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新立体几何导学案


空间几何体导学案
1.2 空间几何体的结构及其三视图
1.空间几何体相关概念 (1)柱体,椎体,台体的分类及性质 (2)长方体的性质 (3)球的相关概念性质 例 1:若长方体中有三个面的面积分别是 2 , 3, 6 则长方体的对角线长( )

A. 2 3

B. 3 2

C. 3

/>D. 6

例 2 一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 B.底面是菱形,且有一个顶点处的两条棱互相垂直 C.底面是正方形,每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D.底面是正方形,有两个侧面是矩形 例 3 如图所示用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上, 下底面的面积比为 1:16, 截去的圆锥的母线长是 3cm,求圆台的母线长。

2.常见几何体的三视图 (1)圆柱的正视图和侧视图都是_______俯视图为_______ (2)圆锥的正视图和侧视图都是_______俯视图是_______ (3)圆台的正视图和侧视图都是_______俯视图是_______ (4)球的三视图都是________ 例 4 (山东高考)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A、 ①②
C、 ①④

B、 ①③

D、 ②④

例 5 一个三角形用斜二测法画出来是一个边长为 2 的正三角形,则此三角形的面积是( A. 2 6 B. 4 6 C. 3 D. 6



1

例 6(浙江高考)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(



练习 1.(湖南高考)如图所示某几何体的正视图和侧视图均如右图所示,则该几何体的俯视图不可 能是( )

2、 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形, 其中有一边长为 4, 则此正 方形的面积是 (
B、 C、 A、 16 64 16 或 64 3.如右图所示的直观图,其平面图形的面积为 (



D、 都不对



A. 3 C. 6

B.

3 2 2

D. 3 2 )

4. 已知某物体的三视图如图所示,那么这个物体的形状是(

A.正六棱柱

B.正四棱柱

C.圆柱

D.正五棱柱

5.如图 E、F 分别为正方体的面 ADB1A1,面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的 摄影可能是 (要求把可能的图的序号都填上) D1 C1 A1 E D A B C ① ② B1 F





2

1.3 空间几何体的表面积与体积 1. 柱体、锥体、台体的表面积 圆柱:侧面展开图是 S 圆柱表 = 圆锥:侧面展开图为一个 S 圆锥表 = 圆台:侧面展开图是 S 圆台表 = 2. 柱体、锥体、台体的体积 柱体体积计算公式: 锥体的体积计算公式: 台体的体积公式: 3.球的表面积和体积 V球 = ; S 球面 = (R 为球的半径) ) . ,长是 ,宽是 , 其中为 r 圆柱底面半径, l 为母线长. ,半径是圆锥的 ,弧长等于 ,

,其中为 r 圆锥底面半径, l 为母线长. ,内弧长等于 ,外弧长等于 ,

例 1(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

A. 28 ? 6 5

B。 30 ? 6 5

C. 56 ? 12 5

D. 60 ? 12 5

例 2.如右图,一个空间几何体的正视图、 侧视图是周长为 4,一个内角为 600 的菱形, 俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的 表面积为________.
视图 俯 视 图 正 侧视图

例 3.如图,长方体中,截下一个棱锥,求棱锥的体积与剩余部分的体积之比

3

例 4.(全国高考)设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 7 成 45 ? 角的平面截球 O 的表面得到圆 C,若圆 C 的面积等于 ? ,则 4 的面积____

OA 球O

练习 1.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为( ) ...

? 3 ? B. C. ? D. ? 2 4 2 2.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面 积是 ( ) A.32π B.16π C.12π D.π
A. 3.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分 别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( ) A. B.4 C. D.2

4.正方体内切球和外接球半径的比为( A. B. C.

) D. 1:2

5.某几何体的三视图如图所示它的体积为( ) A. 12? B. 45? C. 57? D. 81? 6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个 32π 球的体积是 ,则这个三棱柱的体积是( ) 3 A.96 3 B.16 3 C.24 3 D.48 3 7.若球膨胀后表面积为原来的 2 倍,则体积变为原来的 倍. 8.圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 9.棱长为 a 的正方体的所有顶点都在同一个球面上,这个球的体积是______

10.已知正六棱柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 的棱长均为 1. (1)求该几何体的表面积; (2)求一动点从 A 沿表面移动到 D1 的最短路程.
4

11. 如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA1 = 8. 若 AA1 B1 B 水平放置时,液面恰好过 AC , BC , A1C1 , B1C1 的中点,则当底面 ABC 水平放置时,液面的高为多少?

2.1 点、直线、平面间的位置关系导学案 空间点、直线、平面间的位置关系 1、平面 平面的表示: 点与平面的位置关系:点 A 在平面 ? 内,记作: 记作: 点与直线的位置关系:点 A 在直线 l 上,记作: 作: ; 直线与平面的位置关系:直线 l 在平面 ? 内,记作: 作: 2、平面的基本性质 公里 1:如果一条直线上的 经过此直线) 符号表示: 公里 2: 符号表示: 推论 1: 推论 2: 推论 3: 公里 3:如果两个不重合的平面 符号表示: 例 1:在空间中,下列说法不正确的是( A. 三点确定一个平面 B. 梯形一定是一个平面图形 C.平行四边形一定是一个平面图形
5

; 点 A 在平面 ? 内外, ;点 A 在直线 l 外,记 ;直线 l 在平面 ? 外,记

在一个平面内,那么这条直线在这个平面内(或平面 , ,有且只有一个平面。 ,

那么它们有且只有 , )

D.三角形一定是平面图形 例 2:如果 a ? ?, b ? ?, l ? b ? B ,那么下列关系中成立的是( A. l ? ? B. l ? ? C. l ? ? ? A D. l ? ? ? B )

例 3:在空间四边形 ABCD 各边 AB,BC,CD,DA,上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF,GH 相交于点 P,那么( ) A.点 P 必在直线 AC 上 B. 点 P 必在直线 BD 上 C.点 P 必在平面 DBC 内 D.点 P 必在平面 ABC 外 空间中直线与直线间的位置关系 1.空间直线与直线的位置关系: 1.(1)相交直线: (2)平行直线: (3)异面直线: 2.(1)平行公理(平行线传递性) (2)等角定理 例 1:若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 , 则下列结论一定正确的 是( ) B. l1 // l4 D. l1 与 l 4 的位置关系不能确定

A. l1 ? l4 C. l1 与 l 4 既不垂直也不平行 2.求异面直线所成的角:

例 2. 如图 2,已知长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, AB ? 2 3 , AD ? 2 3 , AA? ? 2 . (1) BC 和 A?C ? 所成的角是多少度? (2) AA? 和 BC ? 所成的角是多少度?

D?
A?

C?

B?

D

C

A
(图二)

B

(图三)

6

例 3:如图 2-1-17,空间四边形 SABC 中,各边及对角线长 都相等,若 E、F 分别为 SC、AB 的中 点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90 B.60° C .45° D.30°

3.空间直线与平面,平面与平面的位置关系: 1.(1)直线在平面内: (2)直线与平面相交: (3)直线与平面平行: 2.(1)两个平面相交: (2)两个平面平行: 例 4:下列命题: ?若直线 a 在平面 ? 外,则 a // ? ?若直线 a // b ,直线 b ? ? ,则 a // ? ?若直线 l 平行平面 ? 内无数条直线,则 l // ? ④若直线 a // b , b ? ? ,那么直线 a 平行平面 ? 内无数条直线 其中不正确的个数为( ) A. 1 B.2 C.3 D.4

练习 一、选择题: 1.直线 l 在平面 ? 外,则( A. l ∥ ? C. l ? ? = A 2. 已知 a ∥ ? , b ? ? ,则( A. a ∥ b C. a 和 b 异面 ). B. l 与 ? 至少有一个公共点[来源:学#科#网] D. l 与 ? 至多有一 个公共点 ). B. a 和 b 相交 D. a 与 b 平行或异面
7

3. 若直线 a 不平行于平面 ? ,且 a ? ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线与 a 异面 B. ? 内不存在与 a 平行的直线

).

C. ? 内存在唯一的直线 与 a 平行

D. ? 内的直线与 a 都相交.[来源:学科网]

4.已知 a , b , c 为三条不重合的直线, ? , ? , ? 为三个不重合的平面: ① a∥c,b∥c ? a∥b ; ③ a∥c,c∥? ? a∥? ; ⑤ a ? ? ,b ? ?,a∥b ? a∥? . 其中正确的命题是( ) A.①⑤ B.①② C.②④ ) D.③⑤ ② a∥? ,b∥? ? a∥b ; ④ a∥? ,a∥? ? ?∥? ;

4.以下命题中为真命题的个数是(

(1)若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则直线 l ∥ ? ; (2)若直线 a 在平面 ? 外,则 a ∥ ? ; (3)若直线 a∥b, b ? ? ,则 a ∥ ? ; (4)若直线a∥b, b ? ? ,则 a 平行于平面 ? 内的无数条直线。 (A) 1个 二、填空题: 5. 一个平面把空间分成________部分,两个平面可 以把空间分成________部分. 6.若 ? / / ? , a ? ? , b ? ? ,则直线 a 与 b 的位置关系是________ _____________. 三、解答题: 7.已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,求异面直线 AE, SD 所 成的角的余弦值 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个

8

8.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,P, Q, R, S 分别为棱 C1 D1 , C1C , AB, BC 的中点 (1)求 B1D1 与 RS 所成的角 (2)求 PQ 与 RS 所成的角

2.2 直线、平面平行的判定及其性质导学案 1.直线与平面平行的判定定理

2.直线与平面平行的性质定理

3.平面与平面平行的判定定理

4.平面与平面平行的性质定理

例 1 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M , N , P 分别是 CC1 , B1C1 , C1D1 的中点,求证:平面
MNP // 平面 A1 BD

9

例 2 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, M 是 PC 的中点,在 DM 上取 一点 G ,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 与 GH ,求证: AP // GH

例 3:如下图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中,E、F 分别是 PC、PD 的中点,求证:EF∥ 平面 PAB.

10

练习 一、选择题: 1.下列结论正确的是( ) [来源:学.科.网]

A.平行于同一 平面的两直线平行

B.直线 l 与平面 ? 不相交,则 l ∥平面 ? C. A、B 是平面 ? 外两点, C、D 是平面 ? 内两点,若 AC ? BD ,则 AB ∥ ? D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个 2.如果平面 ? 外有两点 A、B ,它们到平面 ? 的距离都是 a ,则直线 AB 和平面 ? 的位置关系 一定 是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB ? ? )[来源:学.科.网][来源

3.已 知 ? ∥ ? , a ? ? , B ? ? , 则在 ? 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线

D.存在唯一一条与 a 平行的直线

4.梯 形 ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? 平面? , CD ? 平面? ,则 直线 CD 与平面 ? 内的直线的位置关系是( ) A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.相 交或异面 5.如图, 直线 l 是过正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点的平面 AB1 D1 与下底面 ABCD 所在平面的交线,则下列结论错误的是( A. B1 D1 ∥ l C. B1C1 ? l 二、解答题 6 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, , M , N 分别为 PA, BC 的中点。 求证: MN // 平面PCD B. BD ∥ 平面AB1 D1 D. l ∥ 平面A1 B1 D1 )

11

P

M D N A B C

7 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D 为 AB 的中点.求证: BC1 ∥平面 DCA1 ;
A A1

D C B B1 C1

8 如 图 , 设 ? ∥ ? , AB、CD 是 两 个 异 面 直 线 , M、N 分 别 是 AB、CD 的 中 点 , 且
A、C ? ? , B、D ? ? .求证: MN ∥ ? .

9 如图,空间四边形 ABCD 被一个平面所截,截面 EFGH 是平行四边形. 求证: CD ∥ EF

12

10 如图,空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成 60? 的角,且 AD ? BC ? a ,平行于 AD 与 BC 的 截面分别交 AB 、 AC 、 CD 、 BD 于 E 、 F 、 G 、 H . (1)求证:四边形 EGFH 为平行四边形;(2) E 在 AB 的何处时截面 EGFH 的面积最大? 最大面积是多少?

A E
F

B

H
G C

D

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案 1.直线与平面垂直的判定定理

2.直线与平面垂直的性质定理

3.平面与平面平行的判定定理

4.平面与平面垂直的性质定理

例 1:如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上异于 A、B 的任意一点,求证: 平面 PAC⊥平面 PBC.

13

E 分别是棱 BC , CC 1 上的点(点 D 不同 例 2:如下图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB 1 1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点. 于点 C ),且 AD ? DE ,

求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ;(2)直线 A1 F // 平面 ADE .

例 3: 如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD ,
E 是 A1B1 的中点。求证:(1) AB ? 平面 CDE;

(2)平面 CDE ? 平面 ABC 。
C1 A1

B1

C
A D

B

14

5.求直线与平面所成的角 (1)直线与平面所成的角的定义:

(2)直线与平面所成的角的范围:

例 4:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 PA ? 平面 ABCD , PA ? 5, AB ? 4, AD ? 3, 求直线 PC 与平面 ABCD 所成的角

例 5:如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长为 1,则 BC1 与侧 面 ACC1 A1 所成的角是多少度.

15

6.求二面角 (1)二面角的定义:

(2)二面角的范围:

例 6:过正方形 ABCD 的顶点 A ,引 PA ? 平面 ABCD ,若 PA ? AB ,则平面 ABP 与平面 CDP 所成 二面角的大小 例 7:如图,P 是二面角 α-AB-β 的棱 AB 上一点,分别在 α、β 上引射线 PM、PN,截 PM=PN, 如果∠BPM=∠BPN=45° ,∠MPN=60° ,则二面角 α-AB-β 的大小是___________.

练习

一.选择题 1.直 线 a⊥直线 b,b⊥平面 ? ,则 a 与β 的关系是( A.a⊥ ? B. )

a ∥β .

C. a ? ?

D.a ? ? 或 a∥ ? [来源:学科网 ZXXK]

2.对于直线 m 、 n 和平面 ? 、 ? , ? ? ? 的一个条件是( ). A. m ? n , m // ? , n // ? B. m ? n, ? ? ? ? m, n ? ? C. m // n, n ? ? , m // ? D. m // n , m ? ? , n ? ? 3.下列命题中错 误的是( )

(A)如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? (B)如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ?
16

(C)如果平面 ? 不 垂直于 平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (D)如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? 二.填空题 4.线段 AB 的两端在直二面角 ? -CD- ? 的两个面内,并与这两个面都成 30°角,则异面直线 AB 与 CD 所成的角度数是 度. 5.设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下说法: ①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 垂心; ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 垂心; ③若 ?ABC ? 90? , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ; ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心. 其中正 确说法的序号依次是 三.解答题 6. 如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE和AD 的交点, AC ? BC ,且 AC ? BC 。 (Ⅰ)求证: AM ? 平面EBC ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小;
E D

.

M

A

C

B

7.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、 AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;(2)平面 BEF⊥平面 PAD

17

8 如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD ,
A

E 是 AB 的中点。
求证:(1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。
B E C

D

9.如图,四边形 ABCD 是菱形, PA ? 平面ABCD , PA ? AD ? 2, ?BAD ? 60? (1)求证: 平面PBD ? 平面PAC (2) 求二面角 A ? PB ? D 的余弦值

10 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 ,
CC1 ? 平面 ABC , BC ? 4 , AB ? 5 , AA1 ? 4 ,

C1 A1

B1

点 D 是 AB 的中点, (1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 ? 平面CDB1 ; (3)求三棱锥 C1 ? CDB1 的体积。

C
A D

B

18

5 月 29

立体几何

44.根据三视图求体积表面积时,要注意(1)先看俯视图,确定几何体的“底盘”(2)计算表面 ................ 积时,要注意侧面的高与几何体的高的区别 (3)注意实线与虚线 ①某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,该几何体的俯视图不可能是( )(答案:D)

主视图

左视图

俯视图

②如右上图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正 方形,则其表面积是 _____.(答案:12)

③某几何体的三视图如右图所示,则它的体积是( ) ( A) 8 ?

2? 3

(B) 8 ?

?
3
(答案:A) 相应的侧视图

(C) 8 ? 2?

2? (D) 3
)(答案:D)

④在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则 可以为(

⑤若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 45.位置和符号的表示

(答案:

3 ?) 3

①空间两直线:平行、相交、异面;②直线与平面: a∥α 、a∩α =A (a ? α ) 、a ? α ③平面与平 面:α ∥β 、α ∩β =a,特别注意直线 a 在平面 ? 内记作: a ? ? ,而不是 a ?? 46.常用定理

? ? ?? a // b ? ? // ? ? ? ? ? ? a // ? ; a ? ? ? ? a // ? ①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; a ? ?? a ?? ? ? a ??? ?

19

? // ? a // ? ? ? a // b ? a ? ?? ? ? ? a // b ? ? ? ? a ②线线平行: a ? ? ? ? a // b ; ; ? ? c // b ? ? ? a // b ; a // c ? b ??? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b?
a ? ?,b ? ? ? a ??? ? // ? ? ? ? ? ? // ? ; ③面面平行: a ? b ? O ? ? ? // ? ; ? ? ? // ? a ? ?? ? // ? ? ? a // ? , b // ? ?

??? ? a ? ? ,b ? ? ? a ? ?? ? ? ? ? a ? b ;⑤线面垂直: a ? b ? O ? ? l ? ? ; ? ? ? ? l ? ? a ? ? ; ④线线垂直: b ? ?? a ? ?, a ? l? l ? a, l ? b ? ? ?

? // ? ? a // ? ? a // b ? a ? ?? 0 ??a ? ? ; ?? ? ? ; ??? ? ? ? ? b ? ? ⑥面面垂直:二面角 90 ; ? a ? ?? a ? ?? a ? ?? a ?? ?
立体几何中的常见题型及基本思路 1.线线平行是线面平行和面面平行的基础,它的证明思路有一下几个: (1)找到或者构建含两线的平行四边形 (2)看看两线是否构成一个三角形的中位线或者是等分线 (3)垂直于同一平面的两条直线平行 (4)找到一条直线,证明它和这两条直线分别平行 (5)已知线面平行,根据线面平行性质得到线线平行 (6)由面面平行性质得到的线面平行 2.线面平行的证明思路: (1)在平面内找到一条和线平行的直线 (2)由面面平行得到的线面平行 3.面面平行的证明思路 (1)面面平行的判定定理 (2)找到两个面的垂线,证明线面垂直得到面面垂直 4.线线垂直是线面垂直和面面垂直的基础: (1)由线面垂直得到的线线垂直,这要找一个包含其中一条线的面,且它和另一条线垂直 (2)勾股定理导出的线线垂直,这要放在同一平面内,还要有三边长度
20

(3)等腰三角形底边上的中线 (4)由相似得到的垂直关系 (5)矩形(正方形)临边,菱形(正方形)对角线的垂直关系 5.线面垂直的证明思路: (1)线面垂直的判定定理 (2)找一个面或者线的平行面或者线,将问题转化 (3)面面垂直导出的线面垂直,一种是垂直于交线的, 6.面面垂直的证明思路: 面面垂直的判定定理

E 分别是棱 BC , CC1 上 如①如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB 1 1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点. 的点(点 D 不同于点 C ),且 AD ? DE ,
求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ;(2)直线 A1 F // 平面 ADE .

②如上图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;(2)平面 BEF⊥平面 PAD

P E D A
A

③如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD ,

F C B

E 是 AB 的中点。求证:(1) AB ? 平面 CDE;
(2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 B E

C

D

21

C1 A1
④如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 ,

B1

CC1 ? 平面 ABC , BC ? 4 , AB ? 5 , AA1 ? 4 , 点 D 是 AB 的中点, (1)求证: AC ? BC1 ;
(2)求证: AC1 ? 平面CDB1 ; (3)求三棱锥 C1 ? CDB1 的体积。

C
A D

B

48.球:表面积 S 球=4π R ; 体积 V 球=

2

4 3 πR; 3
3 2

6

3
1

如:一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积 为_____m3. 【答案】 18 ? 9?

3 2 侧视图

正视图

3
俯视图

22


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