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学案3.3.1利用导数判断函数单调性(选修1-1)


预习案 3.3.1 利用导数判断函数的单调性 【预习目标】 (1)理解掌握函数单调性与导数的关系; (2)能够利用导数的符号判断函数的单调性. 【知识链接】 (1)求函数 y ? 2 x 的导数 (2)求函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 的导数 判断它的单调性. 画出草图,讨论它的单调性.

【自学导引】: 在必修一函数单调性一部分的探索与研究中,曾经涉及了用函数的平均变化率来研究函数 单调性的有关内容,同学们可以结合平均变化率与导数的关系来理解如何利用导数研究函数的 单调性. 问题 1:在函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 中,若 f 递增区间存在怎样的联系? 问题 2:在函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 中,若 f 递减区间存在怎样的联系? 问题 3:如何利用导数判断函数的单调性? 问题 4:判断函数单调性的方法有哪些? 【预习反馈】通过预习你还有哪些疑惑?请你写出来。
' '

? x ? ? 0 ,自变量 x 的取值范围是什么?与函数的 ? x ? ? 0 ,自变量 x 的取值范围是什么?与函数的

学习案 3.3.1 利用导数判断函数的单调性 【学习目标】 (1)理解掌握函数单调性与导数的关系; (2)能够利用导数求函数的单调区间; (3)结合导数在函数单调性中的应用,根据函数单调性求参数的取值范围 重点:结合几何直观,探索函数单调性与导数的关系. 难点:结合导数在函数单调性中的应用. 【学习探究】 【知识梳理】 : 导数与函数的单调性的联系:设函数 y ? f ( x) 如果在 x 的某个开区间内,总有 ,那么 f ( x ) 在这个区间上是增函数;

如果如果在 x 的某个开区间内,总有 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x ) 在这个区间上是 如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x ) 为该区间上的 上述结论可以用下图来直观理解: .



思考与讨论: 1.利用导数求函数单调区间的步骤:

2.由 f

'

? x? ? 0 ,我们可以得到 f ( x) 在某区间上单调递增,

反之,是否仍然成立?若不成立,能否举一反例? 结合 y ? x3 在实数集单调递增,但有 f
'

? x? ? 0

说明:若 f ( x ) 为某区间上的增(减)函数,则在该区间上 f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 )不一定 成立.即如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 )是 f ( x ) 在该区间上是增(减)函数的充 分不必要条件. 【典例示范】 : 例 1.求出下列单调区间:

(1) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4;

(2) f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? x ? 1. (课本 94 页例 2、例 3)

例 2.确定函数 f ( x) ? x ? 解: f
'

4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 x

? x? ? 1?

4 x2

4 的递增区间为 (? ?, ? 2)和(2, ??) x 4 当 f ?( x) ? 0 ,得-2<x<0 或 0<x<2, 所以函数 f ( x) ? x ? 的递减区间为(-2,0)和(0,2). x
当 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 2或x<-2 ,所以函数 f ( x) ? x ? 说明: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个, 单调区间不能用 “, ”连接. 变式:确定函数 f ( x) ? x ? 解: f
'

, 只能用 “和”

p 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. x

? x? ? 1?

p x2

当 f ' ? x? ? 0 , 得 x ?

p或x<- p , 所 以 函 数 f ( x) ? x ?

p 的 递 增 区 间 为 x

(??, ? p)和( p , ??)
当 f ?( x) ? 0 , 得 ? p ? x ? 0或0 ? x ?

p , 所 以 函 数 f ( x) ? x ?

p 的递减区间为 x

(? p ,0)和(0, p)
【归纳小结】

【当堂检测】 1、设 f?(x)是函数 f(x)的导函数,y=f?(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是 ( C )

2. 函数 f (x) 的导函数 y= f ?(x) 的图象如下图, 则函数 f (x) 的单调递增区间为________.(答 案(-1,0)和(2,+ ? ))

y

-1 O

2

x

3.确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在哪些区间内是增函数. 解: f ?( x) ? 6 x2 ?12 x .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 . 因此,在区间 (??, 0) 内, f ( x ) 是增函数; 在区间 (2, ??) 内, f ( x ) 也是增函数. 4.确定函数 f ( x) ? sin x , x ? [0, 2? ] 的单调减区间. 解: f ( x)? ? cos x .令 f ?( x) ? 0 ,即 cos x ? 0 ,又 x ? [0, 2? ] ,所以 x ? ( 故区间 (

? 3?
2 , 2

).

? 3?
2 , 2

) 是函数 f ( x) ? sin x , x ? [0, 2? ] 的单调减区间.

注意:所求的单调区间必须在函数的定义域内. 练习案 3.3.1 利用导数判断函数的单调性 巩固提高 A组 1、在下列结论中,正确的结论共有 ( A (1)单调增函数的导数也是单调增函数 (2)单调减函数的导数也是单调减函数 (3)单调函数的导函数也是单调函数 (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的。 A、0 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 )

2、函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 在 (??,??) 上 ( A ) A、是增函数 B、是减函数 C、有最大值 D、有最小值

/ 3、若在区间(a,b)内有 f ( x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在在区间(a,b)内有( A )

A、 f ( x) ? 0
2

B、 f ( x) ? 0

C、 f ( x) ? 0

D、不能确定

4、函数 y ? x ? 4 x ? a 的增区间是 [2,??) ,减区间 (??,2]

5、函数 y ? x 3 ? x 的增区间是 B组 1、 、已知函数 f ( x) ? x ln x ,则 A、在 (0,??) 上递增 C、在 ( 0, ) 上递增

(-?,-

3 3 3 3 减区间是()和( ,+?) , ) 3 3 3 3

( D )

B、在 (0,??) 上递减 D、在 ( 0, ) 上递减 ) D、 ( ?? ,? ), (0, ) )

1 e

1 e

2、 、函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 的增区间是( C A、 (0, )

1 2

B、 ( ?

1 1 ,0), ( ,?? ) 2 2

C、 ( ,?? )

1 2

1 2

1 2

3、若函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的范围( A A、 a ? 3 B、 a ? 3 C、 a ? 3 D、 0 ? a ? 3 函数

4、函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 2, g ( x) ? x 2 ? 1 则 f[g(x)]在 (? 2 ,0) 上为 5、已知 x>1,求证:x>lnx 解:令 f(x)=x-lnx,则 因为 x>1,所以 f
'

f ' ( x) ? 1 ?

1 x

? x? ? 0

( 1, ? ?) 因为 f(x)在 上为增函数
所以当 x>1,f(x)>f(1) 即 x-lnx>1>0 所以 x>lnx


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