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2012年广东高考理科数学试题与答案(解析版)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、 答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”. 2、 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求做大的答案无效。 4、 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的, 答案无效。 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。 1. 设 i 为虚数单位,则复数

5 ? 6i =( i

)

( A) 6 ? 5i
【解析】选 D 依题意:

( B) 6 ? 5i

(C ) ? ? ? i?

( D) ?? ??i

5 ? 6i (5 ? 6i)i ? ? ?6 ? 5i ,故选 D . i i2 2.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {1, 2, 4} ;则 CU M ? ( )

( A) U
??? ? ??? ?

( B) {1,3,5}
??? ?

(C ) {? , ? , ? }

( D) {?, ?, ?}

【解析】选 C CU M ? {?, ?, ?}

3. 若向量 BA ? (2,3), CA ? (4, 7) ;则 BC ? (

)

( A) (?2, ?4) ( B) (2, 4) ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2 4 ( 【解析】选 A B C ? B A C A ? , ? )
4. 下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(

(C ) (? ,? ?)

( D) (??, ???)

)

( A) y ? ln( x ? 2)

( B) y ? ? x ? 1

? (C ) y ? ( ) x ?

( D) y ? x ?

? x

【解析】选 A y ? ln( x ? 2) 区间 (0, ??) 上为增函数, y ? ? x ? 1 区间 (0, ??) 上为减函数

? ? y ? ( ) x 区间 (0, ??) 上为减函数, y ? x ? 区间 (1, ??) 上为增函数 ? x

? y?2 ? 5. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? x ? y ?1 ?

)

( A) 12
【解析】选 B

( B) 11

(C ) ?

( D) ??

约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(2, 2), B(3, 2), C ( , ) 则 z ? 3x ? y ?[8,11]

5 3 2 2

6. 某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(

)

( A) 12?

( B) 45?

(C ) ???

( D) ???

【解析】选 C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成 它的体积为 V ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? 3 ? 52 ? 32 ? 57?
2 2

1 3

7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个, 其个位数为 0 的概率是( )

( A)

4 9

( B)

1 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【解析】选 D ①个位数为 1,3,5,7,9 时,十位数为 2, 4, 6,8 ,个位数为 0, 2, 4,6,8 时,十位数为 1,3,5,7,9 ,共 45 个 ②个位数为 0 时,十位数为 1,3,5,7,9 ,共 5 个别个位数为 0 的概率是

5 1 ? 45 9

8. .对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?? ;若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , ? ??
)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n a 与 b 的夹角 ? ? (0, ) ,且 a ? b, b ? a 都在集合 ? n ? Z } 中,则 a ? b ? ( 4 ?2
( A)

1 2

( B) 1

(C )

? ?

( D)

? ?

【解析】选 C

? ? ? a ? ? a ? b ? ? cos ? ? 0, b ? a ? b

? b ? ? ? ? 1 ? cos ? ? 0 ? (a ? b) ? (b ? a) ? cos 2 ? ? ( ,1) 2 a

? ? ? ? ? ? ? ? nn ? ? 3 ?n a ? b, b ? a 都在集合 ? n ? Z } 中得: (a ? b) ? (b ? a) ? 1 2 (n1 , n2 ? N * ) ? a ? b ? 4 2 ?2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。

(一)必做题(9-13 题) 9. 不等式 x ? 2 ? x ? 1 的解集为_____

1 2 ? x ? ?2 ??2 ? x ? 0 ?x ? 0 1 原不等式 ? ? 或? 或? ,解得 x ? ? , 2 ??( x ? 2) ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 1 3 10. ( x 2 ? )6 的展开式中 x 的系数为______。 (用数字作答) x 【解析】系数为______ 20 1 k k ( x 2 ? )6 的展开式中第 k ? 1 项为 Tk ?1 ? C6 x ? k x 2(6?k ) ? C6 x12?3k (k ? 0,1, 2,?, 6) x 3 3 令 12 ? 3k ? 3 ? k ? 3 得: x 的系数为 C6 ? 20
【解析】解集为_____ (??, ? ] 11. 已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _____
2

【解析】 an ? _____ 2n ? 1
2 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ? 1 ? 2d ? (1 ? d )2 ? 4 ? d ? 2 ? an ? 2n ? 1

12. 曲线 y ? x ? x ? 3 在点 (1,3) 处的切线方程为
3

【解析】切线方程为
3

2x ? y ? 1 ? 0 y ? x ? x ? 3 ? y? ? 3x ? 1 ? k ? y? x ?1 ? 2 ?
2

切线方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0 13. 执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 8 , 则输出 s 的值为 【解析】输出 s 的值为 8

S i k

1 2 1

2 4 2

4 6 3

8 8 4

(二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为

? ?x ? t ? x ? 2 cos ? ? (? 是参数) C1 : ? (t 是参数) 和 C2 : ? ,它们的交点坐标为_______. ?y ? t ? y ? 2 sin ? ? ?
【解析】它们的交点坐标为_______ (1,1)

C1 : y 2 ? x( y ? 0), C2 : x 2 ? y 2 ? 2 解得:交点坐标为 (1,1) 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的半径为 1, A, B, C
是圆周上的三点,满足, ?ABC ? 30 ,过点 A 做圆 O 的切线 与 OC 的延长线交于点 P ,则 PA ? _____ 【解析】 PA ? _____
?

3
?

连接 OA ,得 ?AOC ? 2?ABC ? 60 ? AC ? 1,

?PAC ? ?ABC ? 30? ? ?APC ? 30? ? PC ? 1 PA2 ? PO 2 ? OA2 ? 3 ? PA ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos(? x ? (1)求 ? 的值;

?
6

)(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为10?

5? 6 5? 16 ) ? ? , f (5? ? ) ? ;求 cos(? ? ? ) 的值 2 3 5 6 17 2? 1 【解析】 (1) T ? ? 10? ? ? ? ? 5 5? 6 ? 3 3 4 (2) f (5? ? ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? , cos ? ? 3 5 2 5 5 5 5? 16 8 15 f (5? ? ) ? ? cos ? ? ,sin ? ? 6 17 17 17 4 8 3 15 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? 5 17 5 17 85
(2)设 ? , ? ? [0,

?

] , f (5? ?

17. (本小题满分 13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望。 【解析】 (1) 0.006 ?10 ? 3 ? 0.01?10 ? 0.054 ?10 ? x ?10 ? 1 ? x ? 0.018 (2) 成绩不低于 80 分的学生有 (0.018 ? 0.006) ?10 ? 50 ? 12 人, 其中成绩在 90 分以上 (含 90 分) 的人数为 0.06 ?10 ? 50 ? 3 随机变量 ? 可取 0,1, 2

C92 C1C1 9 C2 6 1 ? , P(? ? 1) ? 9 2 3 ? , P(? ? 0) ? 3 ? 2 2 C12 11 C12 22 C12 22 6 9 1 1 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 11 22 22 2 答: (1) x ? 0.018 1 (2) ? 的数学期望为 2 P(? ? 0) ?

18.(本小题满分 13 分)

如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE 。 (1) 证明: BD ? 平面 PAC ; (2) 若 PA ? 1, AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值; 【解析】 (1) PC ? 平面 BDE , BD ? 面 BDE ? BD ? PC PA ? 平面 ABCD , BD ? 面 ABCD ? BD ? PA 又 PA ? PC ? P ? BD ? 面 PAC (2) AC ? BD ? O 由(1)得: BD ? AC ? AB ? AD , PA ? 1, AD ? 2 ? AB ? 2 ,

PC ? 平面 BDE ? BF ? PC, OF ? PC ? ?BFO 是二面角 B ? PC ? A 的平面角
BP ? BC 2 5 ? PC 3 2 BO 2 2 ? tan ?BFO ? ?3 在 Rt ?BOF 中, BO ? 2, OE ? BF ? BO ? 3 OF 得:二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3
在 ?PBC 中, PB ? 5, BC ? 2, PC ? 3 ? ?PBC ? 90 ? BE ?
?

19.(本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 2Sn ? an ?1 ? 2 (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式。 (3)证明:对一切正整数 n ,有 【解析】 (1) 2Sn ? an ?1 ? 2
n ?1 n ?1

? 1(n ? N * ) ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。

1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2

? 1, 2Sn?1 ? an? 2 ? 2n? 2 ? 1 相减得: an ? 2 ? 3an ?1 ? 2n ?1

2S1 ? a2 ? 3 ? a2 ? 2a1 ? 3, a3 ? 3a2 ? 4 ? 6a1 ? 13 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列 ? a1 ? a3 ? 2(a2 ? 5) ? a1 ? 1
* (2) a1 ? 1, a2 ? 5 得 an ?1 ? 3an ? 2 对 ?n ? N 均成立
n

an ?1 ? 3an ? 2n ? an ?1 ? 2n?1 ? 3(an ? 2n )
得: an ? 2 ? 3( an ?1 ? 2
n n ?1

) ? 32 ( an ?2 ? 2 n ?2 ) ? ? ? 3 n ?1( a1 ? 2) ? an ? 3 n ?2 n

(3)当 n ? 1 时,

1 3 ?1? a1 2 3 n 3 2 1 1 n n n ? n 当 n ? 2 时, ( ) ? ( ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ? 2 2 an 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ?? ? ? 1? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1? ? n ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 ? ? ? ? (lfxlby) 由上式得:对一切正整数 n ,有 ? a1 a2 an 2

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? a b
点到 Q(0, 2) 的距离的最大值为 3 ; (1)求椭圆 C 的方程;

2 ,且椭圆 C 上的 3

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x ? y ? 1 相交于不同的
2 2

两点 A, B ,且 ?AOB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的 ?AOB 的面积; 若不存在,请说明理由。 (lby lfx) 【解析】 (1)设 c ?

a 2 ? b2

由e ?

c 2 2 1 ? ? c 2 ? a 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 a 3 3 3
x2 y 2 y2 ? 2 ? 1,所以 x 2 ? a 2 (1 ? 2 ) ? a 2 ? 3 y 2 b a2 b

设 P( x, y ) 是椭圆 C 上任意一点,则

| PQ |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 3 y 2 ? ( y ? 2) 2 ? ?2( y ? 1) 2 ? a 2 ? 6
当 b ? 1 时,当 y ? ?1 时, | PQ | 有最大值 a ? 6 ? 3 ,可得 a ? 3 ,所以 b ? 1, c ?
2

2

当 b ? 1 时, PQ ?

a 2 ? 6 ? 3b 2 ? 6 ? 3 不合题意

故椭圆 C 的方程为:

x2 ? y2 ? 1 3

(2) ?AOB 中, OA ? OB ? 1 , S?AOB ?

1 1 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 2 2 1 ? 当且仅当 ?AOB ? 90 时, S ?AOB 有最大值 , 2
?AOB ? 90? 时,点 O 到直线 AB 的距离为 d ?
2 ? 2
2 2

2 2

d?

1 m2 ? n2
2

?

2 ? m2 ? n2 ? 2 2

又 m ? 3n ? 3 ? m ?

6 2 3 2 1 ,? ) (lfxlby) , n ? ,此时点 M (? 2 2 2 2

21.(本小题满分 14 分) 设 a ? 1 ,集合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , D ? A ? B 。
2

(1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点。
3 2

【解析】 (1)对于方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0
2

判别式 ? ? 9(1 ? a) ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ? 1)
2

因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0 ① 当1 ? a ? ② 当a ? 当a ?

1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 D ? A ; 3

1 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) ? (1, ??) ; 3

1 2 时, ? ? 0 ,设方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,则 3

x1 ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , x2 ? 4 4

B ? {x | x ? x1或x ? x2 }
③ 当0 ? a ?

1 3 时, x1 ? x2 ? (1 ? a) ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 3 2

此时, D ? ( x, x1 ) ? ( x2 , ??)

? (0,

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) )?( , ??) 4 4

④ 当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 此时, D ? ( x2 , ??) ? (
2

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) 4

(2) f ?( x) ? 6 x ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? 1)( x ? a) , a ? 1 所以函数 f ( x) 在区间 [ a,1] 上为减函数,在区间 (??, a] 和 [1, ??) 上为增函数

1 ? a ?1 3 ② x ? a 是极点 ? a ? A, a ? B ? 0 ? a ? 1
① x ? 1 是极点 ? 1? B ? 得: a ? 0 时,函数无 f ( x) 极值点, 0 ? a ?

1 时,函数 f ( x) 极值点为 a , 3

1 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 极值点为1 与 a (lfxlby) 3


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