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高次不等式解法


高中数学教案

第一章 集合与简易逻辑(第 11 课时)

王新敞

2.2.2 简单的分式不等式与高次不等式解法 编写人:曲娜
教学目的:掌握简单的分式不等式和高次不等式的解法; 教学重点:简单的分式不等式和高次不等式的解法
王新敞
奎屯 新疆

教学难点:简单分式不等

式与高次不等式的等价变形. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 1.分式不等式的解法 例 1 解不等式:

x ?3 ?0. x?7

解法 1:化为两个不等式组来解: ∵

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 x?3 ?0 ?? 或? ? x∈φ 或 ? 7 ? x ? 3 ? ? 7 ? x ? 3 , x?7 ?x ? 7 ? 0 ?x ? 7 ? 0

∴原不等式的解集是 ?x | ?7 ? x ? 3? . 解法 2:化为二次不等式来解: ∵

x?3 ? 0 ? ( x ? 3)(x ? 7) ? 0 ? ? 7 ? x ? 3 , x?7

∴原不等式的解集是 ?x | ?7 ? x ? 3? 变式 1:解不等式 解:?

x?3 ?0 x?7

x?3 ? 0 ? ( x ? 3)(x ? 7) ? 0且x ? ?7 ? ? 7 ? x ? 3 x?7

? 原不等式的解集是{x| -7<x ? 3}
变式 2:解不等式

x?3 ?1 x?7

x?3 x?3 ? 10 ?1? ?1 ? 0 ? ? 0 ? x ? ?7 x?7 x?7 解: x ? 7 ? 原不等式的解集是 {x x ? ?7} ?

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第一章 集合与简易逻辑(第 11 课时)

王新敞

归纳分式不等式的解法: (1) 化分式不等式为标准型:方法:移项,通分,右边化为 0,左边化为 (2) 将分式不等式转化为整式不等式求解如:

f ( x) 的形式 g ( x)

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) ?0? g ( x)
练习:

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) ?0? g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0

? f ( x) g ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0

1 ? 2x ? 0 的解集是 x ?1 1 1 2.不等式 ? 的解集是 x 2
1.不等式 2.高次不等式的解法: 引例:解一元二次不等式(x+3)(x-1)<0 方法一:利用上节课的方法求解;

。 .

方法二:解:①求根:令(x-1)(x+3)=0,解得 x(从小到大排列)分别为-3,1,这两根将 x 轴分为三部分:x<-3 , -3<x<1 , x>1

②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号

x<-3 x+4 x-1 (x-1)(x+4) +

-3<x<1 + -

x>1 + + +

③由上表可知,原不等式(x+3)(x-1)<0 的解集是{x|-3<x<1}. 例 1:解不等式:(x-1)(x+4)(x-3)>0; 解:①检查各因式中 x 的符号均正; ②求得相应方程的根为:-4,1,3; ③列表如下:

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第一章 集合与简易逻辑(第 11 课时)

王新敞 x>3 + + + +

x <-4 x+4 x-1 x-3 各因式积 -

-4<x<1 + +

1 <x<3 + + -

④由上表可知,原不等式的解集为:{x|-4<x<1 或 x>3}. 小结:此法叫列表法,解题步骤是: ①将不等式化为 ( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0(? 0) 形式(各项 x 的符号化 “+” ) , 求出方程 ( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0 的各根 ②按各根把实数分成的 n+1 部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较 小根的因式开始依次自上而下排列) ; ③计算各范围内各因式的符号,最下面一行是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:(1)(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0 思考:刚才例 1 中列表法的步骤我们还可以画图求解 称之为根轴法(零点分段法) 。 ①将不等式化为 ( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0(? 0) 形式,并将各因式 x 的系 数化“+” ; ②求方程 ( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0 各根,并在数轴上表示出来(从小根到 大根按从左至右方向表示) 。 ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点 ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是 “<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间. + x1 x2 x3 + xn-1 xn +

说明:注意不等式若带“=”号,点画为实心,解集边界处应有等号; 练习:用根轴法解不等式(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0

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第一章 集合与简易逻辑(第 11 课时)

王新敞

x 2 ? 3x ? 2 ? 0. 例 2.解不等式: 2 x ? 2x ? 3
?( x 2 ? 3x ? 2)(x 2 ? 2 x ? 3) ? 0 x 2 ? 3x ? 2 ? ?0 ?? 2 解:∵ 2 ? x ? 2x ? 3 ? ?x ? 2x ? 3 ? 0

?( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 1) ? 0 ,用根轴法(零点分段法)画图如下: ? ?( x ? 3)(x ? 1) ? 0
+ -1 1 + 2 3 +

∴原不等式的解集为{x| -1<x ? 1 或 2 ? x<3}. 3.课堂小结: 分 式 不 整式不等式 等 式 4.课堂练习:解下列不等式: (1) 一元二次不等式 一元一次不等式 高次不等式

x ( x ? 2) ?0 x?3

(2) ( x 2 - 4x - 5)(x 2 ? x ? 2) ? 0 . 5.课后作业: (1)

2x ? 5 ?0 5x ? 2

(2)(1-2x)(x-1)(x+2)< 0 (3)(x+1)(-2x+3)(3x+1)> 0 (4)( x ? 1)( x ? 6 x ? 8 ) ? 0
2 2

(5)

x2 ? 4 x ? 1 ?1 3x 2 ? 7 x ? 2

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