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数学知识树


实践与探究
空间与图形

数与代数

初 中 数 学 知 识 结 构



二、编者的意图 、体例安排 、内在逻辑关系 体例安排 内在逻辑关系

编者的意图

提高能力

现代技术 改进呈现方式

培养精神意

识 数学课程

着眼长远发展

学生

教材

更新认识

数学

正确处理 关系
社会

遵循认知 规律

教师

营造氛围

关注需要 适应形势

编 者 的 意 图

学生

互动提供资源

提高兴趣

创造空间

二、编者的意图 、体例安排 、内在逻辑关系 体例安排 内在逻辑关系
介绍与正 文相关的 背景知识 有助于理 解正文的 问题

体例安排
为加深对相关内容的认识 扩大学生的知识面 运用现代信息技术手段学 习 实 验 与 探 究 阅 读 与 思 考

各栏目以问题、留白、 各栏目以问题、留白、 填空等形式为学生提供 思维发展、 思维发展、合作交流的 空间

探 讨 思 观 究 论 考 察

归 纳

小 贴 示

云 朵

观 察 与 猜 想

回顾与思考 知识结构图
综合性 实践性 开放性

正文

正文边空 选学

信 息 技 术 应 用

小结 练习 数学活动 习题 课上使用

所学 内容 的巩 固与 延伸

节、习题 章前图、 章前图、引言

课内课外作业 复习巩固 综合应用 拓广探索

导入新课材料

供学生预习

体 例 安 排

复习题

复习全章使用

二、编者的意图 、体例安排 、内在逻辑关系 体例安排 内在逻辑关系
突出重点

内在逻辑关系
如:代数式“先分散,后集 代数式“先分散, 中”,预备知识与方程问题 有机整合, 有机整合,整式中归纳提高 如:加强数形,用坐标的方 加强数形, 法处理更多内容( 法处理更多内容(二元一次 方程组.平移 对称.函数等 平移.对称 函数等) 方程组 平移 对称 函数等)

知识纵向逻辑结构

精简整合

内 在 逻 辑 关 系

知识横向联系

有弹性保基础供发展

如:按照“说点儿理”“说理”“推 按照“说点儿理”“说理”“推 ”“说理”“ ”“符号表示推理 等不同层次, 符号表示推理” 理”“符号表示推理”等不同层次,分阶 段培养推理能力,内容注重基础, 段培养推理能力,内容注重基础,留有发 展余地 如:方程和函数,按照一次和二次 方程和函数, 数量关系使方程和函数交替出现, 数量关系使方程和函数交替出现, 螺旋上升。 螺旋上升。从函数角度认识方程

螺旋上升的概念思想

改进学习方式

联系实际形成应用

利于主动学习

如:方程以实际问题为出发 点和归宿,建模型引概念, 点和归宿,建模型引概念, 讨论解法,用理论探究新问 讨论解法, 体现实践-理论 理论-实践 题,体现实践 理论 实践

三、教材内容

逆用公式
公 提 式 公 法 因 式 法

必须内容 补充 十 字 相 乘 法

数与代数3-1 数与代数
不改变 分式的值
分 组 分 解 法

平 方 差、 完 全 平 方

公因式

通分化 通分化 成同分 母

分母不变 分子相加 减

多项式除以 多项式除以 单项式 单项式除以 单项式除以 单项式 同底数幂 相除

通分 除法 基本性质 乘除 运算 乘方
分母中 含字母、 含字母、 分母 不为零

子积为子 母积为母

注:分子、 分子、 分母为多 项式时先 分解因式

化除法为 乘法

乘法公式 单项式与多项式 幂的乘法

乘法 运算
加减

an ?a? = n (n为整数) ? ? b ?b?

n

a ?n =

系数 相加 字母 不变

分式

分式方程 应用

去分母 是解

1 (n为整数) an

合并 同类项 项 次数

整式方程 解法 解方程
x=a

同类项

每个单项式 升降幂排列 最高 项的 次数

多项式

整式

检验 增根

意义

单项式
次数 系数
数 字

字母 指数 和

代 数 式

二次根 式
定义 性质
(1 )
(2)
(3)

运算
乘除

加减

a (a ≥ 0)

( a)
a
2

a (a ≥ 0 )双非负
2

= a (a ≥ 0)
= a

三、教材内容
y y

数与代数3-2 数与代数
o x o
b>0,图象在 > 图象在 x 一二四象限

Y 随 x 的 增 大 而 增 大

b>0,图象在 > 图象在 一二三象限

y
b=0,图象在 图象在 一三象限
o

y

o x 注意: 注意:过原点
y

x

b=0,图象在 图象在 二四象限

y
b<0,图象在 < 图象在 一三四象限
o

o x 一条直线

b<0,图象在 < 图象在 x 二三四象限

Y 随 x 的 增 大 而 减 小

Y 随 每x 一的 象增 限大 内而 减 小

图象在 一三象限

图象在 二四象限
y

y
o

x
双曲线

o

k>0 >

k<0 <

Y 随 每x 一的 象增 x 限大 内而 增 大

k>0 >

k<0 <

图象 性质
最优方案

K同号时, 有两交点。 K异号时, 有两个、一个 关系 或无交点

图象 性质 应用 解析式
柱形储藏室 轮船卸货 力学问题 电学问题

应用

一次函 数 解析式

反比例函 数

形如y=kx+b (k.b为常数,k≠0) 当b=0时, 是 正比例函数

一次 函数 与反 比例 函数

k x (k为常数, k ≠ 0) 形如y =

实际问题, 图象在第一 象限

三、教材内容
y y

数与代数3-3 数与代数
o x o
b>0,图象在 > 图象在 x 一二四象限

Y 随 x 的 增 大 而 增 大

b>0,图象在 > 图象在 一二三象限

y
b=0,图象在 图象在 一三象限
o

y

o x 注意: 注意:过原点
y

x

b=0,图象在 图象在 二四象限

y
b<0,图象在 < 图象在 一三四象限
o

o x 一条直线

b<0,图象在 < 图象在 x 二三四象限

Y 随 x 的 增 大 而 减 小

y
o
注意a、c、 k,g不为0

x

.
两条直线

加减消元

k>0 >

k<0 <

与一次函 数关系
注意a、c、 k,g不为0

代入消元

图象 与一次函数 的关系 实践与探索
形如kx+b=0 (k.b为常数,k≠0)

解法

.
二元一次 方程组

解法 实践与探索 一般式
?ax + by = k 形如? ?cx + dy = g

y=kx+b,k≠0, k,b为常数 最优方案

一元一 次方程 一般式

一元 一次 方程 和二 元一

实际问题的 解决

三、教材内容
看 图 象 能 口 述 性 质

数与代数3-4 数与代数
y

y
o

x

o

x

抛物线与x 抛物线与 轴的交点
有两交点

一元二次 方程的根
有两个不等根 X1, x2 ,

十字 相乘 法

万能 公式

化为 直接 开方

看 式 子 类 型 能 口 述 性 质

1.开口方向 开口方向 2.顶点坐标 顶点坐标 3.对称轴 对称轴 4.增减性 增减性 5.极值 极值

图象 性质

(x1,0)( x2,0 ) )

Δ>0 Δ=0 Δ<0
关系

有一交点 b ( ? 2a ,0) )

有两个等根 x1= x2 = ? b
2a

提 公 因 式 法

应用 平方 根

公 式 法

配 方 法

① y = ax 2 ② y = ax + k 2 ③ y = a(x ? h ) 2 ④ y = a(x ? h ) + k 2 ⑤ y = ax + bx + c
2

无交点

无实根

直 接 开 平 方 法
传播问题 行程问题

解法

类型 应用 二次函 数 解析式

磁道问题 利润问题 拱桥问题

一元二次方 程

应用

效率问题 面积问题

与y轴交点位置 轴交点位置 c>0.在正半轴 > 在正半轴 c=0.在原点 在原点 a<0.向下 左同右异 c<0.在负半轴 < 向下 < 在负半轴
开口方向. 开口方向 对称轴在y 对称轴在 a>0.向上 轴的位置 向上

y=ax2+bx+c (a.b.c为常数a≠0)

y = a(x ? h) + k
2

y =a(x?x1)(x?x2)

(a ≠ 0)

(a≠0)

二次 函数 与 一元 二次 方程

定义

ax2+bx+c=0 (a≠0)

三、教材内容
性质 等角的余角相等 余角.补角 等角的补角相等 余角 补角 角平分线

空间与图形6-1 空间与图形

和 相 为 定 性 等 1800 义 质
对邻 顶补 角角 一“放”二“靠” 三“推”四“画”

叠合法 度量法 定义.表示 定义 表示 度.分.秒互化 进位 计算 分 秒互化 进位.计算 尺规作角 直线 射线 线段 直线.射线 线段 直线 射线.线段 射线 角的比较 角的比较与运算

垂 直

画法 条件 判定

同位角相等 内错角相等 同旁内角互补

相交线 角的度量 借助角研究平 借助角 面内两条直线 的位置关系

平行公理.推论 平行公理 推论 平行线
同位角相等

关系
图形认识初 步
多姿多彩的图形 立体图形 平面图形

直线公理 表示与画法 寻找射线方法 表示与画法 计算与比较 性质

相交线.平行 相交线 平行 线

性质

内错角相等 同旁内角互补

辨认 展开图

确定有标记 的相对图

点与直线 位置关系

图形 认识 初步 相交 线平 行线

命题

分类 结构

三、教材内容
表 示 方 法 等 边 对 等 角 三 线 合 一 等 角 对 等 边 等 边 三 角 形

空间与图形6-2 空间与图形

定 义 条件 定义
镶嵌

要 素

已知两边 求第三边

应用 证明

弦图 毕达哥拉斯 苏菲尔德

外角和

概念 多边形 及其 内角和

性质

判定

特例
定理 内容 互逆命题

文字.符号 文字 符号 图形

内角和

勾股定理 等腰三角形
逆定理

内容 证明 应用

文字.符号 文字 符号 图形 全等

定义 内角和

有关的角
外角的性质

直角三角 形

知三边 定形状

三角形
有关线段 定义

锐角三角函数
解直角三角形 锐角三角函数

中线.角平分线 高.中线 角平分线 中线

三边关系

三 角 形

特殊值的运算

定义 计算
三边关系 锐角关系 边角关系

应用
坡度 仰.俯角 俯角 方位角

正弦 余弦 正切
符号.几何意义 符号 几何意义. 几何意义 特殊角的值

三、教材内容
正方形
形状:取决于 形状: 原四边形对角 线的 相等或 相等或垂直 轴对 称性

空间与图形6-3 空间与图形
旋转 不变性 等 对 等 定 理 圆 周 角 定 理 外心: 外心:是三边垂直平 分线的交点. 分线的交点 到三顶点的距离相等 形内; 锐—形内;直—斜边 形内 斜边 上;钝—形外 形外 圆 上 圆 外 内心: 内心:是三角平分 线的交点. 线的交点 到三边的距离相等 在三角形内

④ ②





垂 径 定 理

圆 内

中点 四边形

矩形

菱形

基本性质

点与圆

相交 相切

切线的 性质.判定 性质 判定 切线长 定理

边 判定 对角相等 性质 邻角互补 角 判定 性质 对角线 对角线 互相平分 判定 性质 判定 直角
作 高 线 延 长 两 腰

对边平行 且相等

性质

有关位置
③ ② ④
外 离

直线与圆 相离 圆与圆
内 含 外 切 内 切 相 交

平行四边形

弧等 弦等 圆心角等
有关计算: 有关计算: 中心.中心角 中心 中心角. 半径.边心距 半径 边心距

四边 形
梯形
辅助线
平 移 两 腰 平 移 对 角 线 利用腰中点 利用腰中点 割补成--割补成 全等三角形、 全等三角形、 平行四边形



等分圆周

正多边形
正多边形

等腰

四 边 形 与 圆

弧长.扇形 弧长 扇形
扇形s = nπr 2 360 1 或 = lr 2

弧长l =

nπr 180

圆锥的 侧面积、 侧面积、全面积

三、教材内容
作对称轴 作等腰三角形 作一点到两点距离相等 作一点到三点距离相等(外心) 作一点到三点距离相等(外心) 到两点距离 相等的点 点到两点 的距离相等

翻折后与 另一图形重合 对称点 定义 应用 特征 利用轴对称 制作图案

基 本 图 形 要素

空间与图形6-4 空间与图形
对 称 轴

判定 垂直平分线 对称轴 定义

用 坐标 表示 轴对 称

作:关于x轴、 关于 轴 y轴的对称点 轴的对称点 解决几何中的 极值问题

性质

关于轴对称 轴对称变换 静 静
要 素

基本图形 旋转中心 旋转方向 旋转角 对应点到旋转中心 的距离相等 旋转前.后的图形全等 旋转前 后的图形全等

一条直线 翻折后与 两部分重合 基本图形 方向 距离
前.后图形全等 后图形全等

轴对称图形



轴对 称
要素

图形的旋转

特 征

对应点与旋转中心所 连线段的夹角=旋转角 连线段的夹角 旋转角 旋转1800后与 旋转 其自身重合 对称中心是对称 点连线的中点 关于中心对称 两图形全等

平移
特征 动 应用

旋转角=1800 旋转角 中心对称图形

对应线段 平行且相等

利用平移 制作图案

(x,y)平移后 ) 平移过程 (x±a,y±b) ) 对应点坐标 的变化规律 右加左减 上加下减

图 形 的 全 等 变 换

旋转

中心对称

图案设计

旋转1800后与 旋转 关于原点对称 另一图形重合 用坐标表示 旋转 对称点的坐 标符号相反

用平移.轴对称和旋转 用平移 轴对称和旋转 的组合设计图案

三、教材内容

空间与图形6-5 空间与图形

到角两边距 离相等的点 点到角两边 的距离相等

对应点的坐标比 为k或-k 或

放大或缩小 图形

两图形相似 对应顶点的连线交于一点 对应边平行 外位似 内位似

适用于 直 角三角形

用坐标表示 位似变换

动 应用 性质 特征

判定 HL 性质 应用

对应角相等, 对应角相等, 对应边成比例, 对应边成比例, 周 长的比=相似比 长的比 相似比 面积 的比=相似比的平方 的比 相似比的平方 两角对应 相等 两边成比例 且夹角相等

适合 判定 所有 三角 形全 等

AAS ASA SAS SSS

角平分线

关系
条件

位似变换

性质

全等三角 形
性质 定义

相似三角形

判定 平行
三边对应 成比例

对应边、 对应边、角、周长 面积、中线、高线、 面积、中线、高线、 角平分线相等

表示方法

两个三角形 用符号≌ 用符号≌连接

完全重合 两个三角形

全等 三角形 与 相似 三角形

相似多边形 比例线段 性质

A字型 字型 X字型 字型

相似图形

形状相同

a c = b d

对应角相等, 对应角相等, 对应边成比例, 对应边成比例, 周 长的比=相似比 长的比 相似比 面积 的比=相似比的平方 的比 相似比的平方

三、教材内容
反映数据向其中 心值聚集的程度 反映数据分布的 离散程度

统计与概率

平 均 数

中 位 数

众 数

极 差

方 差

如何描述 数据

直方图 扇形图 条形图 统计表

集中趋势

离散程度

样本与 总体
应用

体验不 确定现 像

事件发生 可能性的 刻画
频率估计法

分析 描述
推断、 推断、预测

简单列举法

求法 整理

列举法

列表法 两步) (两步) 树形图( 树形图(两 步以上) 步以上)

统计

概率

收集

统计 与 概率

定义
意义

随机事件


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