆 O 上的任意 MN 一点 N,有 为定值;且当 M 在直线 l 上运动时,点 Q 在一个定圆上. NQ

类型四:定值问题 x2 y2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其焦点在圆 x2+ a b 2 y2=1 上.(1) 求椭圆的方程; → → → (2) 设 A、 B、 M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点), 且存在锐角 θ, 使OM=cosθOA+sinθOB. ① 求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值;② 求 OA2+OB2.

类型五:定角问题 已知圆 P : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,Q 为 x 轴上的动点,圆 Q 与圆 P 相外切,圆 Q 与 x 轴交于 M、 N 两点.在 y 轴上是否存在一异于原点的定点 A,使得 ?MAN 为定值?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明理由.
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92

问题 8:解析几何中的几类最值问题 1. 已知 P 为椭圆 值为__________ 2. 设椭圆 C : 值为______

x2 y2 ? ? 1 上的动点,Q 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的动点,则 PQ 的最大 4 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 恒过定点 A(1, 2) ,则椭圆的中心到准线的距离的最小 a 2 b2

x2 y 2 3. A,B 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上下顶点,若 P 是椭圆上一动点,当 P 与 A 点重 a b
合时,PB 的长度最大,则椭圆离心率的范围为_________.、
2 y2 变式:已知 F1, F2 分别是双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, P 为双曲线左支上任意一点,若 a b

PF2 2 的最小值为 8a ,则双曲线的离心率的取值范围为 PF1

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF+PA 5. 已知 F 是双曲线 4 12
的最小值为 变式 1:已知 F 是双曲线 最小值为 变式 2:已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M ,点 A 的坐标
2

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,A(3,2),P 是双曲线的动点,则 PF+2PA 的 4 12

为 ?4, a ? ,则当 a ? 4 时, PA ? PM 的最小值是___________

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