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揭阳市第二次高考模拟考数学(理科)


绝密★启用前

揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需

改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ,则下列表示正确的是 A. ?1 ? A B. ?11 ? A C. 3k ? 2 ? A D. 3k ? 1? A
2

2.已知复数 z ? 1 ? i ,则 A. 2

z2 ? 1? z
C. 2i ”的否定 P 为 B. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2x D. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2 x
?

B. -2

D. -2i

2 3.命题 P: “ ?? x Rx, ? ? 1 2 x

A. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2x C. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2 x 4.已知 sin(? ? ? ) ?

1 ,则 cos 2? ? 3
B.

A.

4 2 9

8 9

C. ?

7 9

D.

7 9

,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 a ? ? b 与向量 c ? (?5, ? 6) 共线,则 ? 的值为 5.设向量 a ? (1
A.

4 3

B.

4 13

C. ?

4 9

D. 4

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? x? y ?5 ? 0 ? y x ? 2 y ?1 ? 0 6.已知变量 x , y 满足约束条件 ? ,则 的最小值是 ? x ?1 ? 0 x ?
A.1 B. 4 C.

2 3

D.0

7.已知点 P 在抛物线 x2 ? 4 y 上,那么点 P 到点 M (?1, 2) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取 得最小值时,点 P 的坐标为 A. (1, )

1 4

B. ( ?1, )

1 4

C. (?1, 2)

D. (1, 2)

8.连续掷一正方体骰子(各面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)两次得到的点数分别为 m、n,作 向量 a ? (m, n) ,若 b ? (1, ?1) ,则 a 与 b 的夹角成为直角三角形内角的概率是 A.

5 9

B.

7 12

C.

5 12

D.

7 10

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (3, ) ,则 log 1 f (2) 的值为
2

1 3


h

10. (2 x ?

1 6 ) 展开式中的常数项为 x



5 正视图

侧视图

11.图 1 中的三个直角三角形是一个体积为 30cm 的几何体的三视图,6 则侧视图中的 h=_________cm. 12.下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩 考试第次 成绩(分) 1 65 2 78 3 85 4 87 5 88 6 99 7 90 8 94 9 93 10 102 11 105 12 116
开始

3

图1

俯视图

将第 1 次到第 12 次的考试成绩依次记为 a 1, a 2 ,L , a 12 .图 2 是 统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么 算法流程图输出的结果是 .

输入a1,a2,……,a12

n=0,i=1
i=i+1 n=n+1 是 ai≥90? 否

13.在△ABC 中,已知角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
i≤12?



且 c(a cos B ? b cos A) ? b ,则
2

sin A = sin B



否 输出n 结束 图2

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 3 与
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? (cos? ? 2sin ? ) ? ?1 的交点的极坐标为



15.(几何证明选讲选做题)如图 3,点 P 在圆 O 的直径 AB 的 延长线上,且 PB=OB=3,PC 切圆 O 于 C 点,CD ? AB 于点 D, 则 CD 的长为 .

图3

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

y

) ( A ? 0,? ? 0) 的部分图象如图 4 示,

P

其中 M (? , 0) 为图象与 x 轴的交点, P ( , 2) 为图象的最高点.
M

1 1 6 3 A (1)求 、 ? 的值; ? 2 ? ? (2)若 f ( ) ? , ? ? ( ? , 0) ,求 cos(? ? ) 的值. ? 3 3 3

o
图4

N

x

17.(本小题满分 12 分) 某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩,随机地抽取该校甲、乙两班各 10 名同学,获 得的数据如下: (单位:分) 甲:132,108,112,121,113,121,118,127,118,129; 乙:133,107,120,113,122,114,125,118,129,127. (1)以百位和十位为茎,个位为叶,在图 5 中作出甲、乙两班 学生数学成绩的茎叶图,并判断哪个班的平均水平较高; (2)若数学成绩不低于 128 分,称为“优秀” ,求从甲 班这 10 名学生中随机选取 3 名,至多有 1 名“优秀”的概率; (3)以这 20 人的样本数据来估计整个学校的总体成绩, 若从该校(人数很多)任选 3 人,记 X 表示抽到“优秀”学生 的人数,求 X 的数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?a n ?满足: an ? 0 , a1 ? 5 , S n 为其前 n 项和,且 20S1,S3,7S2 成等差数列. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ? log5 a2 ? log5 a4 ?

? log5 a2n+2 ,求数列{

1 }的前 n 项和 Tn . bn

19. (本小题满分 14 分) 如图6,已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD, AB∥CD,AD⊥CD,PA=PD=CD=2AB=2. (1)求证:AB⊥PD; (2)记 AD= x , V ( x) 表示四棱锥 P-ABCD 的体积, 当 V ( x) 取得最大值时,求二面角 A-PD-B 的余弦值.
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20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) , P 为椭圆 C 上 a 2 b2

任一点, PF1 ? PF2 的最大值为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 A(1, 0) ,试探究是否存在直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 D 、 E 两点,且使得

uuu r uuu r

| AD |?| AE | ?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1,(a ? R) (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? x ? 1 ; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若在区间 (0,1] 上,函数 f ( x ) 的图象总在直线 y ? m(m ? R, m 是常数)的下方,求 a 的取 值范围.

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揭阳市 2015 年高中毕业班高考第二次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:DBCD ACBB 解析:8.因 m、n 均取自 1-6,故向量 a 有 6 ? 6 ? 36 种取法,由 cos ? a, b ??

m?n 2 ? m2 ? n 2

知,

0 ?? a, b ?? P?

?
2

, 则 m ? n , 这 样 的 (m ,n ) 共 有 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21 (个) ,故所求的概率

21 7 ? . 36 12

二、填空题:9. 1;10. ?160 ;11. 6;12.7;13. 2 ;14. ( 2, 三、解答题:

7? 3 3 ) ;15. . 4 2

16.解: (1)由 P ( , 2) 为图象的最高点知 A ? 2 ,---------------------1 分 又点 M (? , 0) 知函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 4( ? ) ? 2 ,-----------------------3 分 ∵T ?

1 3

2?

1 6

1 1 3 6

?

∴ ? ? ? ,-------------------------------------------------5 分

(2)由(1)知, f ( x) ? 2sin(? x ? 由 f( )? ∵ ? ? (?

?
6

)

? ?

?
3

2 ? 1 得 sin(? ? ) ? ,----------------------------------------6 分 3 6 3 , 0)
∴?

?

6

?? ?

?

6

?

?

6

----------------------------------------7 分

∴ cos(? ? ∵ cos(? ? ∴ cos(? ?

?
?

? 1 2 2 -------------------------9 分 ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ? 6 6 9 3
3 ) ? cos(? ? )?

?

? ) ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin -------------11 分 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

?
3

2 2 3 1 1 2 6 ?1 ? ? ? ? ------------12 分 3 2 3 2 6

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17.解: (1)甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示:--3 分 乙班的平均水平较高;----------------------------4 分 (2)由上数据知:甲班这 10 人中“优秀”的学生有 2 名, 则从这 10 名学生中随机选取 3 人,至多有 1 人“优秀” 的概率 P ?
3 1 C8 +C82C2 14 ? .----------------------------8 分 3 C10 15

(3)因样本 20 名学生中, “优秀”的有 4 名,故从这 20 名学生中任选 1 名,恰好抽到“优秀”的 概率为

4 =0.2 ,----------------------------------------------------------------------------------10 分 20

据此可估计从该校中任选 1 名学生,其为“优秀”的概率为 0.2,因 X 18.解: (1)设数列 ?a n ?的公比为 q ,

B(3, 0.2) ,

所以 EX ? 3 ? 0.2 ? 0.6 .---------------------------------------------------------------------------12 分 ∵20S1 , S3 ,7 S2 成等差数列,? 2S3 ? 20S1 ? 7S2 . -----------------------------------2 分 即 2(a1 ? a1q ? a1q2 ) ? 20a1 ? 7(a1 ? a1q) ,化简得 2q2 ? 5q ? 25 ? 0 ,------4 分 解得: q ? 5 或 q ? ? ∵an ? 0 ,∴ q ? ?

5 2

------------------------------------------------------------------6 分

5 不合舍去, 2 ∴ an ? a1qn?1 ? 5 ? 5n?1 ? 5n .-----------------------------------------7 分
(2)∵ bn ? log5 a2 ? log5 a4 ? = log5 (a2a4

? log5 a2n+2
?2 n +2

a2n?2 ) ? log5 52?4+

? 2?4?

? 2(n+1) ------------9 分

?


(n ? 1)(2 ? 2n ? 2) ? (n ? 1)(n ? 2) ,------------------------------------------10 分 2

1 1 1 1 = ? = ,-----------------------------------------------------12 分 bn (n ? 1)(n+2) n ? 1 n ? 2

∴ Tn ?

1 1 ? ? b1 b2

?

1 1 1 1 1 ? ( ? )?( ? )? 2 3 3 4 bn

?(

1 1 ? ) n ?1 n ? 2

?

1 1 n ? ? .----------------------------------------14 分 2 n ? 2 2(n ? 2)

19.解: (1)证明:∵AB∥CD,AD⊥CD,∴AB⊥AD,-----------------------------1 分 ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,且平面 PAD 平面 ABCD = AD , ∴AB⊥平面 PAD --------------------------------------------2 分 又∵ PD ? 平面 PAD, ∴AB⊥PD------------------------------------------------------3 分 (2)取 AD 中点 E,连结 PE,∵PA=PD,∴PE⊥AD,----4 分 又侧面 PAD⊥底面 ABCD, 且平面 PAD 平面 ABCD = AD , ∴PE⊥底面 ABCD,-------------------------------------------------------------------------5 分
揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)试题第 6 页(共 4 页)

在 Rt ? PEA 中, PE ?

PA2 ? AE 2 ? 4 ?

x2 4

∴ V ( x) ?

1 1 1 x2 1 S梯形ABCD ? PE ? ? ? (1 ? 2) ? x 4 ? ? x 16 ? x 2 ( 0 ? x ? 4 )------7 分 3 3 2 4 4

∵ V ( x) ?

1 x 2 ? ( 16 ? x 2 )2 ? ? 2 -------------------------------9 分 4 2

当且仅当 x ? 16 ? x2 ,即 x ? 2 2 时, “=”成立, 即当 V ( x) 取得最大值时 AD ? 2 2 , -----------------------------------------------------10 分 解法 1:∵ AD ? 2 2 , PA +PD ? 8 ? AD ,∴PD⊥PA ,--------------------11 分
2 2 2

又(1)知 AB⊥PD, PA

AB ? A

∴ PD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB ∴PD⊥PB,------------------------------------------13 分 ∴ ?APB 为二面角 A-PD-B 的平面角 在 Rt ?PAB 中, cos ?APB ?

PA 2 2 5 , ? ? PB 5 5
2 5 .-------------------14 分 5

即当 V ( x) 取得最大值时,二面角 A-PD-B 的余弦值为

[解法 2:以点 E 为坐标原定,EA 所在的直线为 x 轴、PE 所在的 直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图示: 则 E(0,0,0) ,A( 2 ,0,0), D( ? 2 ,0,0),P(0,0, 2 ), B( 2,1,0) ∴ PB ? ( 2,1, ? 2), PD ? (? 2,0, ? 2) , 设平面 PDB 的法向量为 m ? (a, b, c) 由 m ? PB, m ? PD 得 2a ? b ? 2c ? 0 , ? 2a ? 2c ? 0 , 令 c ? 1 ,则 a ? ?1 , b ? 2 2 ∴ m ? (?1, 2 2,1) ------------------------12 分 又 AB ? (0,1,0) 是平面 PAD 的一个法向量,

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设二面角二面角 A-PD-B 的大小为 ? , 则c o s

? |?

m ?A B | ? | m| ? | A B|

2 2 2 2 2 5 , ? ? 5 1 ?8 ?1 ?1 1 0

即所求二面角 A-PD-B 的余弦值为

2 5 .--------------------------------------------------14 分] 5

20.解:(1)设 P( x, y ) ,由 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) 得

uuu r uuu r PF1 ? (? 3 ? x, ? y) , PF2 ? ( 3 ? x, ? y) .
∴ PF1 ? PF2 ? ?( 3 ? x)( 3 ? x) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 3 ,---------------------2 分 由

uuu r uuu r

x2 y 2 x2 2 2 ? ? 1 y ? b (1 ? ) 得 a 2 b2 a2
2 2

∴ PF1 ? PF2 ? x ? b (1 ?
2 2 2

uuu r uuu r

3 x2 ) ? 3 ? 2 x 2 ? b 2 ? 3 ,------------------------4 分 2 a a
2

∵ 0 ? x ? a ,∴当 x ? a ,即 x ? ? a 时, PF1 ? PF2 有最大值, 即 ( PF1 ? PF2 )max ? 3 ? b2 ? 3 ? 1,---------------------------------------6 分 ∴ b ? 1, a ? c ? b ? 4 ,
2 2 2 2

uuu r uuu r

uuu r uuu r

∴所求双曲线 C 的方程为 (其它解法请参照给分)

x2 ? y 2 ? 1.------------------------------------7 分 4

(2)假设存在直线 l 满足题设,设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) ,

x2 ? y 2 ? 1并整理得 将 y ? kx ? m 代入 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,------------------------------------------------------------8 分
由 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? ?16(m2 ? 4k 2 ?1) ? 0 ,得 4k ? 1 ? m -----------①
2 2

又 x1 ? x2 ? ?

8km --------------------10 分 1 ? 4k 2

由 | AD |?| AE | 可得
2 ( x1 ?1)2 ? y12 ? ( x2 ?1)2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

? x1 ? x2 ? 2 ?

y1 ? y2 ( y1 ? y2 ) ? 0 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 2km ? 2 ? 0 x1 ? x2

揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)试题第 8 页(共 4 页)

? ?(1 ? k 2 )

8km ? 2km ? 2 ? 0 1 ? 4k 2

化简得 m ? ?

1 ? 4k 2 ------------②------------------------------------------12 分 3k
2

将②代入①得 4k ? 1 ? (

1 ? 4k 2 2 ) 3k

化简得 20k 4 ? k 2 ?1 ? 0 ? (4k 2 ? 1)(5k 2 ?1) ? 0 , 解得 k ?

5 5 或k ? ? 5 5 5 5 ) ? ( , ??) .-------14 分 5 5

所以存在直线 l ,使得 | AD |?| AE | ,此时 k 的取值范围为 (??, ? 21.解: (1)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? x ? 1 即 x | x ? 1|? x , 显然 x ? 0 ,当 x ? 0 时,原不等式可化为:

| x ? 1|? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2 --------------------------2 分
当 x ? 0 时,原不等式可化为: | x ? 1|? 1 ? x ? 1 ? 1 或 x ? 1 ? ?1 ? x ? 2 或 x ? 0 ,∴ x ? 0 综上得:当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | 0 ? x ? 2或x ? 0} ---------------3 分
2 ? ? x ? ax ? 1, ( x ? a ) (2)∵ f ( x) ? ? 2 --------------------------------------4 分 ? ?? x ? ax ? 1.( x ? a )

若 x ? a 时,∵ a ? 0 ,由 f '( x) ? 2 x ? a 知,在 (a, ??) 上, f '( x) ? 0 , 若 x ? a ,由 f '( x) ? ?2 x ? a 知,当 x ? 当

a 时, f '( x) ? 0 , 2

a ? x ? a 时, f '( x) ? 0 , 2
a 2

∴当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ??, ) , (a, ??) ,单调减区间为 ( , a ) .----6 分 (其它解法请参照给分) (3)在区间 (0,1] 上,函数 f ( x ) 的图象总在直线 y ? m(m ? R, m 是常数)的下方, 即对 ?x ? (0,1] 都有 f ( x) ? m , ? 对 ?x ? (0,1] 都有 x | x ? a |? m ? 1 ,-------7 分 显然 m ? ?1 , 即 ?m ? 1 ? x( x ? a) ? m ? 1 ? 对 ?x ? (0,1] , ?

a 2

m ?1 m ?1 ? x?a ? 恒成立 x x

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m ?1 m ?1 ?a ? x? ------------------------------8 分 x x m ?1 m ?1 , x ? (0,1] , p ( x ) ? x ? 设 g ( x) ? x ? , x ? (0,1] , x x m ?1 m ?1 ?a ? x? 则对 ?x ? (0,1] , x ? 恒成立 ? g ( x)max ? a ? p( x)min , x ? (0,1] ----9 分 x x m ?1 ∵ g '( x) ? 1 ? 2 , 当 x ? (0,1] 时 g '( x) ? 0 x

?对 ?x ? (0,1] , x ?

∴函数 g ( x) 在 (0,1] 上单调递增,∴ g ( x)max ? ?m ------------------------10 分 又∵ p '( x) ? 1 ?

m ? 1 ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) = , x2 x2

当 m ? 1 ? 1 即 m ? 0 时,对于 x ? (0,1] ,有 p '( x) ? 0 ∴函数 p ( x) 在 (0,1] 上为减函数 ∴ p( x)min ? p(1) ? 2 ? m ----------------------------------------------11 分 当 m ? 1 ? 1 ,即 ?1 ? m ? 0 时,当 x ? (0, m ? 1] , p '( x) ? 0 当 x ? ( m ? 1,1] , p '( x) ? 0 ∴在 (0,1] 上, p( x)min ? p( m ?1) ? 2 m ?1 -----------------------------12 分 (或当 ?1 ? m ? 0 时,在 (0,1] 上, p ( x ) ? x ? 等号) 又∵当 ?1 ? m ? 0 时,要 g ( x)max ? a ? p( x)min 即 ?m ? a ? 2 m ? 1 还需满足

m ?1 m ?1 ? 2 x? ? 2 m ? 1 ,当 x ? m ? 1 时取 x x

2 m ? 1 ? ?m ? m2 ? 4m ? 4 ? 0 ,解得 2 ? 2 2 ? m ? 2 ? 2 2 ,
∴当 2 ? 2 2 ? m ? 0 时, ?m ? a ? 2 m ? 1 ;---------------------------------------------13 分 当 m ? 0 时, ?m ? a ? 2 ? m .--------------------------------------------------------------14 分

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