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2012-2013年高二理科数学期中考试试卷


世铿中学高二期中考试
数学试卷理科试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,
1.设集合 P A. P
? { x | x ? 1} , Q ? { x | x ? x ? 0}
2

,则下列结论正确的是 C. P ? Q D. Q ? P

? Q

B. P

r />
?Q ? R

x 2.已知 f ( x ) 是定义在R上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? 3 ,则 f ( ? 2 ) ?

1

A.1 3.设等差数列

B. ? 1

?

11 4

C. 4
Sn

D. ,则

{a n }

的前 n 项和为



a2 ? a4 ? 6

S5

等于

A.10 B.12 C.15 D.30 4.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选定 一点C,测出AC的距离为50m, ? ACB ? 45 , ? CAB ? 105 后,就可 以计算出A、B两点的距离为 A. 50
2m
? ?

B. 50

3m

C. 25

2m

D.

25 2

2

m

(第5题图)

5.设平面向量 a A.
5

? (1 , 2 ) , b ? ( ? 2 , y )

,若 a ∥ b ,则 | 3 a ? b | 等于 C.
?
4
17

B.

6

D.

26

6.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

个单位, 沿 y 轴向下平移1个单位,然后再把图

象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 y ? s i n x 的图象,则
y ? f

? x ? 的解析式为
? ?

A. y ? s in ? 2 x ?
?1 ?2

? ?

??1 4 ?

B. y ? s in ? 2 x ?
? ?1 ?2

?

? ?

??1 2 ?

C. y ? s in ?

x?

? ?

? ?1 4 ?

D. y ? s in ?

x?

? ?

? ?1 2 ?

1

x 7.设方程 lo g 4 x ? ( ) ? 0 、 lo g 1 x ? ( ) ? 0 的根分别为 x 1 、 x 2 ,则

1

1

x

4

4

4

A. 0 ?

x1 x 2 ? 1

B. x 1 x 2

?1

C. 1 ?

x1 x 2 ? 2

D. x 1 x 2

?2

8.已知 a、b、a+b 成等差数列,a、b、ab 成等比数列,且 log 值范围是 A. 0 ? c ? 1 B.
1? c ? 8

c

( ab ) ? 1 ,则

c 的取

C.

c ? 8

D.

0 ? c ? 1 或c ? 8

二,填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.如果 a ? 0 , ? 1 ? b ? 0 ,则 a b , a, a b 的大小关系是
2



10.已知-9,a1,a2,-1 成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 成等比数列,则 ( a 2 ? a 1 ) b 2 等 于
?



11.已知 x , y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____
?4 x ? 3 y ? 8 ? 0, ? 12.不等式组 ? x ? 0 , 表示的平面区域内的整点坐标是 ?y ? 0 ?

.

13.已知数列 { a n } 中, a 1
14.以下给出的是计算 应填入的条件是
1 2 ? 1 4

? 2
? 1 6

, a n ?1
? ????

? (1 ? 1 20

1 n

) a n ,则 { a n } 的通项公式为

.

的值的一个程序框图(如图所示),其中判断框内

2

三,解答题(本大题,共 80 分) 15.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x ? co s x ? co s 2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ? R ) (1)求函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 x ? [ ?
5? ? , ] ,求 f ( x ) 12 3

的取值范围.

16. (12 分)已知 ? a n ? 是等差数列,其中 a 1 ? 2 5, a 4 ? 1 6 (1)求 ? a n ? 的通项; (2)数列 ? a n ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 1 9 值。

17. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f ( x ) ? x ?
2 x ?1

.

(1) 当 x ? (1, ?? ) 时,求函数 f ( x ) 的最小值,并求出相应的 x 的值; (2) 求不等式 f ( x ) ? ? 2 的解集.

18. (14 分)某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知
3

木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时 和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B 型桌子 分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利润最大?

19.(本小题满分14分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? a ? 3 , g ( x ) ? mx ? 5 ? 2 m .
2

(Ⅰ)若 y ? f ( x ) 在[-1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a =0时,若对任意的 x 1 ∈[1,4],总存在 x 2 ∈[1,4],使 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实 数m的取值范围;

20. (14 分)已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 2 的等差中项, 等差数列 {b n } 中, b1 = 2 ,点 P ( b n , b n + 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. ⑴求 a 1 和 a 2 的值; ⑵求数列 {a n } , {b n } 的通项 a n 和 b n ; ⑶ 设 c n ? a n ? b n ,求数列 ? c n ? 的前 n 项和 T n .

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

4

答案

C

B

C

A

A

B

A

B

9, a ? ab

2

? ab

10, ±8

11,

1 16

12. (-1,-1)

13.

an ? 2n

14.i>20

三,解答题 15. 解: (1)? a 4 ? a 1 ? 3 d ? d ? ? 3 (2) ? 2 8 ? 3 n ? 0 ? n ? 9
1 3

? a n ? 2 8? 3 n

∴数列 ? a n ? 从第 10 项开始小于 0 (3) a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 1 9 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项 其和 S ? 1 0 ? 2 5 ?
?
10 ? 9 2 ? (?6) ? ?20

18. 解: (1)设 n ? ( x , y ), 由 m ? n ? ? 1 ,有 x ? y ? ? 1 由 m与 n 夹角为 ? ,有 m ? n ? | m | ? | n | ? cos
4 3 3 4
2

?? ?



? .
? x ? ? 1, ? x ? 0, 或? ? y ? 0. ? y ? ?1.

∴ | n | ? 1, 则 x ? y ? 1 . ②
2

?

由①②解得 ?

∴即 | n | ? ( ? 1, 0 ) 或 n ? (0 , ? 1). (2)由 n与 p 垂直知 n ? (0 , ? 1).
2 n ? p ? ( 2 sin A , 4 cos
2

?

?

?

??

?

A 2

? 2 ) ? ( 2 sin A , 2 cos A ),
2

∴ | 2 n ? p |?

4 sin

2

A ? 4 cos

A ? 2

5

17. 解: (1)∵ S ? ABC ?

1 2 3 2

ac sin B ?

1 2

ac sin 30 ? ?

1 4

ac ,

又 S ? ABC ?

3 2

,∴

1 4

ac ?

,∴ ac ? 6 。
a ? c ?b
2 2 2

……6 分

(2)∵B=30°,∴ ∴a ? c ? b ?
2 2 2

3 2

? cos 30 ? ?

, ……10 分

2 ac

3 ac ,

∴ (a ? c) ? b ? (2 ?
2 2

3 ) ac ,

又由 a , b , c 成等差数列知 a ? c ? 2 b ,而 ac ? 6 , 代入上式得 3 b ? 6 ( 2 ?
2

3 ) ,∴ b ?

3 ?1。
? 6 ) ? 1 ……………… ? 6
?? 6? ?

16.解: (1)由题设 f ( x ) ? 由 2k ? ?
? 2 ≤ 2x ? ? 6

3 sin 2 x ? c o s 2 x ? 1 ? 2 sin ( 2 x ? ? 2
? ? ? 3

3分

≤ 2k ? ?

,解得 k ? ?

? 3

≤ x ≤ k? ?



故函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间为 ? k ? ? (2)由 ?
5? 12 ≤ x≤ ? 3

,k? ?

( k ? Z )……………… 6 分

,可得 ?

2? 3

≤ 2x ? ? 6

? 6



?? 6

………………………… 8 分 10 分

考察函数 y ? sin x ,易知 - 1 ≤ s in ( 2 x ? 于是 - 3 ≤ 2 sin ( 2 x ?
? 6 ) ?1≤ 1.

) ≤ 1 …………………………

6

故 y ? f ( x ) 的取值范围为 [ ? 3,1] ……………………………………………… 12 分 19. 解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 ∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2,解得 a1=2 ……3 分

a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4
(2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 又 Sn—Sn-1=an, ( n ? 2 , n ? N *) ∴an=2an-2an-1, ∵an≠0, ∴
an a n ?1

? 2 ( n ? 2 , n ? N *) ,即数列{an}是等比树立∵a1=2,∴an=2

n

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1, (3)∵cn=(2n-1)2
n

……8 分

∴Tn=a1b1+ a2b2+?? anbn=1?2+3?2 +5?2 +?? ?? ??+(2n-1)2 , ∴2Tn=1?2 +3?2 +?? ??+(2n-3)2 +(2n-1)2
2 3 2 3

2

3

n

n

n+1

因此:-Tn=1?2+(2?2 +2?2 +??+2?2 )-(2n-1)2 , ? 即:-Tn=1?2+(2 +2 +?? ??+2 )-(2n-1)2 , ∴Tn=(2n-3)2 +6
n+1
3 4

n

n+1

n+1

n+1

7


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