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椭圆的简单几何性质1标准课件(示范课)


复习:
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

x y ? 2 ? 1(a ? b

? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a

观察:椭圆
x y2 一、范围: ? 1, ? 1得: 2 2 a b -a≤x≤a, -b≤y≤b 知
2

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

练习1. 口答下列椭圆的范围。 x y ? ?1 25 16
? 5 ≤ x ≤ 5, ? 4 ≤ y ≤ 4
2 2

椭圆对称性
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

关于y轴对称
P2(-x,y) P(x,y)

Y

O

X

关于原点对称
P3(-x,-y)
P1(x,-y)

关于x轴对称

二、椭圆的对称性 2 2 x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)之中, a b
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称; 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称; 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关 y 于( 原点 )对称;

所以,坐标轴是 椭圆的对称轴,原点 是椭圆的对称中心。

o

x

中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

练习2.

下列方程所表示的曲线 中,关于原点对称的是 D) (

A. x ? 2 y
2

B. y ? 4 x ? 0
2 2

C. x ? 4 y ? 5 x
2

D. 9 x ? y ? 4
2 2

三、椭圆的顶点

令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点(

x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, a b

2

2

令 y=0,得 x=?, 说明椭圆与 x轴的交点(
*顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的顶 点。 *长轴、短轴: 线段 A1 A1A2、B1B2分别叫做椭圆的 长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半

0, ±b), ±a, 0)

y B1(0,b) o

A2(a,0) x
B2(0,-b)

轴长和短半轴长。

练习3
口答下列椭圆的顶点坐 标及长轴和短轴长。 x y ? ?1 9 4
2 2

顶点是: 3,0)、 3,0)、 0,?2)、 0,2) (? ( ( ( 长轴长是6,短轴长是4.

练习4. 画出下列椭圆的草图
x y ? ?1 (1) 25 16
y B 2
A1
4 3 2 1
2 2

x y ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1 -2 -3 B1 -4

2

2

A2

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1

B1

问题2:圆的形状都是相同的,而椭圆 却有些比较“扁”,有些比较“圆”, 用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程 度呢?

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比: e ? a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围:0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁 e 1越扁

四、椭圆的离心率

e 0越圆 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:

c e? ? a

a ?b b ? 1? a a
2 2 2

2

2

练习5

下面两个椭圆中,哪个 更接近于圆?

x y x ? 3y ? 9 与 ? ?1 16 12
2 2

2

2

小结一:基本元素
{1}基本量:a、b、c、e、(共四个量) {2}基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) {3}基本线:对称轴(共两条线) 请考虑:基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系(位置、数量之间 的关系) y B1(0,b)

A1

o B2(0,-b)

A2 x

|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义 一个框,四个点,注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现 y
y M F2 x
2 2

F1
O F2

M x

图 形
F1
2 2

O

方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点

x y ? 2 ?1 2 a b

x y ?a ? b ? 0? 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? b a |x|? a |y|? b |x|? b |y|? a

关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(?c,0) (?a,0)、(0,?b) (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a)

离心率

c e? a

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 例1 率、焦点和顶点坐标。

x y ? 2 ?1 解:把已知方程化成标准方程 2 5 4 a ? 5, b ? 4, c ? 25 ?16 ? 3
椭圆的长轴长是: 2a=10 椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:

2

2

c 3 离心率: e ? ? ? 0.6 a 5
四个顶点坐标是:

F (?3,0), F2 (3,0) 1

A1 (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4)

<例题2>求适合下列条件的椭圆的标准方程

1 (1) a=6, e= , 焦点在x轴上 3
2

x y ? ?1 36 32
2 2 2

2

2

x y y x (2) 离心率 e=0.8, 焦距为8 ? ? 1或 ? ?1 25 9 25 9 2 2 2 2 x y y x (3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6) ? ? 1或 ? ? 1 148 37 52 13
(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 2 2 且焦距为6 x y

18

?

9

?1

求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量(a、b) 当焦点位置不确定时,要讨论,此时有两个解!

练习2:过适合下列条件的椭圆的标准方程: Q (1)经过点P(?3, 0) 、 (0, ?2) ; 3 (2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 . 解:(1)由题意, a ? 3 b ? 2 ,又∵长轴在 x 轴上,所以,椭圆的标准方程为 x c 3 9 . e 2 (2)由已知, a ? 20 , ? a ? 5
2 2

2

y ? ?1 4

2

a ? 10 , ? 6 ,∴ b2 ? 102 ? 62 ? 64 c ∴



y2 x2 x y 所以椭圆的标准方程为100 ? 64 ? 1 或 100 ? 64 ? 1



例3.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标 轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P (3,0),求椭圆的方程。

x y x 2 ? y ? 1或 ? ?1 9 81 9

2

2

2

思考:
1 x2 y2 已知椭圆 ? ? 1的离心率 e ? ,求 k 的值 2 k ?8 9
解:当椭圆的焦点在
2
2

x 轴上时,
2

a ? k ? 8 ,b ? 9 ,得 c ? k ? 1.
1 由 e ? ,得:k 2
当椭圆的焦点在
2

?4
2

y 轴上时,

a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ?1 ? k . 1 5 1? k 1 ? ,即 k ? ? . 由e? ,得 9 4 2 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
2

0 例2 椭圆的一个顶点为 A?2,? ,其长轴长是短轴长 的2倍,求椭圆的标准方程.
分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置

0 解:(1)当 A?2,? 为长轴端点时,a

? 2, b ? 1 ,

x2 y2 椭圆的标准方程为: ? ? 1; 4 1 0 (2)当 A?2,? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 , 2 2 x y ? 1; 椭圆的标准方程为: ? 4 16 2 2 2 2 x y x y ? ? 1或 ? ?1 综上所述,椭圆的标准方程是 4 1 4 16

小结:
1.知识小结: (1) 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。 (2) 研究了椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系 2.数学思想方法: (1)数与形的结合,用代数的方法解决几何问题。 (2)分类讨论的数学思想

练习6.已知椭圆方程为 6x ? y ? 6 则
2 2

它的长轴长是: 短轴长是: 焦距是: 离心率等于: 焦点坐标是:

2 6

; ;

2
2 5
30 6
(0, 5)

; ;
___ (0,- 5) ;

1, 顶点坐标是:(0, 6) (0,- 6) (1, 0)(- 0); _______

外切矩形的面积等于:

4 6




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