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高中数学(人教版)选修2-3教学设计:1.3《二项式定理》教案1


1.3 二项式定理
学习目标: 1 理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用;
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2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题; 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力 学习重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 授课类型:

新授课 课时安排:1 课时 教
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具:多媒体、实物投影仪

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教学过程: 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例:
0 n 1 n r n ?r r n n (1) (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) , 1 r r (2) (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn . r n ?r r 2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a b

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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有理项时要 注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课: 1 二项式系数表(杨辉三角)
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(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,二项式系
数表,表中每行两端都是 1 ,除 1 以外的每一个数都等于它肩上两 个数的和
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2.二项式系数的性质:
0 1 2 n r , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

以 r 为自变量的函数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2,? , n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图)

m n?m (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ Cn ) . ? Cn

直线 r ?

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ?1? k ? ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由 决定, , k k 2 n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取 2
(2)增减性与最大值.∵ Cn ?
k

n 是图象的对称轴. 2

得最大值;
n n ?1 n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大 值. (3)各二项式系数和:
1 r r ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn ,

0 1 2 r n 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn

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三、讲解范例: 例 1.在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
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0 n 1 n r n ?r r n n 证 明 : 在 展 开 式 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) 中 , 令

0 1 2 3 n a ? 1, b ? ?1 ,则 (1 ?1)n ? Cn , ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? (?1)n Cn 0 2 1 3 即 0 ? (Cn ? Cn ? ?) ? (Cn ? Cn ? ?) , 0 2 1 3 ∴ Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ?,

即在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
n

0 2 1 3 说明:由性质(3)及例 1 知 Cn ? Cn ?? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 .

www.ks5u.com 例 2.已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求: (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;
7 7

(3) | a0 | ? | a1 | ??? | a7 | .

解: (1)当 x ? 1 时, (1 ? 2 x) ? (1 ? 2) ? ?1,展开式右边为

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7
∴ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 , 当 x ? 0 时, a0 ? 1 ,∴ a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ? 1 ? ?2 , (2)令 x ? 1 , a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ① ②

令 x ? ?1 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 37

① ? ② 得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? ?1 ? 37 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? (3)由展开式知: a1 , a3 , a5 , a7 均为负, a0 , a2 , a4 , a8 均为正, ∴由(2)中①+② 得: 2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? ?1 ? 37 , ∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?

1 ? 37 . 2

?1 ? 37 , 2

∴ | a0 | ? | a1 | ??? | a7 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7

? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 37
2 10 3

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例 3.求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数
2 10

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(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] 解: (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ( 1 ? x) ? 1 ? (1 ? x)
( x ? 1)11 ? ( x ? 1) = , x
∴原式中 x 实为这分子中的 x ,则所求系数为 C11 例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 解:∵ (x ? 3x ? 2) ? (x ? 1) (x ? 2)
2 5 5
5 2 5
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3

4

7

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5

∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C1 5 ? 5x ,
4 在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C1 5 2 x ? 80x
5 5

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80x ) ? 5x (32) ? 240x , ∴此展开式中 x 的系数为 240
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例 5.已知 ( x ? 的常数项
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2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展开式 x2

2 4 2 解:依题意 C4 n : C n ? 14 : 3 ? 3C n ? 14C n

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又 Tr ?1 ? C ( x )
r 10 10 ? r

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2 r (? 2 ) r ? (?2) r C10 x x

10 ?5 r 2



10 ? 5r ? 0 ? r ? 2, 2
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2 ? T2?1 ? C10 (?2) 2 ? 180. 此所求常数项为 180

四、课堂练习: (1) ? 2 x ? 5 y ? 的展开式中二项式系数的和为
20

,各项系数的和为

,二项

式系数最大的项为第

项; . )

n (2) ( x ? ) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为

1 x

1 2 3 n 0 1 2 n ? 729 ,则 Cn (3) Cn + 2Cn + 4Cn + ?? 2n Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ?(

A. 63

B. 64
50

C. 31

D. 32

(4)已知: (2 ? 3x)

? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a50 x50 ,
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求: (a0 ? a2 ? ?? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? ?? a49 )2 的值 答案: (1) 2 , 3 , 11 ; (2)? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,
3 7 3 ∴ n ? 10 , T4 ? C10 ( x ) ( ) ? 120 x ;
20
20

1 x

(3)A. www.ks5u.com
r n ?r 五、小结 :1.性质 1 是组合数公式 Cn 的再现,性质 2 是从函数的角度研究的二项 ? Cn

式系数的单调性,性质 3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和; 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求 解二项展开式各项系数和的一种重要方法
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六、课后作业:

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七、板书设计(略) 八、课后记:
6
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求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 .
0 1 6 解: 0.9986 ? (1 ? 0.002)6 ? C6 ? C6 (?0.002)1 ? ?? C6 (?0.002)6 , 2 展开式中第三项为 C6 0.0022 ? 0.00006 ,小于 0.001 ,以后各项的绝对值更小,可忽略不 0 1 计,∴ 0.9986 ? (1 ? 0.002)6 ? C6 ? C6 (?0.002)1 ? 0.998 ,

一般地当 a 较小时 (1 ? a)n ? 1 ? na

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