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八种经典线性规划例题


线性规划常见题型及解法
由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ,并 作 出 可 行 域 ,进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围
?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 ( 3,5] ( )

y 2

B A

y =2 x x + y =2

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+2y= 0, 将 l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值 2, 过 点 B( 2,2) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A

O

2 x=2

二、求可行域的面积
?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大 ( )

y

x+y – 3 = 0
解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B

M A O

B

y =2

三、求可行域中整点个数
例 3、

C x 2x + y – 6= 0 =5

满足 |x| +|y|≤2
B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个

的 点( x ,y )中 整 点( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 )有(



A、 9 个

?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ? ?? x ? y ? 2

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0)
1

y

O

x

作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) , 容 易 得 到 整 点 个 数 为 13 个 , 选 D

四、求线性目标函数中参数的取值范围
?x ? y ? 5 ? 例 4 、已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ,使 z = x + a y ( a > 0 ) ?x ? 3 ?
取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( )

y x+y=5

x–y+5=0

O

x=3 x

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+ay= 0, 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y= 5 重 合 , 故 a=1, 选 D

五、求非线性目标函数的最值

例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 的最大值和最小值分别是( A 、 13 , 1 C 、 13 , 4
5

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

, 则 z=x 2 +y 2


y A

B 、 13 , 2 D、
13 ,
2 5 5

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0 =5

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 ,x 2 +y 2 是 点 ( x , y ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A ( 2,3 ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| 2 =13 , 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x + y - 2=0 的 距 离 的 平 方 ,
4 即为 5 ,选 C

六、求约束条件中参数的取值范围
例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 1,1) ,则 m 的取值范围是 ( )
2

y

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0
( 0 , 0 )和( -

O

A、 ( -3,6)

B、 ( 0,6)

C、 ( 0,3)

D、 ( -3,3)

解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 ?

?2 x ? y ? m ? 3 ? 0 ?2 x ? y ? m ? 3 ? 0

由右图可知 ?

?m ? 3 ? 3 ,故 0< m< 3, 选 C ?m ? 3 ? 0

七·比值问题

y?a z? 当目标函数形如 x ? b 时,可把 z 看作是动点 P( x, y ) 与
定点 Q (b, a ) 连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的 最值。 例 (

? ?x-y+2≤0, y 已知变量 x , y 满足约束条件 ?x≥1, 则 的取值范围是 x ? ?x+y-7≤0,
9 ( B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

). 9 (A)[ ,6] 5 ( C) (-∞,3]∪[6,+∞)

解析

y 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O x

5 9 y 9 (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , )时, 取得最小值 ;当直线 2 2 x 5

y OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A x
3


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