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2011广东高考理科数学试题及答案解析


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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:柱体体积公式 V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.

线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

^

^

^

^

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? b ,其中 x, y 表示样本均值.

^

^

2

n 是正整数,则 a n - bn ? (a - b)(a n-1 ? a n-2b ???? abn-2 ? bn-1 )
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 设复数z满足(1 ? i) z ? 2,其中i为虚数单位,则z ? A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? 2i
2 2

D. 2 ? 2i

2.已知集合A ? ( x, y ) x, y为实数,且x ? y ? 1 ,B ? ( x, y ) x, y为实数,且y ? x ,

?

?

?

?

则A ? B的元素个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3. 若向量a,c满足a // b且a ? c,则c ? (a ? 2b) ? b, A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

4. 设函数f ( x)和g ( x)分别是R上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是 A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D.

f ( x) ? g ( x)是偶函数

f ( x) ? g ( x)是奇函数

?0 ? x ? 2 ? 5.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组? y ? 2 给定。若M ( x, y )为 ? x ? 2y ?
D上的动点,点A的坐标为( 2 ,1),则z ? OM ? OA的最大值为
A. 4 2 B. 3 2 C. 4 D. 3

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6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要 再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

1 2

B.

3 5

C.

2 3

D.

3 4

7.如图 1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3

8. S 是整数集 Z 的非空子集, 设 如果 ?a, b ? S , a ? , 有 b S 则称 S 关于数的乘法是封闭的. T , V 是 Z 若 的两个不相交的非空子集, T ? V ? Z ,且 ?a, b, c ? T ,有 abc ? T ; ?x, y, z ?V ,有 xyz ?V ,则下列结论 恒成立的是 A. T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 C. T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 B. T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的 D. T , V 中每一个关于乘法都是封闭的

二、填空题:本大题共 7 小题.考生 作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? 0 的解集是 10. x( x ? ) 的展开式中 x 4 的系数是
7

. . (用数字作答) .

2 x

11.等差数列 ?a n ?的前 9 项和等于前 4 项和,若 a1 ? 1, a k ? a 4 ? 0 ,则 k ? 12.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1 在 x ? 处取得极小值.

13.某数学老师身高 176cm,他爷爷,父亲,儿子的身高分别是 173cm,170cm 和 182cm,因儿子的身高与 父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) cm.

5 ? ? x ? 5 cos? ?x ? t 2 14. (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ? (0≤? <??)和 ? 4 ? y ? sin ? ?y ? t ?
(t∈R) ,它们的交点坐标为 .

15. (几何证明选讲选做题)如图 4,过圆 o 外一点 P 分别做 圆的切线和割线交圆于 A,B 两点,且 PB=7,C 是圆上一点使 得 BC=5, ?BAC ? ?APB, 则 AB= .
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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

), x ? R .

(2)设 ? , ? ? [0,

?

? 10 6 ] , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 2 13 5

(纯 word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:www.maths168.com) 17. (本小题满分 13 分) 为了解甲,乙两厂的产品质量,采取分层抽样的方法从甲,乙两厂的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量 产品中微量元素 x, y 的含量(单位:毫克) .下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

x
y

(1) 已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2) 当产品中微量元素 x, y 满足 x ? 175 且 y ? 75 时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙 厂生产的优等品的数量; (3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中, 随即抽取 2 件, 求抽出的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其 均值(即数学期望) .

18. (本小题满分 13 分) 如图 5,在锥体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形,且 ?DAB ? 60? , PA ? PD ? F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD⊥平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值.

2 ,PB=2,E,

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19. (本小题满分 14 分) 设圆 C 与两圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 , ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切. (1) 求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2) 已知点 M(

3 5 4 5 , ) ,F( 5 ,0) ,且 P 为 L 上的动点,求 MP ? FP 的最大值及此 5 5

时点 P 的坐标.

20. (本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 {a n } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {a n } 的通项公式;

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

b (2)证明:对于一切正整数 n , an ? n ?1 ? 1 . 2

n ?1

21. (本小题满分 14 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 上 , 给 定 抛 物 线 L : y ?

1 2 x , 实 数 p, q 满 足 p 2 ? 4q ? 0 , x1 , x2 是 方 程 4

x 2 ? px ? q ? 0 的两根,记 ? ( p, q) ? max{| x1 |,| x2 |} .
(1) 过点 A( p0 ,

1 2 p0 )( p0 ? 0) 作 L 的切线交 y 轴于点 B.证明:对线段 AB 上的任一点 Q( p, q) ,有 4 |p | ? ( p, q ) ? 0 ; 2

(2) 设 M (a, b) 是定点,其中 a, b 满足 a 2 ? 4b ? 0, a ? 0 .过 M (a,b) 作 L 的两条切线 l1 , l2 ,切点分别

1 2 1 p1 ), E `( p2 , p2 2 ) ,l1 , l2 与 y 轴分别交于 F , F `. 线段 EF 上异于两端点的点集记为 X, 4 4 |p | 证明: M (a, b) ? X ?| p1 |?| p2 |? ? (a, b) ? 1 ; 2 1 5 2 (3) 设 D ? {( x, y ) | y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) ? } ,当点 ( p, q) 取遍 D 时,求 ? ( p, q) 的最小值(记为 4 4
为 E ( p1 ,

? min )和最大值(记为 ? max ) .

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