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广东省惠州市2016届高三第一次调研考试数学(文)试题


机密★启用前

考试时间:2015 年 7 月 1 日

15:00-17:00

惠州市 2016 届高三第一次调研考试

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

考生注意:
1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上

.考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)设集合 P ? ?1,2,3,4?, Q ? ?x ? ?? ? x ? 2, x ? R? ,则 P ? Q 等于 ( (A) ??1 , ? 2,0,1, 2? (B) ?3 , 4? (C) ? 1? ) (D) ?1 , 2?

(2)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 3 2
(B) 5



(A) 3 2

(C) 2 5 ( ) (A) ?1 ? i

(D) 4 5 (B) ( 4 )

(3)设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则

1? i

2 ? z2 ? z ( C ) 1? i

( D ) ?1 ? i ) (C) 60
?

?ABC中,a ? 7 , b ? 3, c ? 2, 则?A=(
(A) 30
?

(B) 45

?

(D) 90 ) (D)8

?

(5)在等比数列 ?an ? 中,若 an ? 0 且 a3a7 ? 64 ,则 a5 的值为 ( (A)2 (B)4 (C)6

(6)函数 f ( x) ? sin (A)

3 ? 2

2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为 ( 3 3 4 7 (B) ? (C)3? (D) ? 开始 3 6
a=1,b=1

)

(7)已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值 为 16,则循环体的判断框内①处应填 ( (A) a ? 3? (B) a ? 3? (C) a ? 3? ) (D) a ? 3? ① 是 ? 否

b=2b
a=a+1

输出 b

(8) 向量 a ? (?1 , 2) 、b ? (1 , 3) ,下列结论中,正确的是( (A) a // b (C) a //(a ? b ) (B) a ? b (D) a ? (a ? b )

)

结束

(9) 如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为 ( (A)



40 3

(B)

32 3

(C)

16 3

(D)

28 3

(10)已知函数 f ( x) ? ? (A)0

? 2x
(B)4

, x ?1

?log3 ( x ? 1), x ? 1

,且 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 ? ( (C)0 或 4

) (D)1 或 3

(11)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 两点, 如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB = ( (A) 6 (B) 8 ) (C) 9 (D) 10

(12)对函数 f ( x ) ,在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值叫做函 数 f ( x) 的下确界.现已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,当

x ? [0,1] 时, f ( x) ? ?3x 2 ? 2 ,则 f ( x) 的下确界为 (
(A) 2 (B) 1 (C) 0

) (D) ?1

第Ⅱ卷
注意事项:

第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)若 sin(

?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? 2 5



(14)方程 x ? x ? n ? 0 ( n ?[0,1] ) 有实根的概率为
2



? x ? y ? 4, ? (15)已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x, 点 O 为坐标原点,那么 OP 的最大值 ? x ? 1, ?
等于 . (16)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? e x ( a ? R , e 为自然对数的底数),若函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处 的切线平行于 x 轴,则 a ? .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且满足 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 . (I) 求数列 {an } 的通项公式; (II)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

(18) (本小题满分 12 分) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85. (I) 计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ;
2

甲 8 9 5 x 0 6 2 7 8 9 6



1 1 3 1 1 6

(II)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式: 方差 s ?
2 2 2 2 x ? x ? ? ? xn 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? ,其中 x ? 1 2 . ? ? ? n n?

?

? ?

?

?

?

(19) (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 的交点为 G,AD ⊥平面 ABE , AE ? EB ,AE ? EB ? BC ? 2,F 为 CE 上的点,且 BF ? CE . (I) 求证: AE ⊥平面 BCE ; D C (II)求三棱锥 C ? GBF 的体积. G F A E (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在 x 轴上,半径为 4 的圆 C 位于 y 轴右侧,且与 y 轴相 切. (I) 求圆 C 的方程; (II)若椭圆 B

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,且左右焦点为 F1 , F2 .试探究在圆 C 上是否存 5 25 b

在点 P ,使得 ?PF1 F2 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必 具体求出这些点的坐标) .

(21)(本小题满分 12 分)
3 已知函数 f ( x) ? x ?

3 (a ? 1) x 2 ? 3ax ? 1,a ? R . 2

(I) 讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (II)当 a ? 3 时,若函数 f ( x ) 在区间 [ m,2] 上的最大值为 28 ,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分. 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于点 E , AD 垂直 CD 于点 D , BC 垂 直 CD 于点 C , EF 垂直 AB 于点 F ,连接 AE , BE . 证明: (Ⅰ) ?FEB ? ?CEB ; (Ⅱ) EF ? AD ? BC .
2

(23) (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ,以该直角坐标系的原 (t 为参数) ?y ? 2 ? t

点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为 ? ? ?2 cos? ? 2 3 sin ? . (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C 2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

(24) (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知 m ? 1 ,且关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 的解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.

惠州市 2016 届高三第一次调研考试
数 学 试 题 (文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 D 6 A 7 C 8 D 9 A 10 C 11 B 12 D

2015.7

1. 【解析】由题意 P ? Q ? ?1, 2? ,故选 D. 2. 【解析】由双曲线定义易知 c ? 5 ,故选 C.
2

2 ? z 2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i ,故选 B . z b2 ? c 2 ? a 2 9 ? 4 ? 7 1 ? ? , 且 A??0 , ? ? , 得 4. 【 解析 】 由余 弦定 理直 接 得 cos A ? 2bc 2 ? 3? 2 2
3. 【解析】由复数计算得

A ? 60? ,故选 C.
5. 【解析】由等比数列性质易知 a3a7 ? a5 ? 64 ,且 an ? 0 ,则 a5 ? 8 ,故选 D .
2

6. 【解析】函数解析式化简得 f ( x) ?

2 ? 2? 2 sin( x ? ) ,函数的周期为 T ? ? 3? ,由正弦 2 3 4 3 T 3 ? ? ,故选 A . 2 2

函数图像可 知相邻的两条对称轴间距离为半个周期,则

7. 【解析】 b 的值由 2,4,16 变化, a 也由 1,2,3 递变,由题意易知选 C. 8. 【解析】由 a ? b ? ? ?2, ?1? ,则易得: a ? (a ? b ) ? 0 ,故选 D .

?? ? ?? ?

?? ? ?? ? ?? ?

9. 【解析】由三视图得到其直观图(右上图所示) ,则体积为 ? [ (1 ? 4) ? 4] ? 4 ? 选 A.

1 3

1 2

40 ,故 3

10. 【解析】当 x ? 1 时,由 f ( x0 ) ? 2 0 ? 1 得 x0 ? 0 ;当 x ? 1 时,由 f ( x0 ) ? log3 ( x0 ?1) ? 1
x

得 x0 ? 1 ? 3 , 则 x0 ? 4 ,且两者都成立,故选 C. 11. 【解析】由抛物线方程可知 2 p ? 4 ,得 p ? 2 ;又由抛物线定义可知,点 A 到焦点的距离

等于其到准线 的距离,则 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8 ,故选 B. 12. 【解析】如右图所示,函数 f ( x ) 在 R 上的部分图象, 易得下确界为 ?1 ,故选 D.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13、 ?

7 25

14、

1 4

15、

10

16、

e
13【解析】由 sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ?
2

3 , 5 3 5
2

得 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? ( ) ? 1 ? ?

7 . 25 1 ,由几 4
1 . 4

14【解析】方程有实根时,满足 ? ? 1 ? 4n ? 0 ,得 n ? 何概型知 P ?

构成事件A的区域测度 试验的全部结果所构成的区域测度

, 得 P=

2 2 15【解析】如右图所示, | OP |max ?| OB |? 1 ? 3 ? 10 .

x 16 【解析】 直线平行于 x 轴时斜率为 0 , 由 f ?( x) ? a ? e 得 k ? f ?(1) ? a ? e ? 0 , 得出 a ? e .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 【 解 析 】 ( Ⅰ ) 设 数 列 {an } 的 公 差 为

d

, 由 题 意 知

? 2a1 ? 2d ? 8 ? ?2a1 ? 4d ? 12


????????2 分 得 ???????????????? , 4分

a1 ? 2 d ?
所 以

an ?

1

( a ?

1

n? )

d ? 2,

得n ?2

( ?

n

an ? 2n
( Ⅱ

???????6 分 ) 由 ( Ⅰ ) 可 得

Sn ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) ? n 2 ? n 2 2
∴ a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) , Sk ? k 2 ? k 因

?????8 分

a3 , ak ?1 , Sk

2 成 等 比 数 列 , 所 以 ak ?1 ? a3 Sk

, 从 而

(2k ? 2)2 ? 6(k 2 ? k ) , ???10 分
即 ∴

k 2 ? k ? 2 ? 0 , k ? N * ,解得 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去)

k?2

????????????????????12 分

18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (I)∵甲班学生的平均分是 85, ∴ ∴ x ? 5.

92 ? 96 ? 80 ? 80 ? x ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 .………1 分 7
…………………………………………………………………………… 3 分

则甲班 7 位学生成绩的方差为

s2 ?

2 2 2 1? ?6 ? ? ? ?7 ? ? ? ?5 ? ? 02 ? 02 ? 7 2 ? 112 ? ? 40 .………………… 6 分 ? ? ? ? 7?

( II ) 甲 班 成 绩 在 90 分 以 上 的 学 生 有 两 名 , 分 别 记 为 A, B , ………………………………… 7 分 乙 班 成 绩 在 90 分 以 上 的 学 生 有 三 名 , 分 别 记 为 ………………………… … 8 分 C, D, E . 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D? ,

? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ? D, E ? .
其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: ………10 分 记“甲班至少有一名学生”为事件 M ,则 P ? M ? ?

………………………………9 分 ………………… …

? A, B? , ? A, C ? , ? A, D? , ? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? .
7 , 10

即从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为

7 . … 12 分 10

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (I)证明:? AD ? 面 ABE , AD / / BC ,

? BC ? 面 ABE , AE ? 平面 ABE ? AE ? BC .…………………………………4 分 又? AE ? EB ,且 BC ? EB ? B , ? AE ? 面 BCE .……………………………………………………5 分 (II)∵在 ?BCE 中, EB ? BC ? 2 , BF ? CE , ∴点 F 是 EC 的中点,且点 G 是 AC 的中点,…………………… 7 分 1 ∴ FG / / AE 且 FG ? AE ? 1 . …………………………………8 分 2 ? AE ? 面 BCE ,? FG ? 面 BCE . GF G? ∴ 是 三 棱 锥
高 …………………………………………………………9 分 在 Rt ?BCE 中, EB ? BC ? 2 ,且 F 是 EC 的中点,

B

的 F

C

? S?BCF ?


1 1 1 S?BCE ? ? BE ? BC ? 1 .…………………………………………………………11 2 2 2

1 1 ?VC ? BFG ? VG ? BCF ? S?BCF ? FG ? . …………………………………………………………12 3 3


20. (本小题满分 12 分) 【 解
2







I























? x ? a?

? y 2 ? 16 ? a ? 0? . ………………………………………1 分
∵ 圆 与

y



相 切





a?4 .



圆 的

方 程



? x ? 4?

2

? y 2 ? 16 .……………………………4 分
c 4 4 x2 y2 , ∴ e ? ? , 且 a 2 ? 25 , 得 ? 2 ?1 的 离 心 率 为 a 5 5 25 b

(Ⅱ)∵椭圆

a ? 5 .……………5 分
∴ c ? 4 .∴ F 1 ? ?4,0 ? , F 2 ? 4,0 ? . ……6 分 ∴ …………………………

F2 ? 4, 0 ?









C .………………………………………………………………………7 分
? FF ( i ) 过 F2 作 x 轴 的 垂 线 , 交 圆 P 1, P 2 , 则 ?PF 1 2F 1 ? ?P 2 2 ? 1 90 , 符 合 题

意;…………9 分 (ii)过 F1 可作圆的两条切线,分别与圆相切于点 P 3, P 4,





CP3 , CP4





? ?F1P F3 ? ?2F P F ? 90 1

4









意.………………………………11 分 综 上 , 圆 C 上 存 在 4 个 点 P , 使 得 ?PF1F2 为 直 角 三 角

形. …………………………………12 分

21. (本小题满分12分) 【 解 析 】 ( I )

f ?(x)=3x2 +3? a ?1? x ??a ? 3? x ?1?? x ? a ? . ……………………………………………1 分


f ?( x) ? 0



x1 ? 1, x2 ? ?a .……………………………………………………………………2 分
( i ) 当 ?a ? 1 , 即 a ? ?1 时 , f ?( x)=3 ? x? 1 ? ? 0, f (x) 在 ? ??, ?? ? 单 调递
2

增. ………3 分 (ii)当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1时, 当 x ? x2或x ? x1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, x2 ? 和? x1,? ?? 内单调递增; 当

x2 ? x ? x1 时

f ?(x) ? 0



f (x)



? x2 , x1 ?

内 单 调 递

减. ………………………………4 分 (iii)当 ?a ? 1,即 a ? ?1 时, 当 x ? x1或x ? x2 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, x1 ? 和? x2 ,? ?? 内单调递增; 当

x1 ? x ? x2



f ?(x) ? 0



f (x)



? x1, x2 ?

内 单 调 递

减. ………………………………5 分 综上,当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??, x1 ? 和? x2 ,? ?? 内单调递增, f (x) 在 ? x1 , x2 ? 内 单调递减;当 当 a ? ?1时, f (x) 在 ? ??, ?? ? 单调递增; 当 a ? ?1时, f (x) 在 ? ??, x2 ? 和? x1,? ?? 内单调递增,

f (x)



? x2 , x1 ?











. (





x1 ? 1, x2 ? ?a )………………… 6 分
( II ) 当

a ?3





f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 1, x ?[m, 2]



f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ?1)


f ?( x) ? 0





x1 ? 1, x2 ? ?3 .………………………………………………………………… 7 分
将 x , f ?( x ) , f ( x) 变化情况列表如下:

x
f ?( x ) f ( x)

(??,?3)

?3
0 极大

( ?3,1)
?


1 0 极小

(1, 2 ]

?


?


…………………………………………………………………………………………… …………8 分 由 此 表 可 得

f ( x)极大 ? f (?3) ? 28



f ( x)极小 ? f (1) ? ?4 .…………………………………9 分


f (2) ? 3 ? 28 , ………………………………………………………………………………… 10
分 故 区 间 [ m , 2内] 必 须 含 有 ? 3 , 即 m 的 取 值 范 围 是

( ? ?, ? 3] .……………………………… 12 分

考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,评卷时请注意 看清题号。

22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 【 证 明 】 ( Ⅰ ) 由 直 线 ∠EAB. π ; 2

CD

与 ⊙

O

相 切 , 得 ∠CEB =

???????????????1分 由 AB 为 ⊙O 的 直 径 , 得 AE⊥EB , 从 而 ∠EAB + ∠EBF = ?????????3 分 π 又 EF⊥AB , 得 ∠FEB + ∠EBF = , 从 而 ∠FEB = ∠EAB. 故 ∠FEB = 2

∠CEB.

??5 分 是 公 共 边 , 得

( Ⅱ ) 由 BC⊥CE , EF⊥AB , ∠FEB = ∠CEB , BE Rt△ BCE≌Rt△ BFE, ???6 分 所以 BC=BF. 类 AF. 似 可 证 , Rt△ ADE≌Rt△ AFE ,



AD



?????????????????8 分 又 在 Rt△ AEB 中 , EF⊥AB , 故 EF2 = AF· BF , 所 以 EF2 =

AD· BC.

?????????10 分

23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 【 解 】( Ⅰ ) 由 C1 的 参 数 方 程 消 去 参 数 t 得 普 通 方 程 为

x ? y ?1 ? 0


??????????2 分

C2















( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,

?????????????4 分

所 以 圆 心 的 直 角 坐 标 为 (?1, 3) , 因 此 圆 心 的 一 个 极 坐 标 为

(2,

2? ). 3

????6 分 (答案不唯一,只要符合要求就给分)

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 圆 心 (?1, 3) 到 直 线 x ? y ? 1 ? 0 的 距 离

d?

?1 ? 3 ? 1 6 , ? 2 2


???8 分 以

AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ?

6 ? 10 . 4

????????????????10 分

24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 【解】 (Ⅰ)因为 m ? 1 ,不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 ,???????1 分 ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,????????????3 分

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 , (方法一:利用基本不等式)

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . ????????????5 分 ?m ? 1 ? 4

∵ (a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? (a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ) ,???????8 分 ∴ a2 ? b2 ?

9 9 ,∴ a 2 ? b 2 的最小值为 .????????????????10 分 2 2

(方法二:利用柯西不等式) ∵ (a2 ? b2 ) ? (12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1)2 ? (a ? b)2 ? 9 ,???????????8 分
2 2 ∴a ?b ?

9 9 ,∴ a 2 ? b 2 的最小值为 .????????????????10 分 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a ,
2 2 2 2 2 2 ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?

3 2

9 9 ? ,????????9 分 2 2

∴ a 2 ? b 2 的最小值为

9 . ????????????????????????10 分 2


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