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必修一数学2.4二次函数与幂函数


第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.4

二次函数与幂函数

考点一 幂函数的图象和性质
x 例1(1)已知幂函数f(x)=(n +2n-2)·
2
n2-3n

(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞) 上是减函数,则n的值为( A.

-3 B.1 C.2

B)
D.1或2

点评:(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R) (2)α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立 (3)幂函数y=xα(α∈R)的奇、偶性,则α为奇数或偶数. 当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断

?1? ?1? ?1? ( 2)若a ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? , 则a , b, c的 大 小 关 系 是 ( D) ? 2? ? 5? ? 2? A.a ? b ? c B.c ? a ? b C .b ? c ? a D.b ? a ? c

2 3

2 3

1 3

( 3)已 知 幂 函 数 f(x) 的图像过点 2, 2 , 且f ( 2m ? 1) ? f ( m 2 ? m ? 1), 则m的 取 值 范 围 是 ( D) ? ? ? 5 ?1 ? ? 5 ?1 ? ? 5 ? 1 ? C .?? 1,2? D.? ? A.? ? ? , B . , ?? , 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

?

?

考点二
例2

二次函数图像性质及应用

已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式, 并写出f(|x|)单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立, 试求k的范围.
二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题

练习:(1)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有

1,2 最大值3,最小值2,则m的取值范围为________
(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1], ? ? ? ? 2 ,0 ? 都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________ . ? 2 ? ? ?

? ?

( 3)若 关 于 x的 不 等 式 x 2 ? x ? 3a ? 2至 少 有 一 个 正 数 解 ,则

D) 实 数a的 取 值 范 围 是 (
? 2 2? A.? ? , ? ? 3 3? ? 2 3? B .? ? , ? ? 3 4? ? 3 3? C .? ? , ? ? 4 4? ? 3 2? D.? ? , ? ? 4 3?

2 ? x x ?1 ? ( 4)设 函 数 g ( x )是 二 次 函 数 , f ( x) ? ? 若函数 x ? 1, ? ?x ?0,???, 则 函 数g( x )的 值 域 是 (B ) f ? g ( x )? 的值域是 A.?? ?,?1? ? ?1,?? ? B .?0,?? ? C .?? ?,?1? ? ?0,?? ? D .?1,?? ?

(5)已 知 函 数 f ( x ) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R), 集 合A ? ?x f ( x ) ? 0?, b的 取 值 范 围 是 ( D) C .?0,4? A.?? ?,0? ? ?0,???

B ? ?x f ( f ( x )) ? 0?, 若A ? B ? ?且 存 在 x0 ? B, x0 ? A, 则 实 数 B.?? ?,0? ? ?4,???

D.?? ?,0? ? ?4,???

考点三:分类讨论思想在二次函数最值中的应用
例3.已知f(x)=ax -2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值。
点拨 参数a的值确定f(x)图象的形状;a≠0时,函数f(x)的 图象为抛物线,还要考虑开口方向和对称轴位置
?a-2, 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型: a<1, ? 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动;当含有参数 f(x)min=? 1 ?- ,a≥1. 时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 ? a
2

练习:已知二 次函数 f ( x ) ? x 2 ? 6 x ? b(a , b ? R)的定义 域 ? b? 和值域 都是 ?1, 2 ? , 求b的值. ? ?

b=10

考点四:含有绝对值的二次函数
1.已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2 x x ? a a ? R (1)求 函 数 f ( x )的 单 调 区 间 ; ( 2)若 不 等 式 4 ? f ( x ) ? 16, 在?1,2?恒 成 立 , 求a的 取 值 范 围 .
1? ?5 ? ? ?? 1,? 2 ? ? ? 2 ,5? ? ? ? ?

?0,1?上 不 单 调 (1)若f ( x )在 区 间 , 求a的 值;
求 t的 取 值 范 围 .

2.已 知 函 数 f ( x ) ? x 2 ? ( a ? 4) x ? 3 ? a

?2,4?

( 2)对 于 任 意 的 a ? ?0,4 ?, 存 在x0 ? ?0,2?, 使 得 f ( x0 ) ? t ,

t ?1


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