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高三数学小题训练3 Word版含解析


小题训练 3
(? A) 【题文】1.已知全集 U ? {0,1, 2,3} ,集合 A ? {0,1}, B ? {1, 2,3} 则 U
【知识点】集合及其运算 A1 【答案】{2,3} 【解析】
A CU ? {2,3} 则 (?U A)

B?



B ? {2,3}
2

【思路点拨】先求出补集再求结果。 【题文】2.命题: “ ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是 【知识点】命题及其关系 A2 【答案】 ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0
2



【解析】 “ ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是 ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 。
2 2

【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。 【题文】 3. 若复数 z1=a﹣i, z2=1+i (i 为虚数单位) , 且 z1 ? z2 为纯虚数, 则实数 a 的值为 【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案】-1 【解析】



z1 ? z2 =(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数 所以 a+1 = 0 a = -1

【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出 a. 【题文】4.已知角 ? 终边经过点 P (2sin 2, ?2 cos 2) ,则 sin ? ? 【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1 【答案】-cos2 【解析】r= .

(2sin 2) 2 ? (?2 cos 2) 2

=2

y 由任意三角函数的定义:sinα = r =-cos2
【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。 【题文】5. “ a ? 1 ”是“ (a ? 1) x ? 2 对 x ? (1, ??) 恒成立”的 必要、必要不充分、充要” ) . 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案】充分不必要 【解析】 a ? 1 能推出 (a ? 1) x ? 2 在 x ? (1, ??) 成立, (a ? 1) x ? 2 , x ? (1, ??) ,a<1 也可 能成立。 【思路点拨】根据推出关系判断条件。 条件(填“充分不

【题文】6.已知

?an ? 为等比数列, a1 ? a7 ? 2, a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?



【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案】-7 【解析】∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8 ∴a4=4,a7=-2 或 a4=-2,a7=4

q3 ? ?
当 a4=4,a7=-2 时,

1 2 ,∴a1=-8,a10=1,

∴a1+a10=-7 当 a4=-2,a7=4 时,q3=-2,则 a10=-8,a1=1∴a1+a10=-7 综上可得,a1+a10=-7 【思路点拨】由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=-8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数 列的通项,求 a1,a10,即可

? 【题文】7.已知函数 f ( x) ? 2 f (1) ln x ? x ,则 f ( x) 的极大值为

.

【知识点】导数的应用 B12 【答案】2ln2-2 【解析】f'(x)=2f'(1)/x-1 令 x=1 得: f'(1)=2f'(1)-1 f'(1)=1 所以:f(x)=2lnx-x,f'(x)=2/x-1 f'(x)=2/x-1 的 零点 x=2 所以:0<x<2 时,f'(x)>0,f(x)是增函数 x>2 时,f'(x)<0,f(x)是减函数 所以:x=2 是 f(x) 的极大值点 极大值 f(2)=2ln2-2 【思路点拨】利用求导数,根据单调性求出极大值。 【题文】8.已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为_________. 【知识点】解三角形 C8 【答案】15 3 【解析】设三角形的三边分别为 x-4,x,x+4,

x 2 ? ( x ? 4)2 ? ( x ? 4)2 1 ?? 2 x( x ? 4) 2 ,化简得:x-16=4-x,解得 x=10, 则 cos120°=
所以三角形的三边分别为:6,10,14

1 则△ABC 的面积 S= 2 ×6×10sin120°=15 3 .
【思路点拨】先设出边,再根据余弦定理求出边求出面积。 【题文】9.已知向量 a, b, c 中任意两个都不共线 ,且 a ? b 与 c 共线 , b ? c 与 a 共线 ,则向量

a?b?c =



【知识点】单元综合 F4 【答案】 0

【解析】因为( a ? b )// c ,( b ? c )// a ,设 a ? b =α c , b ? c =β a 两式相减得 a - c =α c -β a , 移项得(1+α)c =(1+β)a 因为向量 a 、c 中不平行,所以只有 1+α=0,1+β=0 即 α=-1,β=-1 也就是 a + b =- c 即 a ? b ? c = 0 【思路点拨】先根据向量共线关系找出向量的关系求出结果。 【题文】10.设函数 f ( x) ? cos ? x( ? ? 0 ) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后, 所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】6 .

?

?
【解析】由题意得 3

?

2?

? .k,解得 ? =6k, 则 ? 最小值等于 6

? 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3
? 单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 3 是此函数周期的整数倍。
【题文】 11 .设 f( x )是定义在 (??, ??) 上的奇函数,且在区间 (0, ??) 上单调递增,若

1 f( )?0 2 ,三角形的内角 A 满足 f(cosA)<0,则 A 的取值范围是
【知识点】三角函数的图象与性质 C3



? ? 2? ( , ) ? ( ,? ) 3 【答案】 3 2
【解析】∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,

1 1 f (? ) ? 0 f( )?0 2 ∴f(x)在区间(-∞,0)上也单调递增.∵ 2 ,∴ ,
1 当 A 为锐角时,cosA>0,∴不等式 f(cosA)<0 变形为 f(cosA)<f( 2 ) , 1 ? ? 0<cosA< 2 , 3 <A< 2
当 A 为直角时,cosA=0,而奇函数满足 f(0)=0,∴A 为直角不成立. 当 A 为钝角时,cosA<0,

1 1 ∴不等式 f(cosA)<0 变形为 f(cosA)<f(- 2 )<cosA<- 2 , 2? ? ? 2? ( , ) ? ( ,? ) 3 <A<π,综上,A 的取值范围为 3 2 3
【思路点拨】根据函数在 R 上的奇偶性和在区间(0,+∞)上的单调性可以判断 f(x)在区间 (-∞,0)的单调性再分角 A 是锐角,直角还是钝角三种情况讨论,cosA 的正负,利用 f(x) 的单调性解不等式 【 题 文 】 12 . 如 图 , 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 已 知

AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分 别 是 边 AB , AC 上 的 点 , 且
AE ? m AB , AF ? n AC , 其 中 m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的 中 点 分 别 为

M , N , 且 m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是
【知识点】单元综合 F4



7 【答案】 7
【解析】连接 AM、AN, ∵等腰三角形 ABC 中,AB=AC=1,A=120°,

1 ∴ AB ? AC =| AB |?| AC |cos120°=- 2
∵AM 是△AEF 的中线,

1 1 ∴ AM = 2 ( AE ? AF )= 2 (m AB +n AC ) 1 同理,可得 AN = 2 ( AB ? AC ) ,由此可得 MN ? AN ? AM 1 1 = 2 (1-m) AB + 2 (1-n) AC . 1 1 1 将此式平方得 MN 2= 4 (1-m)2- 4 (1-m) (1-n)+ 4 (1-n)2, 3 1 21 结合 m+4n=1 消去 m,得 MN 2= 4 n2- 2 n+ 4

1 1 7 ∴当 n= 7 时, MN 2 的最小值为 7 ,所以| MN |的最小值为 7

1 【思路点拨】由等腰△ABC 中,AB=AC=1 且 A=120°,算出 AB ? AC =- 2 .连接 AM、AN,利 1 1 用三角形中线的性质,得到 AM = 2 ( AE ? AF )且 AN = 2 ( AB ? AC ) ,进而得到

MN ? AN ? AM
1 1 = 2 (1-m) AB + 2 (1-n) AC .将此式平方, 1 1 1 代入题中数据化简可得 MN 2= 4 (1-m)2- 4 (1-m) (1-n)+ 4 (1-n)2, 3 1 1 21 结合 m+4n=1 消去 m,得 MN 2= 4 n2- 2 n+ 4 ,结合二次函数的性质可得当 n= 7 时,

1 7 MN 2 的最小值为 7 ,所以| MN |的最小值为 7 .

【题文】13.等差数列 ,则使数列 ?

?an ?

d 2 ?a ? d ?x x ? 1 ? 2 ? +c≥0 的解集 的公差为 d,关于 x 的不等式 2 + ?


an ?

的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】11

d d 【解析】∵关于 x 的不等式 2 x2+(a1- 2 )x+c≥0 的解集为,

a1 ?
∴22=

d 2 d 21 d ? 2 ,且 2 <0 即 a1=- 2 d>0,则 a11=a1+10d>0,a12=a1+11d<0

故使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 11

d d 【思路点拨】根据已知中等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式 2 x2+(a1- 2 )x+c≥0 的解
集为,我们根据不等式解析的形式及韦达定理,易判断出数列的首项为正,公差为负,及首 项与公差之间的比例关系,进而判断出数列项的符号变化分界点,即可得到答案. 【题文】 14. 已知数列 ﹣2,6,30},则

?an ? 满足 an?1 ? qan ? 2q ? 2(q 为常数) a , a , a , a {﹣18,﹣6, , 若 3 4 5 6∈


a1 ?

【知识点】单元综合 D5 【答案】-2,126,-3 【解析】由已知可得,an+1+2=q(an+2) ,n=1,2,…, ①当 an=-2 时,显然有 a3,a4,a5,a6∈{-18,-6,-2,6,30},此时 a1=-2.

q?
②当 an≠-2 时,则

an ?1 ? 2 an ? 2 , (q 为常数) ,

又因为 a3,a4,a5,a6∈{-18,-6,-2,6,30}, 所以 a3+2,a4+2,a5+2,a6+2∈{-16,-4,0,8,32}, 因为 an≠-2,所以 an+2≠0, , 从而 a3+2=32,a4+2=-16,a5+2=8,a6+2=-4,或 a3+2=-4,a4+2=8,a5+2=-16,a6+2=32 故有

1 q=-2 或 q=- 2
代入 an+1=qan+2q-2 得 a1=-3,或 a1=126. 【思路点拨】观察已知式子,移项变形为 an+1+2=q(an+2) ,从而得到 an+2 与 an+1+2 的关 系,分 an=-2 和 an≠-2 讨论,当 an≠-2 时构造等比数列{an+2},公比为 q.计算可得答案.


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