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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)专题五 高考中的圆锥曲线问题


数学

北(文)

专题五 高考中的圆锥曲线问题
第九章 平面解析几何

基础知识·自主学习
考点自测
自我检测 查缺补漏

题号
1 2 3 4 5

答案
8

解析

C B B B<

br />
考点自测

高考题型突破

练出高分

高考题型突破
题型一
【例 1】

圆锥曲线中的范围、最值问题
(2012· 浙江改编)如图所
思维启迪 解析 思维升华

示,在直角坐标系 1 xOy 中, 点 P(1, ) 2 到抛物线 C:y2= 2px(p>0)的准线的 5 距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点, 4 A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上. (1)求曲线 C 的方程及 t 的值. |AB| (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m
考点自测 高考题型突破 练出高分

高考题型突破
题型一
【例 1】

圆锥曲线中的范围、最值问题
(2012· 浙江改编)如图所
思维启迪 解析 思维升华

示,在直角坐标系 1 xOy 中, 点 P(1, ) 2 到抛物线 C:y2=

(1)依条件, 构建关于 p, t 的方程; (2)建立直线 AB 的斜率 k 与线段

AB 中点坐标间的关系,并表示弦 2px(p>0)的准线的 5 距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点, AB 的长度,运用函数的性质或基 4 本不等式求 d 的最大值. A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB
的中点 Q(m,n)在直线 OM 上. (1)求曲线 C 的方程及 t 的值. |AB| (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m
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高考题型突破
题型一
【例 1】

圆锥曲线中的范围、最值问题
(2012· 浙江改编)如图所
思维启迪
2

解析

思维升华

示,在直角坐标系 1 xOy 中, 点 P(1, ) 2 到抛物线 C:y2=

p 解 (1)y =2px(p>0)的准线 x=- , 2 p 5 1 ∴1-(-2)=4,p=2,
∴抛物线 C 的方程为 y2=x.

2px(p>0)的准线的 又点 M(t,1)在曲线 C 上,∴t=1. 5 距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点, 4 (2)由(1)知,点 M(1,1),从而 n=m, A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 即点 Q(m,m), 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上. 依题意,直线 AB 的斜率存在,且不 (1)求曲线 C 的方程及 t 的值. 为 0, |AB| (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 设直线 AB 的斜率为 k(k≠0). 1+4m
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高考题型突破
题型一
【例 1】

圆锥曲线中的范围、最值问题
(2012· 浙江改编)如图所
思维启迪
2 ? y ? 1=x1, 由? 2 ? ?y2=x2,

解析

思维升华

示,在直角坐标系 1 xOy 中, 点 P(1, ) 2 到抛物线 C:y2=

且 A(x1,y1),B(x2.y2),

2px(p>0)的准线的 故 k· 2m=1, 5 距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点, 4 所以直线 AB 的方程为 A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 1 y-m= (x-m), 2m 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上.

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,

(1)求曲线 C 的方程及 t 的值. 即 x-2my+2m2-m=0. |AB| (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m
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高考题型突破
题型一
【例 1】

圆锥曲线中的范围、最值问题
(2012· 浙江改编)如图所
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2 ? ?x-2my+2m -m=0, 由? 2 ? ?y =x

示,在直角坐标系 1 xOy 中, 点 P(1, ) 2 到抛物线 C:y =
2

消去 x,

整理得 y2-2my+2m2-m=0,

所以 Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m, 2px(p>0)的准线的 2 5 y y = 2 m -m. 1 2 距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点, 4 1 从而 | AB | = 1 + · |y -y | A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB k2 1 2 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上. = 1+4m2· 4m-4m2
(1)求曲线 C 的方程及 t 的值. 2 2 = 2 ? 1 + 4 m ?? m - m ? |AB| (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m
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高考题型突破
题型一
【例 1】

圆锥曲线中的范围、最值问题
(2012· 浙江改编)如图所
思维启迪 解析 思维升华

示,在直角坐标系 1 xOy 中, 点 P(1, ) 2 到抛物线 C:y2=

|AB| ∴ d= =2 m?1-m? 1+4m2 ≤m+(1-m)=1,
1 当且仅当 m=1-m,即 m=2时,

2px(p>0)的准线的 5 距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点, 上式等号成立, 4 1 A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 又 m= 满足 Δ=4m-4m2>0. 2 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上. ∴d 的最大值为 1. (1)求曲线 C 的方程及 t 的值. |AB| (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m
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高考题型突破
题型一
【例 1】

圆锥曲线中的范围、最值问题
(2012· 浙江改编)如图所
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示,在直角坐标系 1 xOy 中, 点 P(1, ) 2 到抛物线 C:y2=

圆锥曲线中的最值问题解决方法一 般分两种:一是几何法,特别是用 圆锥曲线的定义和平面几何的有关

2px(p>0)的准线的 结论来求最值;二是代数法,常将 5 距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点, 圆锥曲线的最值问题转化为二次函 4 A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 数或三角函数的最值问题,然后利 的中点 Q(m,n)在直线 OM 上. 用基本不等式、函数的单调性或三

角函数的有界性等求最值. (1)求曲线 C 的方程及 t 的值. |AB| (2)记 d= 2,求 d 的最大值. 1+4m
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高考题型突破
跟踪训练 1 x2 y2 椭圆 C: + =1 的左顶点、右焦点分别为 A,F,直线 36 20

的方程为 x=9,N 为直线上一点,且在 x 轴的上方,AN 与椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证:MA⊥MF. (2)过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,求|PQ|的取值范围.

(1)证明

3 由题意得 A(-6,0),F(4,0),xN=9,∴xM= , 2

又 M 点在椭圆上,且在 x 轴上方,
5 3 得 yM= 2 , 15 5 3 5 5 3 → → ∴MA=(- 2 ,- 2 ),MF=(2,- 2 ),
75 75 → → ∴MA· MF=- 4 + 4 =0,∴MA⊥MF.
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高考题型突破
跟踪训练 1 x2 y2 椭圆 C: + =1 的左顶点、右焦点分别为 A,F,直线 36 20

的方程为 x=9,N 为直线上一点,且在 x 轴的上方,AN 与椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证:MA⊥MF. (2)过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,求|PQ|的取值范围.

(2)解

方法一

设 N(9,t),其中 t>0,

∵圆过 A,F,N 三点,
∴圆心在线段 AF 的中垂线上.

设圆心为(-1,b),半径为 r, 有 r= ?-1-4?2+b2= ?-1-9?2+?b-t?2,

t2+75 1 75 ∴b= = (t+ ), 2t 2 t
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高考题型突破
跟踪训练 1 x2 y2 椭圆 C: + =1 的左顶点、右焦点分别为 A,F,直线 36 20

的方程为 x=9,N 为直线上一点,且在 x 轴的上方,AN 与椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证:MA⊥MF. (2)过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,求|PQ|的取值范围.

|PQ|=2 r2-1=2 b2+24.

∵t>0,∴b≥

75 t·t =5 3,

75 当且仅当 t= t ,即 t=5 3时取“=”

∴|PQ|≥2 99=6 11.

∴|PQ|的取值范围是[6 11,+∞).
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高考题型突破
跟踪训练 1 x2 y2 椭圆 C: + =1 的左顶点、右焦点分别为 A,F,直线 36 20

的方程为 x=9,N 为直线上一点,且在 x 轴的上方,AN 与椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证:MA⊥MF. (2)过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,求|PQ|的取值范围.

方法二

设 N(9,t),其中 t>0,

∵圆过 A,F,N 三点,
∴设该圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

?36-6D+F=0, ? 有?16+4D+F=0, ?81+t2+9D+tE+F=0, ? 75 解得 D=2,E=-t- t ,F=-24,
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高考题型突破
跟踪训练 1 x2 y2 椭圆 C: + =1 的左顶点、右焦点分别为 A,F,直线 36 20

的方程为 x=9,N 为直线上一点,且在 x 轴的上方,AN 与椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证:MA⊥MF. (2)过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,求|PQ|的取值范围.

1 75 ∴圆心为(-1, (t+ t )), 2
半径 r= 1 75 2 25+4?t+ t ? ,
2

∴|PQ|=2 r -1=2

1 75 2 24+4?t+ t ? ,

75 ∵t>0,∴t+ t ≥2
考点自测

75 t·t =10 3,
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高考题型突破
跟踪训练 1 x2 y2 椭圆 C: + =1 的左顶点、右焦点分别为 A,F,直线 36 20

的方程为 x=9,N 为直线上一点,且在 x 轴的上方,AN 与椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证:MA⊥MF. (2)过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,求|PQ|的取值范围.

75 当且仅当 t= t ,即 t=5 3时取“=”
∴|PQ|≥2 99=6 11,

∴|PQ|的取值范围是[6 11,+∞).

考点自测

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高考题型突破
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
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【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
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高考题型突破

练出高分

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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
考点自测

既然圆过 y 轴上的点,即满足 →· → =0, MP MQ 对任意 P、 Q 恒成立 可待定 M(0,y1),也可给定特殊

(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于 的 P 点, 猜想 M 点坐标, 再证明.

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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程;

(1)解

依题意,得|OB|=8 3,

∠BOy=30° .

设 B(x, y), 则 x=|OB|sin 30° =4 3, y=|OB|cos 30° =12.

2 因为点 B (4 3 , 12) 在 x =2py 上, (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于

点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, 所以(4 3)2=2p×12,解得 p=2. 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 故抛物线 E 的方程为 x2=4y. 轴上某定点.
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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上.

(2)证明 1 y′= x. 2

方法一

1 由(1)知 y= x2, 4

设 P(x0,y0),则 x0≠0,且 l 的方 1 (1)求抛物线 E 的方程; 程为 y-y0= x0(x-x0), 2 (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于 1 1 2 即 y= x0x- x0. 2 4 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q,
证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
考点自测

1 12 -4 ? x2 ? ?x= 0 , ?y= x0x- x0, 4 2x0 由? 2 得? ? ? ?y=-1 ?y=-1.
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高考题型突破

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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
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?x2 ? ? 0-4 ? 为? ,-1?. ? 2x0 ?

【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于

所以 Q

→ → 设 M(0,y1),令MP· MQ=0 对满足 1 2 y0= x0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立. 4 → 由于MP=(x ,y -y ),
0 0 1 2

? → ? ?x0-4 ? MQ=? ,-1-y1?, ? 2x0 ? 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q,

→ → 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 由MP · MQ=0, x2 轴上某定点. 0-4 得 -y0-y0y1+y1+y2 1=0, 2
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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
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【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
考点自测

即(y2 1+y1-2)+(1-y1)y0=0.

(*)

1 2 由于(*)式对满足 y0=4x0(x0≠0)的 y0 恒成立,
? ?1-y1=0, 所以? 2 ? ?y1+y1-2=0,

解得 y1=1.

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的 定点 M(0,1).

1 1 方法二 由(1)知 y=4x2,y′=2x.
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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
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【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程;

设 P(x0,y0),则 x0≠0,

1 且 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 1 1 2 即 y= x0x- x0. 2 4
2

1 12 x0-4 ? ? ?x= y= x0x- x0, , (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于 由? 2 4 2 x 0 ? ? 得 ? 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, ? ?y=-1 ?y=-1.
证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
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所以 Q
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?x2 ? ? 0-4 ? 为? ,-1?. ? 2x0 ?

练出高分

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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
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【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于

取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),
以 PQ 为直径的圆为(x-1)2+y2=2,

交 y 轴于点 M1(0,1)或 M2(0,-1);
? ? 1? ? 3 取 x0=1,此时 P?1,4?,Q?-2,-1?, ? ? ? ?

以 PQ 为直径的圆为 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, ? 1?2 ? 3?2 125 ?x+ ? +?y+ ? = , 4 8 64 ? ? ? ? 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y
轴上某定点.
考点自测

交 y 轴于点
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? 7? M3(0,1)、M4?0,-4?. ? ?

练出高分

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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x2= 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于

故若满足条件的点 M 存在, 只能是 M(0,1).

以下证明点 M(0,1)就是所要求的点. → 因为MP=(x ,y -1),
0 0

2 x 0-4 → → 所以MP· MQ= -2y0+2 2 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y =2y0-2-2y0+2=0.

?x2 ? → ? 0-4 ? MQ=? , ,- 2 ? ? 2x0 ?

轴上某定点.
考点自测

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的 定点 M(0,1).
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题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
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【例 2】 (2012· 福建)如图,等边三 角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点 均在抛物线 E:x = 2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程;
2

求定点及定值问题常见的方法有 两种:

(1)从特殊入手,求出定值,再证明 这个值与变量无关.

(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于 (2)直接推理、计算,并在计算推理 点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q, 的过程中消去变量,从而得到定 证明:以 PQ 为直径的圆恒过 y 值. 轴上某定点.
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跟踪训练 2 x2 y 2 (2013· 江西)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e a b

3 = ,a+b=3. 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图所示,A、B、D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶 点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值.

考点自测

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3 c (1)解 因为 e= =a, 2 2 1 所以 a= c,b= c. 3 3
代入 a+b=3 得,c= 3,a=2,b=1. x2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)证明 方法一 因为 B(2,0),点 P 不为椭圆顶点,

1 则直线 BP 的方程为 y=k(x-2)(k≠0,k≠± 2), ?8k2-2 4k ? x2 2 ? ? ,- 2 ①代入 +y =1,解得 P? 2 ?. 4 4 k + 1 4 k + 1 ? ? 1 直线 AD 的方程为 y=2x+1.
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?4k+2 4k ? ? ? , ①与②联立解得 M? ?. 2 k - 1 2 k - 1 ? ? ?8k2-2 4k ? ? ? ,- 2 由 D(0,1),P? 2 ,N(x,0)三点共线知 ? 4k +1? ?4k +1

4k - 2 -1 ?4k-2 ? 4k +1 0-1 ? ,0? = ,解得 N? . 2 ? 8k -2 x-0 ?2k+1 ? - 0 4k2+1 4k -0 2k-1 4k?2k+1? 所以 MN 的斜率为 m= = 4k+2 4k-2 2?2k+1?2-2?2k-1?2 - 2k-1 2k+1 2k+1 = 4 .
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2k+1 1 则 2m-k= -k= (定值). 2 2 y0 方法二 设 P(x0,y0)(x0≠0,± 2),则 k= , x0-2 1 直线 AD 的方程为 y=2(x+2), y0 直线 BP 的方程为 y= (x-2), x0-2

y0-1 直线 DP 的方程为 y-1= x,令 y=0, x0
由于 y0≠1 可得
? -x0 ? ? ,0? N? ?, y - 1 ? 0 ?

考点自测

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? 1 ?y=2?x+2? 联立? , y ?y= 0 ?x-2? ? x0-2 ?4y0+2x0-4 ? 4y0 ? ? , 解得 M? ?, 2 y - x + 2 2 y - x + 2 0 0 0 0 ? ?

4y0 2y0-x0+2 因此 MN 的斜率为 m= 4y0+2x0-4 x0 + 2y0-x0+2 y0-1 4y0?y0-1? = 2 4y0-8y0+4x0y0-x2 0+4
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高考题型突破
4y0?y0-1? y0-1 = 2 = , 2 4y0-8y0+4x0y0-?4-4y0?+4 2y0+x0-2

2?y0-1? y0 所以 2m-k= - 2y0+x0-2 x0-2 2?y0-1??x0-2?-y0?2y0+x0-2? = ?2y0+x0-2??x0-2?

2?y0-1??x0-2?-2y2 0-y0?x0-2? = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 2?y0-1??x0-2?-2?4-x2 0?-y0?x0-2? = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 = (定值). 2
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
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【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 x2 y2 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= a b 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 3 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 值为 3. (1)求椭圆 C 的方程. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 且△OAB 的面积最大?若存在,求 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
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【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 x2 y2 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= a b 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 3 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 值为 3. (1)求椭圆 C 的方程. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 且△OAB 的面积最大?若存在,求 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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圆锥曲线中,这类问题的解题思 想是假设其结论成立、存在等, 在这个假设下进行推理论证,如 果得到了一个合情合理的推理结 果,就肯定假设,对问题作出正 面回答;如果得到一个矛盾的结 果,就否定假设,对问题作出反 面回答.

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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
解析 思维升华 思维启迪 【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 2 2 x2 y2 2 a - b c 2 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= a b 解 (1)∵e2= 2= 2 = , a a 3 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 3 ∴a2=3b2, C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 x2 y2 ∴椭圆方程为3b2+b2=1, 值为 3. (1)求椭圆 C 的方程. 即 x2+3y2=3b2. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: 设椭圆上的点到点 Q(0,2)的距离为 x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, d,则 且△OAB 的面积最大?若存在,求 2 2 2 2 d = ? x - 0 ? + ? y - 2 ? = x + ? y - 2 ? 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
解析 思维升华 思维启迪 【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 2 2 2 x2 y2 = 3 b - 3 y + ? y - 2 ? 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= a b 2 2 = - 2 ? y + 1 ? + 3 b +6, 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 3 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 ∴当 y=-1 时,d 取得最大值, 2 d = 3 b +6=3, 值为 3. max (1)求椭圆 C 的方程. 2 2 解得 b = 1 , ∴ a =3. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 3 +y =1. 2 2 x +y =1 相交于不同的两点 A、B, 且△OAB 的面积最大?若存在,求 (2)假设存在点 M(m, n)满足题意, 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 m2 2 则 + n =1, 积;若不存在,请说明理由. 3
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
解析 思维升华 思维启迪 【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 x2 y2 2 2 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= 即 m =3-3n . a b 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 设圆心到直线 l 的距离为 d′, 3 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 则 d′<1, 值为 3. |m· 0+n· 0-1| 1 (1)求椭圆 C 的方程. d′= = 2 2 2 2. m +n m +n (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: 2 2 ∴ | AB | = 2 1 - d ′ x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 1 1- 2 . 且△OAB 的面积最大?若存在,求 =2 m +n2 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
解析 思维升华 思维启迪 【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 1 x2 y2 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= ∴S△OAB= |AB|d′ a b 2 2 1 1 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 =1· 2 1 - · 3 2 m2+n2 m2+n2 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 1 ? 1 ? ? ? 值为 3. = 2?. 2 2?1- 2 m +n ? m +n ? (1)求椭圆 C 的方程. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, ∵d′<1,∴m2+n2>1, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, ∴0< 1 <1, 2 2 m + n 且△OAB 的面积最大?若存在,求 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 ∴1- 1 >0. 2 2 m + n 积;若不存在,请说明理由.
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
解析 思维升华 思维启迪 【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 x2 y2 1 ? 1 ? ? ? 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= ∴S△ = 2? a b 2 2?1- 2 OAB m +n ? m +n ? 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 3 1 ? ? 1 ?m2+n2+1-m2+n2?2 1 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 ≤ ? ? =2, 值为 3. 2 ? ? (1)求椭圆 C 的方程. 1 1 (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, 当且仅当m2+n2=1-m2+n2, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: 2 2 x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 即 m +n =2>1 时, 1 且△OAB 的面积最大?若存在,求 S △OAB 取得最大值 . 2 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
解析 思维升华 思维启迪 【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 x2 y2 ? 2 3 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= a b 2 2 ? ?m =2, ?m +n =2, ? 2 2 由 得? 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 ? ?m =3-3n 3 ?n2=1, 2 ? C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 ∴存在点 M 满足题意,M 点坐标为 值为 3. ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? (1)求椭圆 C 的方程. ? , ?,? ,- ?,?- , ? 2? ?2 2? ? 2 2? ? 2 (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, ? 6 2? n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: 或?- 2 ,- 2 ?, ? ? 2 2 x +y =1 相交于不同的两点 A、B, 1 且△OAB 的面积最大?若存在,求 此时△OAB 的面积为 . 2 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 x2 y2 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= a b 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 3 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 值为 3. (1)求椭圆 C 的方程. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 且△OAB 的面积最大?若存在,求 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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(1)存在性问题通常采用 “肯定顺 推法”,将不确定性问题明朗 化. 其步骤为假设满足条件的元素 (点、直线、曲线或参数)存在,用 待定系数法设出, 列出关于待定系 数的方程组,若方程组有实数解, 则元素(点、直线、曲线或参数)存 在;否则,元素(点、直线、曲线 或参数)不存在.
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题型三 圆锥曲线中的探索性问题
思维启迪 解析 思维升华 【例 3】 (2012· 广东)在平面直角坐标 x2 y2 系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2= a b 2 1(a>b>0)的离心率 e= , 且椭圆 3 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大 (2)反证法与验证法也是求解存在 值为 3. 性问题常用的方法. (1)求椭圆 C 的方程. (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m, n), 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B, 且△OAB 的面积最大?若存在,求 出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
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跟踪训练 3 已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1

的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从每条曲线上各取两个点, 将其坐标记录于下表中: x y 3 -2 3 -2 0 4 -4 2 2 2

(1)求 C1,C2 的标准方程; (2)是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F;②与 C1 交于 → ⊥ON → ?若存在,求出直线 l 的 不同的两点 M,N,且满足OM 方程;若不存在,说明理由.
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2 y 解 (1)设抛物线 C2:y2=2px(p≠0),则有 x =2p(x≠0), 据此验证四个点知(3,-2 3),(4,-4)在 C2 上,

易求得 C2 的标准方程为 y2=4x.

x2 y2 设椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0), a b ?4 2=1 ? a 2 把点(-2,0),( 2, )代入得? 2 ? 22+ 1 2=1 ?a 2b
2 ? ?a =4 解得? 2 ? ?b =1



x2 2 ,所以 C1 的标准方程为 4 +y =1.
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(2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-1), 与 C1 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).
x2 2 ? ? +y =1 由? 4 ? ?y=k?x-1?

消去 y 并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,
8k2 于是 x1+x2= , 1+4k2
4?k2-1? x1x2= . 1+4k2
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所以 y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]
2 2 2 4 ? k - 1 ? 8 k 3 k =k2[ - +1]=- . 1+4k2 1+4k2 1+4k2 → ⊥ON → ,即OM →· → =0,得 x x +y y =0. 由OM ON 1 2 1 2


(*)

4?k2-1? k2-4 3k2 将②③代入(*)式,得 - = =0, 1+4k2 1+4k2 1+4k2
解得 k=± 2,所以存在直线 l 满足条件,

且直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+y-2=0.

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1 .已知中心在 坐标 原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) , 且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 有 公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

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方法一

x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 a b
? ?c=2, 解得? ? ?a=4.

(a>b>0),且可知其左焦点为 F′(-2,0).
? ?c=2, 从而有? ? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8,

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的方程为16+12=1. 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2 ? 3 ?y=2x+t, 由? 2 得 3x2+3tx+t2-12=0. 2 ? x + y =1, ?16 12
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因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4,



|t| =4,解得 t=± 2 13. 9 +1 4

由于± 2 13?[-4 3,4 3],
所以符合题意的直线 l 不存在.
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x2 y2 方法二 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 4 9 ? ? 2+ 2=1, 且有?a b 2 2 ? a - b =4. ?

解得 b2=12,b2=-3(舍去).
2 2 x y 从而 a2=16.所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12

(2)同方法一.

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x2 y2 2.已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1), 4 2 Q(x2,y2)且 x1+x2=2. (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相 应的 P 点坐标.

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(1)证明

∵P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1+x2=2.



2 2 ? ?x1+2y1=4 x1≠x2 时,由? 2 2 ? x + 2 y ? 2 2=4



y1-y2 1 x1+x2 得 =-2· . x1-x2 y1+y2

设线段 PQ 的中点为 N(1,n), y1-y2 1 ∴kPQ= =-2n, x1-x2 ∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1),

∴(2x-1)n-y=0,
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1 该直线恒过一个定点 A( ,0). 2 1 当 x1=x2 时,线段 PQ 的垂直平分线也过定点 A( ,0). 2 1 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A( ,0). 2 1 (2)解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称,故点 B(-2,0). ∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,

∴x1=2-x2∈[0,2] , 12 2 1 7 9 2 2 |PB| =(x1+2) +y1=2(x1+1) +4≥4,

3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,|PB|min=2.
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3.如图, 已知直线 l: y=kx-2 与抛物线 C: x2=-2py(p>0)交于 A、B 两点,O 为坐 → +OB → =(-4,-12). 标原点,OA (1)求直线 l 的方程和抛物线 C 的方程; (2)若抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时, 求△ABP 面 积的最大值.

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? ?y=kx-2 (1)由? 2 ? ?x =-2py



,得 x2+2pkx-4p=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk, y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.
→ +OB → =(x +x ,y +y )=(-2pk,-2pk2-4) ∵OA 1 2 1 2 =(-4,-12),
? ?-2pk=-4 ∴? 2 ? - 2 pk -4=-12 ? ? ?p=1 ,解得? ? ?k=2



故直线 l 的方程为 y=2x-2, 抛物线 C 的方程为 x2=-2y.
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1 2
? ?y=2x-2 由? 2 ? ?x =-2y

3

4

5

6

(2)方法一

,得 x2+4x-4=0,

∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+22· ?-4?2-4· ?-4?=4 10.

12 设 P(t,-2t )(-2-2 2<t<-2+2 2), ∵|AB|为定值, ∴当点 P 到直线 l 的距离 d 最大时,△ABP 的面积最大. 12 1 |2t+ t -2| | ?t+2?2-4| 2 2 而 d= 2 , 2= 5 2 +?-1?
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又-2-2 2<t<-2+2 2, 4 5 ∴当 t=-2 时,dmax= . 5 ∴当 P 点坐标为(-2,-2)时,
4 5 4 10× 5 △ABP 面积的最大值为 =8 2. 2
方法二 设 P(x0,y0),依题意,知当抛物线在点 P 处的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大.

1 2 ∵y′=-x,∴x0=-2,y0=-2x0=-2,P(-2,-2).
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|2· ?-2?-?-2?-2| 4 4 5 此时点 P 到直线 l 的距离为 = = . 2 2 5 5 2 +?-1?
? ?y=2x-2 由? 2 ? ?x =-2y

,得 x2+4x-4=0,

∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+22· ?-4?2-4?-4?=4 10,
4 5 4 10× 5 故△ABP 面积的最大值为 =8 2. 2
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4.如图,椭圆长轴的端点为 A,B,O 为 椭圆的中心,F 为椭圆的右焦点,且 →· → =1,|OF → |=1. AF FB (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M,直线 l 交椭圆于 P,Q 两点, 问:是否存在直线 l,使点 F 恰为△PQM 的垂心,若 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
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x2 y2 解 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 c=1, a b → → 又∵AF· FB=(a+c)· (a-c)=a2-c2=1. ∴a2=2,b2=1, x2 2 故椭圆的标准方程为 2 +y =1. (2)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点, 且 F 恰为△PQM 的垂心, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

∵M(0,1),F(1,0),∴直线 l 的斜率 k=1.
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y=x+m ? ? 2 于是设直线 l 为 y=x+m,由?x 2 + y =1 ? 2 ?

得 3x2+4mx+2m2-2=0, 4 x1+x2=-3m,



2m2-2 x1x2= 3 . →· → =x (x -1)+y (y -1)=0. ∵MP FQ 1 2 2 1 又 yi=xi+m(i=1,2),



∴x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,
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即 2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0.

2m2-2 4m 将①②代入得 2· 3 - 3 (m-1)+m2-m=0,
4 4 解得 m=-3或 m=1,经检验 m=-3符合条件.

故存在直线 l,使点 F 恰为△PQM 的垂心, 4 直线 l 的方程为 y=x-3.
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x2 y2 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左,右顶 9 5 点分别为 A,B,右焦点为 F.设过点 T(t,m)的直线 TA, TB 与此椭圆分别交于点 M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m>0, y1>0,y2<0. (1)设动点 P 满足:|PF|2-|PB|2=4,求点 P 的轨迹; 1 (2)设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标; 3 (3)设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关).
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(1)解

设 P(x,y),由题知 F(2,0),B(3,0),A(-3,0),

则|PF|2=(x-2)2+y2,|PB|2=(x-3)2+y2,
由|PF|2-|PB|2=4,得(x-2)2+y2-[ (x-3)2+y2] =4,

9 9 化简,得 x=2.故点 P 的轨迹方程是 x=2. 1 (2)解 将 x1=2,x2=3分别代入椭圆方程,
并考虑到 y1>0,y2<0,得
? ?1 5? 20? M?2,3?,N?3,- 9 ?. ? ? ? ?

y-0 x+3 则直线 MA 的方程为5 = ,即 x-3y+3=0 2+3 -0 3
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y-0 x-3 直线 NB 的方程为 = ,即 5x-6y-15=0. 20 1 - -0 -3 9 3 ? ?x-3y+3=0, 10 ? 联立方程 解得 x=7,y= 3 , ? ?5x-6y-15=0, ? 10? 所以点 T 的坐标为?7, 3 ?. ? ? (3)证明 如图所示, 点 T 的坐标为(9,m).
y-0 x+3 直线 TA 的方程为 = , m-0 9+3 y-0 x-3 直线 TB 的方程为 = , m-0 9-3
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x2 y2 分别与椭圆 + =1 联立方程, 9 5

解得

?3?80-m2? ? ?3?m2-20? 40 m 20m ? ? ? ? ? , ,- M? , N 2 2? 2 2 ?. ? 80+m ? 20+m ? ? 80+m ? 20+m

3?m2-20? 20m y+ x- 2 20+m 20+m2 直线 MN 的方程为 40m 20m =3?80-m2? 3?m2-20?. + - 80+m2 20+m2 80+m2 20+m2

令 y=0, 解得 x=1, 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点(1,0).

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6.(2012· 上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2 -y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与 另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积. (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2 =1 相切,求证:OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2: 4x2+y2=1.若 M、 N 分别是 C1、 C2 上的动点, 且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

考点自测

高考题型突破

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? ? x2 2 2 ? 双曲线 C1: -y =1,左顶点 A?- ,0? ,渐近线 ? 1 2 ? ? 2

(1)解

方程为 y=± 2x.

不妨取过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 2? ? y= ,即 y= 2x+1. 2? ? ? 2 ? ?x=- 4 , ?y=- 2x, 解方程组? 得? ? ?y= 2x+1 ?y=1. ? 2 1 2 所以所求三角形的面积为 S=2|OA||y|= 8 .
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? 2? ?x+ ?

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设直线 PQ 的方程是 y=x+b. |b| 因为直线 PQ 与已知圆相切,故 =1,即 b2=2. 2 ? ?y=x+b, 由? 2 2 得 x2-2bx-b2-1=0. ? ?2x -y =1 ? ?x1+x2=2b, 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则? 2 ? x x =- 1 - b . ? 1 2

(2)证明

又 y1y2=(x1+b)(x2+b),
→ → 所以OP· OQ=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 =2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0.

故 OP⊥OQ.
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(3)证明

当直线 ON 垂直于 x 轴时,

2 3 |ON|=1,|OM|= 2 ,则 O 到直线 MN 的距离为 3 .
当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为
? y=kx? ?显然|k|> ?

2? ? , 2? ?

1 则直线 OM 的方程为 y=-kx. ? ?x2= 1 2, ? 4+k ? ?y=kx, 由? 2 2 得? 2 ? k ?4x +y =1 ?y2= 2, ? 4+k ?
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2 1 + k 所以|ON|2= . 4+k2
2 1 + k 同理|OM|2= 2 . 2k -1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,

3k2+3 1 1 1 3 所以d2=|OM|2+|ON|2= 2 =3,即 d= 3 . k +1

综上,O 到直线 MN 的距离是定值.
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