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做几何证明题方法归纳


做几何证明题方法归纳

做几何证明题方法归纳
知识归纳: 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。 几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两 类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由

因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐 步向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于 表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离, 最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图 形分解成基本图形。 在更多时候需要构造基本图形, 在构造基本图形时往往需要添加辅助线, 以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。 证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。 例 1. 已知:如图 1 所示, ?ABC 中, ?C ? 90? ,AC ? BC,AD ? DB,AE ? CF 。 求证:DE=DF

A E D

C

F 图1

B

分析:由 ?ABC 是等腰直角三角形可知, ?A ? ?B ? 45? ,由 D 是 AB 中点,可考虑 连结 CD,易得 CD ? AD , ?DCF ? 45? 。从而不难发现 ?DCF ? ?DAE 证明:连结 CD

? AC ? BC ? ?A ? ?B

? ?ACB ? 90? ,AD ? DB ? CD ? BD ? AD,?DCB ? ?B ? ?A ? AE ? CF,?A ? ?DCB,AD ? CD ? ?A D E? ?CDF ? DE ? DF
说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的 平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然, 在等腰直角三角形中, 更应该连结 CD, 因为 CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长 ED 到 G,使 DG=DE,连
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结 BG,证 ?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例 2. 已知:如图 2 所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。 求证:∠E=∠F E
A D

B F 图2

C

证明:连结 AC 在 ?ABC 和 ?CDA 中,

? AB ? CD,BC ? AD,AC ? CA ? ?ABC ? ?CDA ( SSS ) ? ?B ? ?D ? AB ? CD,AE ? CF ? BE ? DF 在 ?BCE 和 ?DAF 中, ? BE ? DF ? ? ??B ? ?D ? BC ? DA ?
? ?BCE ? ?DAF ( SAS ) ? ?E ? ?F
说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注 意: (1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中, 平行与垂直是两种特殊的位置。 证两直线平行, 可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直 线垂直,可转化为证一个角等于 90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一” 来证。 例 3. 如图 3 所示,设 BP、CQ 是 ?ABC 的内角平分线,AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。 求证:KH∥BC

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A Q K B M 图3
分析:由已知,BH 平分∠ABC,又 BH⊥AH,延长 AH 交 BC 于 N,则 BA=BN,AH =HN。同理,延长 AK 交 BC 于 M,则 CA=CM,AK=KM。从而由三角形的中位线定理, 知 KH∥BC。 证明:延长 AH 交 BC 于 N,延长 AK 交 BC 于 M ∵BH 平分∠ABC

P H N C

? ∠ABH ? ∠NBH
又 BH⊥AH

? ∠A H B? ∠N H B? 90?
? ?ABH ? ?NBH ( ASA) ? BA ? BN,AH ? HN
同理,CA=CM,AK=KM ?KH 是 ?AMN 的中位线 BH=BH

? KH / / MN
即 KH//BC 说明: 当一个三角形中出现角平分线、 中线或高线重合时, 则此三角形必为等腰三角形。 我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。 例 4. 已知:如图 4 所示,AB=AC, ∠A ? 90? ,AE ? BF,BD ? DC 。 求证:FD⊥ED

A F
1 2 3

E

B
证明一:连结 AD

D 图4

C

? AB ? AC,BD ? DC ? ∠1 ? ∠ 2 ? 90? ,∠DAE ? ∠DAB ? ∠BAC ? 90? ,BD ? DC ? BD ? AD ? ∠B ? ∠DAB ? ∠DAE 在 ?ADE 和 ?BDF 中,

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? AE ? BF,∠B ? ∠DAE,AD ? BD ? ?ADE ? ?BDF ? ?3 ? ?1 ? ?3 ? ?2 ? 90? ? FD?ED
说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用 辅助线。 证明二:如图 5 所示,延长 ED 到 M,使 DM=ED,连结 FE,FM,BM A

F

E

B M

D

C

图5

? BD ? DC ?BDM ? ?CDE,DM ? DE ? ?BDM ? ?CDE ? CE ? BM,?C ? ?CBM ? BM / / AC ? ?A ? 90? ? ?ABM ? 90? ? ?A ? AB ? AC,BF ? AE ? AF ? CE ? BM ? ?AEF ? ?BFM ? FE ? FM

? DM ? DE ? FD?ED
说明:证明两直线垂直的方法如下: (1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证 二。 (2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。 (3)证明二直线的夹角等于 90°。 三. 证明一线段和的问题 (一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。 (截 长法) 例 5. 已知:如图 6 所示在 ?ABC 中, ?B ? 60? ,∠BAC、∠BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。 求证:AC=AE+CD

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B E
1 5

4 2 3

O

D

A

F 图6

6

C

分析:在 AC 上截取 AF=AE。易知 ?AEO ? ?AFO ,? ?1 ? ?2 。由 ?B ? 60? , 知 ?5 ? ?6 ? 60? ,?1 ? 60? ,?2 ? ?3 ? 120? 。? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 60? ,得:

?FOC ? ?DOC, ? FC ? DC
证明:在 AC 上截取 AF=AE

? ?BAD ? ?CAD,AO ? AO ? ?AEO ? ?AFO ? SAS ? ? ?4 ? ? 2 又 ?B ? 60? ? ?5 ? ?6 ? 60?

? ?1 ? 60? ? ?2 ? ?3 ? 120? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 60? ? ?FOC ? ?DOC ( AAS ) ? FC ? DC 即 AC ? AE ? CD
(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明 该线段等于较长线段。(补短法) 例 6. 已知:如图 7 所示,正方形 ABCD 中,F 在 DC 上,E 在 BC 上, ?EAF ? 45? 。 求证:EF=BE+DF

A
3 1 2

D

F

G

B E 图7

C

分析:此题若仿照例 1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长 CB 至 G, 使 BG=DF。 证明:延长 CB 至 G,使 BG=DF 在正方形 ABCD 中, ?ABG ? ?D ? 90? ,AB ? AD

? ?ABG ? ?ADF ( SAS ) ? AG ? AF,?1 ? ?3 又 ?EAF ? 45?

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? ?2 ? ?3 ? 45? ? ?2 ? ?1 ? 45?
即∠GAE=∠FAE

? GE ? EF ? EF ? BE ? DF
中考题: 如图 8 所示,已知 ?ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE= BD,连结 CE、DE。 求证:EC=ED E

F A

B
证明:作 DF//AC 交 BE 于 F ? ?ABC 是正三角形 ? ?BFD 是正三角形 又 AE=BD

C 图8

D

? AE ? FD ? BF ? BA ? AF ? EF

即 EF=AC

? AC / / FD ? ?EAC ? ?EFD ? ?EAC ? ?DFE ( SAS ) ? EC ? ED
题型展示: 证明几何不等式: 例题:已知:如图 9 所示, ?1 ? ?2,AB ? AC 。 求证: BD ? DC

A
1 2

B

D 图9

C E

证明一:延长 AC 到 E,使 AE=AB,连结 DE 在 ?ADE 和 ?ADB 中,

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? AE ? AB,?2 ? ?1,AD ? AD ? ?ADE ? ?ADB ? BD ? DE,?E ? ?B ? ?DCE ? ?B ? ?DCE ? ?E ? DE ? DC, ? BD ? DC
证明二:如图 10 所示,在 AB 上截取 AF=AC,连结 DF A
1 2

F B
则易证 ?ADF ? ?ADC

3 4

D 图10

C

? ?3 ? ?4 ,DF ? DC ? BFD ? ?3,?4 ? ?B ? ?BFD ? ?B ? BD ? DF ? BD ? DC
说明: 在有角平分线条件时, 常以角平分线为轴翻折构造全等三角形, 这是常用辅助线。 实战模拟: 1. 已知:如图 11 所示, ?ABC 中, ?C ? 90? ,D 是 AB 上一点,DE⊥CD 于 D,交 BC 于 E,且有 AC ? AD ? CE 。求证: DE ?

1 CD 2

C

E A D 图11 B

2. 已知:如图 12 所示,在 ?ABC 中, ?A ? 2?B ,CD 是∠C 的平分线。 求证:BC=AC+AD A

D

B 图12

C

3. 已知:如图 13 所示,过 ?ABC 的顶点 A,在∠A 内任引一射线,过 B、C 作此射线的 垂线 BP 和 CQ。设 M 为 BC 的中点。 求证:MP=MQ
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A Q B P 图13
4. ?ABC 中, ?BAC ? 90? ,AD?BC 于 D,求证: AD ?

M

C

1 ? AB ? AC ? BC? 4

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【试题答案】
1. 证明:取 CD 的中点 F,连结 AF

C
4 1

F

3

E B

A

D

? AC ? AD ? AF?CD ? ?AFC ? ?CDE ? 90? 又 ?1 ? ?4 ? 90? ,?1 ? ?3 ? 90? ? ? 4 ? ?3

? AC ? CE ? ?ACF ? ?CED ( ASA) ? CF ? ED 1 ? DE ? CD 2
2. 分析:本题从已知和图形上看好象比较简单,但一时又不知如何下手,那么在证明一 条线段等于两条线段之和时,我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截 成两部分,证明这两部分分别和两条短线段相等; “补短”即将一条短线段延长出另一条短 线段之长,证明其和等于长的线段。

E A D

B
证明:延长 CA 至 E,使 CE=CB,连结 ED 在 ?CBD 和 ?CED 中,

C

?CB ? CE ? ? ??BCD ? ?ECD ?CD ? CD ? ? ?CBD ? ?CED ? ?B ? ?E ? ?BAC ? 2?B ? ?BAC ? 2?E 又 ?BAC ? ?ADE ? ?E ? ?A D E? ?E, ? AD ? AE ? BC ? CE ? AC ? AE ? AC ? AD
3. 证明:延长 PM 交 CQ 于 R
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A Q B P M R C

? CQ?AP,BP?AP ? BP / / CQ ? ?PBM ? ?RCM 又 BM ? CM,?BMP ? ?CMR ? ?BPM ? ?CRM ? PM ? RM ? QM 是 Rt?QPR 斜边上的中线 ? MP ? MQ
4. 取 BC 中点 E,连结 AE

A

B

D

E

C

? ?BAC ? 90? ? 2 AE ? BC ? AD?BC, ? AD ? AE

? BC ? 2 AE ? 2 AD ? AB ? AC ? BC

? 2 BC ? AB ? AC ? BC ? 4 AD ? AB ? AC ? BC ? AD ? 1 ? AB ? AC ? BC ? 4

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