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江苏省高一下学期期中考试(数学) (2)


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江苏省高一下学期必修五 高一数学
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案填 写在答题纸的相应位置上.) ... 1.在 ?ABC 中,若 A ?

?
6

, a ? 2 ,则
.

b ? sin B

/>
.

2.求和:

? (1 ? 2n) =
n ?0

20

3.若 x ? 0, y ? 0, 且 x ? y ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 4.远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯三百八十一,塔顶共有灯 5. 在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 ?C 的大小为

. 盏. .

6.已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成等比数列,则该等比数列的公比 为 .

7.把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ,且

?ABC ? 120? ,当第三边 AC 最短时,边 AB 的长为
8.在等比数列 {an } 中, a1 ? 0, a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 36 ,则 a3 ? a5 ?
? 9.在 ?ABC 中,已知 a ? 4 , b ? 4 2 , B ? 45 ,则 ? A =

. . . . 三角形.

10.等差数列 {an } 中,已知 S8 ? 100, S24 ? 87 ,则 S16 ?

11.若三角形三边的长分别为 n, n ? 1, n ? 2(n ? 3) ,则三角形的形状一定是
2 2

12.若 3ax ? (a ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 表示直线 3ax ? (a ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 上方的平面区域, 则 a 的取值范围是 .

13.两个等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

Sn 3n ? 2 a ,则 5 = ? Tn 2n ? 1 b4

.

14.已知 an ? 2 n , 把数列 an } 的各项排成如右侧三角形状,记 A(i, j ) 表示第 i 行中第 j 个 { 数,则结论 ① A(2,3) =16; ② A(i,3) ? 2 A(i,2)(i ? 2) ; ③ [ A(i, i)] ? A(i,1) ? A(i,2i ? 1), (i ? 1) ;
2

a1 a5 a10 a11 a2 a6 a12 a3 a7 a13 ?? a4 a8 a14 a9 a15 a16

④ A(i ? 1,1) ? A(i,1) ? 2 其中正确的是

2i ?1

, (i ? 1) ;
(写出所有正确结论的序号) .

2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 ... 说明、证明过程或演算步骤.) 15.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 45 ,求 b 及 A .
?

16.求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 .

17. 已知等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? 17, (1)求 {an } 的通项公式;

a1a 8 ? ?38且a1 ? a8 .

(2) 调整数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 的顺序, 使它成为等比数列 {bn } 的前三项, {bn } 求 的前 n 项和.

18.在 ?ABC 中,已知 b ? 1, c ? 2 ,角 A 的平分线 t a ?

2 3 , 求 a 及三内角的大小. 3

19. (1)已知数列 {cn } ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 {cn?1 ? pcn } 为等比数列,求常数 p; (2)设 {an } 、{bn } 是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明:数列 {cn } 不是 等比数列.

20.在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根.现将它们堆放在一 起. (1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),并使剩余的圆钢尽 可能地少,则剩余了多少根圆钢? (2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),且不少于七层, (Ⅰ)共有几种不同的方案? (Ⅱ)已知每根圆钢的直径为 10cm,为考虑安全隐患,堆放高度不得高于 4m,则选择 哪个方案,最能节省堆放场地?

3

江苏省高一下学期期中试卷 数学答案
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.在 ?ABC 中,若 A ?
20

?
6

, a ? 2 ,则

b ? 2 2 (课本 10 页第 3 题改编) sin B

2.求和:

? (1 ? 2n) =-399. (课本第 45 页第 2 题原题)
n ?0

3.若 x ? 0, y ? 0, 且 x ? y ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是_1_.(课本 83 页练习 1 原题) 4.远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯三百八十一,塔顶共有灯____3______盏.(课 本 56 页练习 1 原题) 5. 在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 ?C 的大小为 题改编) 6.已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成等比数列,则该等比数列的公比为 3.(课本 52 页练习 4 原题) 7.把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ,且

2? .(课本 15 页第 5 3

?ABC ? 120? ,当第三边 AC 最短时,边 AB 的长为15 .(课本 21 页第 6 题改编)
8.在等比数列 {an } 中, a1 ? 0, a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 36 ,则 a3 ? a5 ? 52 页练习 6 改编)
? ? 9.在 ?ABC 中,已知 a ? 4 , b ? 4 2 , B ? 45 ,则 ? A = 30 .

-6

. (课本

10.等差数列 {an } 中,已知 S8 ? 100, S24 ? 87 ,则 S16 ? 129.(课本 42 页练习 4 改编) 11.若三角形三边的长分别为 n, n ? 1, n ? 2(n ? 3) ,则三角形的形状一定是钝角三角形. (课 本 15 页练习第 2 题改编) 12.若 3ax ? (a2 ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 表示直线 3ax ? (a2 ? 3a ? 2) y ? 9 ? 0 上方的平面区域, 则 a 的取值范围是 (1, 2) . 13.已知两个等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且 14.已知 an ? 2 n , 把数列 an } 的各项排成如右 { 侧三角形状, A(i, j )表示第i行中第j 个 记 数,则结论

Sn 3n ? 2 a 25 ,则 5 = . ? Tn 2n ? 1 b4 13
a1

a5 a10 a11

a2 a6 a12

a3 a7 a13 ??

a4 a8 a14

a9 a15 a16

4

① A(2,3) =16; ② A(i,3) ? 2 A(i,2)(i ? 2) ; ③ [ A(i, i)]2 ? A(i,1) ? A(i,2i ? 1), (i ? 1) ; ④ A(i ? 1,1) ? A(i,1) ? 2 2i ?1 , (i ? 1) ; 其中正确的是 ①②③④ 二、解答题 15.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 45 ,求 b 及 A .
?

(写出所有正确结论的序号) .

解:∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) = 8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , ∴ A ? 600. 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, 2 3 < 2?1.8 ? 3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. 16.求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{(2n ?1) xn?1} 的通项是等差数列 {2n ? 1} 的通项与等比数列 {xn?1} 的通项之 积 (1) 若 x ? 1 (2) 若 x ? 1 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? ∴

Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ??? ? (2n ? 1) ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x

Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

?n 2 , x ? 1 ? ? S n ? ? (2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ,x ?1 ? (1 ? x) 2 ?

5

17. 已知等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? 17, (1)求 {an } 的通项公式;

a1a 8 ? ?38且a1 ? a8 .

(2) 调整数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 的顺序, 使它成为等比数列 {bn } 的前三项, {bn } 求 的前 n 项和. 解: (1)由已知,得求得 a1 ? ?2 , a8 ? 19 ∴ {an } 的公差 d=3 ∴an=a1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5.

(2)由(1) ,得 a3=a2+d=1+3=4,∴a1=-2,a2=1,a3=4. 依题意可得:数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 或 b1==4,b2=-2,b3=1 (i)当数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 时,则 q=-2 .

? Sn ?

b1 (1 ? q n ) 1? [1 ? (?2)n ] 1 ? ? [1 ? (?2)n ] . 1? q 1 ? (?2) 3

(ii)当数列{bn}的前三项为 b1=4,b2=-2,b3=1 时,则

1 4[1 ? (? ) n ] b (1 ? q ) 8 1 1 2 q ? ? . ? Sn ? 1 ? ? [1 ? (? ) n ] 1 2 1? q 3 2 1 ? (? ) 2
n

18.在 ?ABC 中,已知 b ? 1, c ? 2 ,角 A 的平分线 t a ? 解:如图,S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴

2 3 , 求 a 及三内角的大小. 3

1 A 1 A 1 c ? t a ? sin ? b ?t a ? sin ? bc sin A , 2 2 2 2 2



4 3 2 3 A A 3 ? ? 4 cos ? cos ? ? A ? 60?, 3 3 2 2 2

∴a ?

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3, ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 , ∴C=90°,

综上, a ? 3, A=60°,B=30°,C=90°. 19. (1)已知数列 {cn } ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 {cn?1 ? pcn } 为等比数列,求常数 p; (2)设 {an } 、 {bn } 是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明:数列 {cn } 不 是等比数列. 解: (1)解:因为{cn+1-pcn}是等比数列, 故有: n+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1) n-pcn-1) (c (c ,将 cn=2n+3n 代入上式,得: [2n 1+3n 1-p n+3n) 2= n 2+3n 2-p n 1+3n 1)· n+3n-p n 1+3n 1), (2 ] [2 (2 ] [2 (2 ] 即[ (2-p)2n+(3-p)3n]2 =[ (2-p)2n 1+(3-p)3n 1](2-p)2n 1+(3-p)3n 1] [ ,
+ + - - + + + + + + - -

6

整理得

1 (2-p) (3-p) n·3n=0,解得 p=2 或 p=3. ·2 6

(2)证明:设{an}{bn}的公比分别为 p、q,p≠q,cn=an+bn. 、 为证{cn}不是等比数列只需证 c22≠c1·c3. 事实上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq, c1·c3=(a1+b1) 1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2) (a , 由于 p≠q,p2+q2>2pq,又 a1、b1 不为零,因此 c22≠c1·c3,故{cn}不是等比数列. 20. 解: (1)当纵断面为正三角形时,设共堆放 n 层,则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、1

n(n ? 1) ? 2009? ?n ? ? 2 * 为公差的等差数列,且剩余的圆钢一定小于 n 根,从而由 ? 且n? N n(n ? 1) ? ? 2009 ? 2 ?
得,当 n ? 62 时,使剩余的圆钢尽可能地少,此时剩余了 56 根圆钢; (2) (Ⅰ)当纵断面为等腰梯形时,设共堆放 n 层,则从上到下每层圆钢根数是以 x 为首项、 1 为公差的等差数列,从而 nx ?

1 n(n ? 1) ? 2009 ,即 2

n(2 x ? n ? 1) ? 2 ? 2009 ? 2 ? 7 ? 7 ? 41,因 n ? 1 与 n 的奇偶性不同,所以 2 x ? n ? 1 与 n
的奇偶性也不同,且 n ? 2 x ? n ? 1 ,从而由上述等式得:

?n ? 7 ?n ? 14 ?n ? 41 ?n ? 49 或? 或? 或? ,所以共有 ? ?2 x ? n ? 1 ? 574 ?2 x ? n ? 1 ? 287 ?2 x ? n ? 1 ? 98 ?2 x ? n ? 1 ? 82
4 种方案可供选择. (Ⅱ)因层数越多,最下层堆放得越少,占用面积也越少,所以由(2)可知: 若 n ? 41 ,则 x ? 29 ,说明最上层有 29 根圆钢,最下层有 69 根圆钢,此时如图所示,两 腰之长为 400 cm,上下底之长为 280 cm 和 680cm,从而梯形之高为 200 3 cm, 而 200 3 ? 10 ? 10 ? 400,所以符合条件; 若 n ? 49 ,则 x ? 17 ,说明最上层有 17 根圆钢,最下层有 65 根 圆钢,此时如图所示,两腰之长为 480 cm,上下底之长为 160 cm 和 640cm,从而梯形之高 为 240 3 cm,显然大于 4m,不合条件,舍去; 综上所述,选择堆放 41 层这个方案,最能节省堆放场地.


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