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综合法分析法课件2 新人教A版选修1-2


2.2

直接证明与间接证明

2.2.1 综合法与分析法

学习目标
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法 和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点, 会用综合法和分析法证明数学问题.

. 综 合 法 与 分 析 法

课前自主学案

/>2 2.1

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

类比 归纳 1.合情推理包括____推理和____推理;演绎 大前提 小前提 推理的“三段论”包括______、______和 结论 ____. 充分不必要 2.“a>b>0”是a2>b2的__________条件.
1 3.因为 a+b≥2 ab(a>0,b>0),所以 x+ x 1 ≥2(x>0),且当 x=_,x+x(x>0)取最小值_. 2 1

知新益能
综合法和分析法

综合法 利用________和某些数学 已知条件 定义 公理 定理 _____、_____、_____等,经过 一系列的__________,最后推 推理论证 导出所要证明的结论成立,这 种证明方法叫做综合法 P?Q1 → Q1?Q2 → 框图 表示 Q2?Q3 →?→ Qn?Q

定义

分析法 结论出发 从要证明的_________,逐步寻 充分条件 求使它成立的_________,直至 最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知 定理 定义 公理 条件、____、____、____等), 这种证明方法叫做分析法 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →? → 得到一个明显?成立的条件 逆推证法或执果索因法

特点

定义 (P 表示________、已有的____、 已知条件 ____、____等,Q 表示 公理 定理 所要证明的结论 ______________ 顺推证法或由因导果法

问题探究 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是 演绎推理? 提示:综合法与分析法的推理过程是演绎推理, 因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻 辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的,不 同于合情推理中的“猜想”.

2.分析法是把所要求证的结论当作已知条件来 推理吗? 提示:分析法并不是把所要求证的结论当作已知 条件来推理,而是寻求使结论成立的充分条件.

课堂互动讲练

考点突破 综合法的应用

综合法的思维特点是:从“已知”看“可知”,
逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是寻找

它的必要条件.

例1

已知 a、b 是正数,且 a+b=1,

1 1 求证:a+b≥4.
【思路点拨】 解答本题可由已知条

件出发,结合基本不等式,即可得出
结论.

【证明】 法一:∵a,b 是正数且 a+b =1, ∴a+b≥2 ab,当且仅当 a=b 时,取 “=”号, 1 ∴ ab≤ , 2 1 ∴ab≤ , 4 1 1 a+b 1 ∴a+b= ab =ab≥4.

法二:∵a,b 是正数, 1 1 ∴a+b≥2 ab>0, + ≥2 a b 1 >0, ab

当且仅当 a=b 时,取“=”号, 1 1 ∴(a+b)( + )≥4. a b 1 1 又 a+b=1,∴ + ≥4. a b

1 1 a+b a+b b a 法三: + = + =1+ + +1 a b a b a b ba ≥2+2 a·=4,当且仅当 a=b 时, b 取“=”号.
【思维总结】 综合法证明不等式所 依赖的主要是不等式的基本性质和已 知的重要不等式,其中常用的有如下 几个: (1)a2≥0(a∈R).

(2)(a-b)2≥0(a、b∈R),其变形有 a2+ a+b 2 ?a+b?2 b2≥2ab,( ) ≥ab,a2+b2≥ . 2 2 a+b (3)若 a、b∈(0,+∞),则 ≥ ab, 2 b a 特别地,当 a,b 同号时,有a+b≥2. 2 2 2 (4)a +b +c ≥ab+bc+ca(a、 c∈R). b、

互动探究 1 本例已知条件不变, 求证: 1 1 1 a+b+ab≥8.

证明:∵a>0,b>0,a+b=1, 当且仅当 a=b 时,取“=”号. ∴1=a+b≥2 ab, 1 1 ∴ ab≤ .∴ ≥4. 2 ab 1 1 1 1 1 1 ∴ + + =(a+b)( + )+ a b ab a b ab 1 ≥2 ab· 2 +4=8. ab 1 1 1 ∴ + + ≥8. a b ab

分析法的应用 分析法是由结论到条件的逆推证法,它的思维特 点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐 步推理实际上是寻求它的充分条件.
例2

当 a≥2 时,求证: a+1- a

< a-1- a-2.

【思路点拨】 条件和结论的联系不明确,考虑 用分析法证明.

【证明】 要证 a+1- a< a-1- a-2, 只需证 a+1+ a-2< a+ a-1, 2 2 只需证( a+1+ a-2) <( a+ a-1) , 只需证 a+1+a-2+2 ?a+1??a-2?<a +a-1+2 a?a-1?, 只需证 ?a+1??a-2?< a?a-1?, 只需证(a+1)(a-2)<a(a-1), 只需证-2<0,显然成立, ∴ a+1- a< a-1- a-2

【思维总结】 含有根号的式子,应想到用平方 法去根号,且在平方时应保证两边为正,同时要 有利于再次平方,因此需移项.

变式训练2

已知a>6,

求证: a-3- a-4< a-5- a-6.

证 明 : 要 证 a-3 - a-4 < a-5 - a-6, 1 1 只需证 < , a-3+ a-4 a-5+ a-6 只需证 a-3+ a-4> a-5+ a-6, ∵a>6,

∴a-3>0,a-4>0,a-5>0,a-6>0, 又∵a-3>a-5, ∴ a-3> a-5, 同样有 a-4> a-6, 则 a-3+ a-4> a-5+ a-6, ∴ a-3- a-4< a-5- a-6.

综合法和分析法的综 合应用 用分析法去思考,寻找解题途径,用综合法进行 书写,或者联合使用分析法与综合法,即从“欲 知”想“已知”(分析),双管齐下,两面夹击,找到 沟通已知条件和结论的途径.

例3

已知 0<a≤1,0<b≤1,0<c≤1, 求证:

1+ab+bc+ca ≥1. a+b+c+abc
【思路点拨】 本题所要证明的不等式看

不出与已知条件有怎样的因果关系,故可 先采用分析法寻找该不等式成立的充分条 件是.

【证明】 ∵a>0,b>0,c>0, 1+ab+bc+ca ∴要证 ≥1, a+b+c+abc 只需证 1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc, 即 证 1 + ab + bc + ca - (a + b + c + abc)≥0. ∵1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc) =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a) =(1-a)(1-b-c+bc) =(1-a)(1-b)(1-c),

又 a≤1,b≤1,c≤1, ∴(1-a)(1-b)(1-c)≥0, ∴1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0 成立, 1+ab+bc+ca 即 ≥1 成立. a+b+c+abc

【思维总结】 本题证明中,前半部分用的是分 析法,后半部分用的是综合法,两种方法综合使 用,使问题较容易解决.

变式训练 3 △ABC 的三个内角 A、 B、 1 1 C 成等差数列,求证: + = a+b b+c 3 . a+b+c
1 1 3 证明:要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 即证 + =3, a+b b+c c a 即证 + =1, a+b b+c

只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c). 只需证 c2+a2=ac+b2. ∵A、B、C 成等差数列, ∴2B=A+C, 又 A+B+C=180° ,∴B=60° . ∵c2+a2-b2=2accosB, ∴c2+a2-b2=ac, ∴c2+a2=ac+b2, 1 1 3 ∴ + = 成立. a+b b+c a+b+c

方法感悟 方法技巧 1.综合法证明问题的步骤 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析题目的 已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间 的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、 结论,确定恰当的解题方法

第二步:转化条件,组织过程.把题目的已知条 件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符 号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有 清晰的思路,严密的逻辑,简洁的语言. 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾解题 过程,可对部分步骤进行调整,有些语言可做适 当的修饰,反思总结解题方法的选取.

2.应用分析法证明问题的模式 用分析法证明命题“若P,则Q”时的模式如下: 为了证明命题Q为真, 只需证明命题P1为真,从而有… 只需证明命题P2为真,从而有… … 只需证明命题P为真,而已知P为真,故Q必为真 .

失误防范 1.利用综合法证明问题时,要把产生某结果的 具体原因写完整,不可遗漏. 2.用分析法书写证明过程时,格式要规范,一 般为“欲证…,只需证…,只需证…,由于…显 然成立(已知,已证…),所以原结论成立.”其中 的关联词语不能省略.


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