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2005-2013年江苏初赛试题分类汇编(讲义)


2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

2005-2013 年江苏省初赛试题分类汇编
一、集合与不等式:
1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m2+n2=a,x2+y2=b,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大值为__________ 2.集合 A={x|x=3n,n∈N,0<n<10},B={y|y=5m,m∈N,0≤m≤

6}, 则 A∪B 的所有元素之和为 1 3. 设 a>b>0, 那么 a2+ 的最小值是___________ b(a?b) 4.关于 x 的不等式 x2?ax?20a2<0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的取值范围是______________ . 2a 5.设集合 A={x| log0.5(3?x)≥-2 },B={x| >1},若 A∩B≠ ? ,则实数 a 的取值范围是_____________ x?a 6. 设命题 P:a2<a,命题 Q:对任何 x ? R,都有 x2 ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中有且仅有一个成立, 则实数 a 的取值范围是______________________. 7. 设集合 A={x| x2?[x]=2}和 B={x| |x|<2},其中符号[x]表示不大于 x 的最大整数,则 A∩B=____________. 8.若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,则 k 的取值范围是______________. 9. 已知平面上两个点集 M={(x, y)| |x+y+1|≥ 2(x2+y2), x, y∈R}, N={(x, y)| |x?a|+|y?1|≤1, x, y∈R}. 若 M∩N≠?, 则 a 的取值范围是 .

二、函数:
3x+1 1 10.⑴已知 x = - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x . (2)方程 9x+|1-3x|=5 的实数解为 .

(3)设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)≥0 的 x 的取值范围是

11. 设 f (x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象经过点(2, 1),它的反函数的图象经过点(2, 8),则 a+b=________ 12.设函数 f (x)的定义域为 R,若 f (x+1)与 f (x-1)都是关于 x 的奇函数,则函数 y=f (x)在区间[0, 100]上至少 有 个零点. ___,最小值是 . _____. y
3

13.函数 f (x)=(x-2)(x+1)2 在区间[0, 2]上的最大值是 14.当 x∈[?3, 3]时,函数 f ( x) ?| x ? 3x | 的最大值为
60 n ?30

15.已知 f (x)=x2-9x+2013,则 ? [ f (n)?|f (n)|] =_____________ 16.已知函数 y=f (x)的图象如图,则满足 f ( 的 x 的取值范围为________________ 17. 如果二次方程 x ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有__________个.
2

2x ? x ? 1
2

x ? 2x ? 1
2

) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0

O

1

x

18.设 a 为正实数, k ? a
2

lg a

,则 k 的取值范围是

. .

19.设函数 f ( x) ? x ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 且 f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是____________.

20. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2012 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2012 ( x ? R) , 1 1 2 21. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1时有最大值 1,0<m<n,并且 x∈[m, n]时,f (x)的取值范围为[ , ]. n m 则 m=_________,n=__________. 22.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, 求 b2 ? c2 的最大值和最小值.

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

a e 23.已知 a, b 为实数,a>2,函数 f (x)=|lnx- |+b (x>0).若 f (1)=e+1, f (2)= -ln2+1. x 2 (1) 求实数 a, b; (2) 求函数 f (x)的单调区间;(3) 若实数 c, d 满足 c>d, cd=1,求证:f (c)<f (d).

三、数列: 24.设 S n 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S 5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则数列{an}的公差为___________.
25.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5, 则 k= . .5 26.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列, 则数列{an3}的前 n 项和等于 27. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么 x ? y ? z =__________ 28.设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n , n ? N * ,则 f [ f (2011)] ?
2

1 0

2 1 x y

z



29.若数列{an}满足 a4=9, (an+1?an?1)(an+1?3an)=0 (n∈N*),则满足条件的 a1 的所有可能值之积是_________ 30. 设数列{an}: a0 ? 2, a1 ? 16, an ? 2 ? 16an ?1 ? 63an , n ? N*, 则 a2005 被 64 除的余数为___________ 31.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2 (n=1,2,…),a2009= 2,则此数列的前 2009 项的和为 .

32. 设无穷数列{an}的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 an= . 时, 1 33.等比数列{an}的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q=- .设 f (n)表示该数列的前 n 项的积,则当 n= 2 f (n)有最大值.

a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35 , 则 an ? bn = 34. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足: axn 35.设复数数列{xn}满足 xn≠a-1, 0,且 xn+1= .若对任意 n∈N* 都有 xn ?3 ? xn ,则 a = xn+1 36.已知数列{an}中, a1 ? 1 , an ?3 ? an ? 3 , an ? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

__

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

37.已知整数列{an}满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 .

四.三角与向量:
π 38. 函数 y=f (x)的图像按向量→ a =( , 2)平移后, 得到的图像的解析式为 y=______________ 4 2 1 39.⑴设 cos2θ= ,则 cos4θ+sin4θ= ⑵已知 cos4θ= ,则 cos4θ+sin4θ= 3 5 40. 函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ? R) 的最小值是 . 41.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 . 1 42.设 x, y∈[0, 2π],且满足 2sinx· cosy+sinx+cosy=- ,则 x+y 的最大值为___________ 2 43.若△ABC 的三边 AB, BC, AC 成等差数列,则∠A 的取值范围是____________ 44.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ? 则最短边的长为______________ 45.在△ABC 中,已知 tan B ? a2+b2 46. 在△ABC 中,若 tanA· tanB=tanA· tanC+tanC· tanB,则 2 = . c 47. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,则下列命题中正确的有_________ ①. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形; ②. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 ③. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形; ④. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形. π → → → → → 48. 设向量OA绕点 O 逆时针旋转 得向量OB, 且 2OA+OB=(7, 9), 则向量OB= . 2 49.在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 2 2



1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 最长的边为 1, 2 10

3 ,sinC= 3 , AC ? 3 6 ,则△ABC 的面积为______________.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

.

→→ 50.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO = . → → → → → → → 51.已知向量 a , b 满足| a |=| b |=2, a 与 b 的夹角为 60° ,则以向量 2 a +→ b 与 3→ a -→ b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 . 52. 已知点 O 在△ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 ____________.

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

cos A ? cos B 53.在△ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: ? a?b

2sin 2 c

C 2 .

54.如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M, A 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点 B, AB=1, OB>1. 线段 AB 交圆 O 于另一点 C, D 为线段 OB 的中点.求线段 CD 长的取值范围.

五、立体几何:
55. 过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD?A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有________条. 56.长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 57.在四面体 ABCD 中,AB=AC=AD=DB=5, BC=3, CD=4,该四面体的体积为 .

58. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角形的斜边长 是 .

59. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB, DBC, DCA 的距离成等差 数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是_________ 60.在三棱锥 A?BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? , 10 且 cosθ= .已知棱 AB 的长为 6 2,则此棱锥的体积为 . 10 61. 在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G 分别 是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 .
B A

R D Q P C

62.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC, .

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

63. 如图,斜三棱柱 ABC?A1B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? , 侧面 ABB1 A1 ? AA1C1C , A1 B ? AB ? AC ? 1 . 求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. A

B A1

B1

C

C1

六、解析几何:
64.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= 65.已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m= 66. 已知抛物线 y2=2px,O 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形, 则这样的点 P 共有________个. x2 y2 67.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: - =1 的右焦点为 F,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的 12 4 直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点.若△FAB 的面积为 8 3,则直线 l 的斜率为 .
2 2 68.圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是______________



69. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为______________
2 2

70.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,则实数 h 的取值范围是_____________. 71.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ABC 的边有公共点, 其中 A(4, 0)、B(6, 8)、C(2, 4),则 R 的取值范围为 . x2 y2 72.椭圆 + =1 的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 是椭圆的 9 4 右顶点, 并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1. 若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S=_______ x2 y2 73. 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的 a b y 焦点弦. 若在左准线上存在点 R, 使△PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的 R Q 取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. (提示:第二定义)
M‘ P’ P F M O

x

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业 ?x+y>0 74. 设不等式组? 表示的平面区域为 D. 区域 D 内的动点 P 到直线 x+y=0 和 ?x?y<0 直线 x?y=0 的距离之积为 2. 记点 P 的轨迹为曲线 C. 过点 F(2 2, 0)的直线 l 与 曲线 C 交于 A, B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

y

O

x

七、排列组合概率
75.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为 76. 一条走廊宽 2m, 长 8m, 用 6 种颜色的 1 ? 1m2 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足 够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有__________种. 77. 由三个数字 1, 2, 3 组成的 5 位数中, 1, 2, 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 个.

, 2, 3, 4, 5, 6, 7? ,i=0, 1, 2,并且 m ? n ? 636 , 78. 若 m, n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ? ?1
2

?

?

则实数对(m, n)表示平面上不同点的个数为__________个. 79.将 27,37,47,48, 55,71,75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,则这样的排法有 80.三角形的周长为 31,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组(a, b, c)的个数为 81. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 ____________ 82.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀 2 金 2 银的概率是 83.某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 84. 从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配对成一双的概率为______________ 85. 若存在正实数 a, b 满足(a+bi)n=(a-bi)n (i 是虚数单位, n∈N*),则 n 的最小值是____________ 86.从集合{3, 4, 5, 6, 7, 8}中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率是 87.己知 a 为实数,方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实数根是 b (i 是虚数单位) ,则 | a ? bi | =
2

种. .



. .

八、平几
88. 已知点 M 是△ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 N, 且 AB 是△NBC BC BM 的外接圆的切线, 设 =λ, 试求 (用 λ 表示). (提示:梅涅劳斯定理) BN MN
B

A

N M D C

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

89. △ABC 中, AB<AC, AD, AE 分别是 BC 边上的高和中线, 且∠BAD=∠EAC, 证明:∠BAC 是直角.

C

90.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14, AD=7,AB=28,CE=12.求 BC.
A D E B

E 91.如图,圆内接五边形 ABCDE 中,AD 是外接圆的直径,BE⊥AD 于 H. 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC、DC 分别交于点 F, G. 证明: (1) 点 A, B, F, H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

A

H F B G C

D

九、数论
92.设 a 是整数,0≤b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= . . 93.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值是

94. 将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数,这个数为完全平方数,再过 31 年, 将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是_________

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

95. 设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p

96.求所有正整数 x, y,使得 x2+3y 与 y2+3x 都是完全平方数.

97.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

十、杂题
98. (1) 若 n (n∈N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理由; (2) 若 n (n∈N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

99. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (1) 2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 48; (2) 2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 72.

100.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结论.

101. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n≥2):对于任意实数 x1, x2, …, xn, 当 x1+x2+…+xn=0 时, 总有 x1· x2+x2· x3+…+xn?1· xn+xn· x1≤0

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2013 年南菁高二(1)国庆节数学作业

102.设 a, b, c, d 是正整数, a, b 是方程 x ? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长是整数且面积为 ab 的 直角三角形.
2

103、(2011· 江苏 24)设整数 n ≥4, P(a, b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a, b ?{1, 2,3, ?, n}, a ? b 1 (1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 (a-b)是整数的点 P 的个数,求 Bn 3

104、(2012· 江苏 24)设集合 Pn ? {1, 2, n},n∈N*.记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: …, ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) .

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