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2013年全国中考数学《一次函数》专项训练(含答案)


《一次函数》中考题专项训练
【陈老师的话】 “一次函数”是中考必考内容之一,题型多样,形式灵活,综合性、就用性强,一般以选择题、填空题、 解答题及综合题的形式考查一次函数的图象和性质。并且在课程标准指导下,一次函数在中考中的命题趋 势一般体现以下特点: 1、 考查函数自变量的取值范围,如 2009 年广州第 7 题,2011 年广州第 9 题; 2、 画一次函数(正比例

函数)的图象,并掌握其性质,如 2009 年佛山第 14 题; 3、 根据已知条件,得用待定系数法求一次函数解析式,如 2012 年湖南湘潭第 21 题; 4、 考查一次函数与方程(组) 、不等式的关系,如 2012 年贵州贵阳第 7 题; 5、 正确利用一次函数解决实际问题,如 2012 年广州市第 23 题。 《广州市初中毕业生学习考试指导书》的目标要求也正对应着以上的几个特点,而且同学们在刚结束 的期末考试第 24 题(内容为一次函数的应用)丢分过多,所以我们需要加强一些综合性题的训练,提高 分析问题和解决问题的能力。费话少说,同学们,开练吧! ! 【主要知识点】 1、正比例函数的定义:形如 y=kx(k≠0 的)的函数是正比例函数。 2、一次函数的定义: 形如 y=kx+b(k≠0)的函数是一次函数。 3、正比例函数与一次函数的关系:当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,也就是说正比例函数是一次函 数的特殊情形。 4、一次函数 y=kx+b 的图象及性质: k>0 k<0

b=0

b>0

b<0

-1-

1、 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线。并且正比例函数 y=kx 的图 象是过原点的一条直线。 性质 2、 当 k>0 时,图象经过一、三象限,y 随 x 的增大而增大, 当 k<0 时,图象经过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 3、 当 b>0 时,函数图象向上平移 b 个单位, 当 b<0 时,函数图象向下平移 b 个单位.

【真题特训】 一、变量与函数 1、(2012 四川成都,第 2 题,3 分)函数 y ? A. x ? 2 B. x ? 2

1 中,自变量 x 的取值范围是( x?2
C. x ? 2 D. x ? ?2



2、 (2009 年广州市,第 7 题,3 分)下列函数中,自变量 x 的取值范围是 x ≥3 的是( A、 y ?



1 x?3

B、 y ?

1 x?3

C、 y ? x ? 3

D、 y ?

x ?3
) .

3、 (2011 广东广州市, 9, 3 分) 当实数 x 的取值使得 x-2有意义时, 函数 y=4x+1 中 y 的取值范围是 ( A.y≥-7 B.y≥9 C.y>9 D.y≤9

4、 (2012 浙江省绍兴,14,5 分)小明的父母出去散步,从家走了 20 分钟到一个离家 900 米的报亭,母 亲随即按原速度返回家.父亲在报亭看了 10 分报纸后,用 15 分钟返回家.则表示父亲、母亲离家距离与 时间之间的关系的图象分别是 ___ (只需填写序号).

5、 (2012 四川省资阳市,7,3 分)如图所示的球形容器上连接着两根导管,容器中盛满了不溶于水的比 空气重的某种气体,现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体.水从左导管匀速地注入,气体 从右导管排出,那么,容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是[来源:%@中~︿教* 网]

-2-


体 积
体 积

气体

体 积

体 积

时间

时间

时间

时间

A

B

C

D

(第 7 题图)

二、一次函数的图象 6、 (2012 浙江省温州市,4,4 分)一次函数 y ? ?2 x ? 4 的图象与 y 轴的交点坐标是( A. (0,4) B.(4,0) C.(2,0) D.(0,2) )

7、(2009 年佛山市,14题)画出一次函数 y ? ?2 x ? 4 的图象,并回答:当函数值为正时, x 的取值范 围是 .

三、一次函数的性质 8、 (2012 贵州贵阳,13,4 分)在正比例函数 y=-3mx 中,函数 y 的值随 x 的值的增大而增大,则 P(m,5) 在第 象限. )

9、 (2008 年广州市,第 6 题,3 分)一次函数 y ? 3x ? 4 的图象不经过( A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

四、一次函数与方程(组) 、不等式 10、 (2012 浙江省湖州市,15,4 分)一次函数 y ? kx ? b (k.b 为常数,且 k≠0)的图象如图所示,根据图 象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=4 的解为 。

-3-

11、 (2012 贵州贵阳,7,3 分)如图,一次函数 y=k1x+b1 的图象 l1 与 y=k2x+b2 的图象 l2 相交于点 P,则方程 组?

? y ? k1 x ? b1 , 的解是( ? y ? k 2 x ? b2
? x ? ?2, ?y ? 3
? x ? 2, ?y ? 3



L2 B. ?

y l1

A. ?

? x ? 3, ? y ? ?2

P

3 x

C. ?

D. ?

? x ? ?2, ? y ? ?3

-O 2

12、 (2011 山东省潍坊市,11, 3 分)11、若直线 y ? ?2 x ? 4 与直线 y ? 4 x ? b 的交点在第三象限,则 b 的取值范围是( A. ? 4 ? b ? 8 ) B. ? 4 ? b ? 0 C . b ? ?4 或 b ? 8 D. ? 4 ? b ? 8

五、一次函数的应用 13、 (2012 湖南湘潭,21,6 分)已知一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象过点 (0,2) ,且与两坐标轴围成的三 角形面积为 2 ,求此一次函数的解析式.

14.(2012 山东省荷泽市,17(1),7)如图,一次函数 y= ? x ? 2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,以 线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ ABC,∠ BAC=90? ,求过 B、C 两点直线的解析式.

2 3

-4-

15、 (2012 浙江省衢州,22,10 分) 在社会主义新农村建设中,衢州某乡镇决定对 A,B 两村之间的公路 进行改造,并由甲工程队从 A 村向 B 村方向修筑,乙工程队从 B 村向 A 村方向修筑.已知甲工程队先施 工 3 天,乙工程队再开始施工.乙工程队施工几天后因另有任务提前离开,余下的任务由甲工程队单独 完成,直到公路修通.下图是甲乙两个工程队修公路的长度 y(米)与施工时间 x(天)之间的函数图象,请 根据图象所提供的信息解答下列问题: (1)乙工程队每天修公路多少米? (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度 y(米)与施工时间 x(天)之间的函数关系式. (3)若该工程由甲、乙两工程队一直合作施工,需几天完成?

16、 (2012 广州市,23, 12 分)某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过 20 吨,按每 吨 1.9 元收费:每户每月如果超过 20 吨,未超过的部分按每吨 1.9 元收费,超过的部分则按每吨 2.8 元 收费,设某户每月用水量为 x 吨,应收水费为 y 元。 {1}分别写出每月用水量未超过 20 吨和超过 20 吨时,y 与 x 间的函数关系式: [2]若该城市某户 5 月份水费平均为每吨 2.2 元,求该户 5 月份用水多少吨?

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17、(2012 山东省临沂市,24,10 分)小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收,采摘上市 20 天全部销售完, 小明对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象,日销售量 y(单位:千克)与上市时间 x(单 位:天)的函数关系如图 1 所示,樱桃价格 z(单位:元/千克)与上市时间 x(单位:天)的函数关系 如图 2 所示。 (1)观察图象,直接写出日销售量的最大值; (2)求李明家樱桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式; (3)试比较第 10 天与第 12 天的销售金额哪天多?

-6-

参考答案
1.(2012 四川成都,2,3 分)函数 y ? A. x ? 2 B. x ? 2

1 中,自变量 x 的取值范围是( x?2
C. x ? 2 D. x ? ? 2



解析:在函数解析式中,自变量的取值范围就是使函数解析有意义范围,因为本题的解析式是一个分式, 所以,要使分母不为 0,即 x ? 2 ? 0 ,所以 x ? 2 。[来源:Zxxk.Com] 答案:选 C。 点评:函数自变量的取值范围一般要考虑两个因素:一是自变量要有意义;二是实际问题要有意义。考虑 第一个因素时,除了要使分母不为 0 外,还要注意使被开方数是非负数。 2.(2009 年广州市,第 7 题,3 分)答案:选 D 3.(2011 广东广州市,9,3 分)答案:选 B 4.(2012 浙江省绍兴,14,5 分)小明的父母出去散步,从家走了 20 分钟到一个离家 900 米的报亭,母亲 随即按原速度返回家.父亲在报亭看了 10 分报纸后,用 15 分钟返回家.则表示父亲、母亲离家距离与时 间之间的关系的图象分别是 ▲ (只需填写序号).

【解析】从小明的父母散步的时间段看,分为 0-20 分钟散步,然后母亲随即按原速度返回家也需要 20 分钟,父亲 20-30 分钟在报亭看了 10 分报,然后用 15 分钟返回家.所以表示父亲、母亲离家距离与 时间之间的关系的图象分别是④ ,② . 【答案】④ ,② 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题.正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题 的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决. 5.(2012 四川省资阳市,7,3 分)如图所示的球形容器上连接着两根导管,容器中盛满了不溶于水的比空 气重的某种气体,现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体.水从左导管匀速地注入,气体从 右导管排出,那么,容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是[来源:%@中~︿教*网]

-7-


体 积
体 积

气体

体 积

体 积

时间

时间

时间

时间

A

B

C

D

(第 7 题图)

【解析】由于球形容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体,结合物理学知识:从左导管匀速注 入的水的体积与右导管中排出的气体的体积是相等的,且被匀速的排出,即单位时间内排出的体积是相等 的,再由刚开始的最大体积到最后的最小体积,故选 C. 【答案】C 【点评】本题把实际问题与函数图像结合起来,在解决这类问题是首先要看清横轴与纵轴分别表示的 是哪一个变量,结合实际生活背景来解决.难度中等. 6.(2012 浙江省温州市,4,4 分)一次函数 y ? ?2 x ? 4 的图象与 y 轴的交点坐标是( A. (0,4) B.(4,0) C.(2,0) D.(0,2) )

【解析】一次函数的图象与 y 轴的交点横坐标为 0.令 x=0,代入方程即可求解。 【答案】A 【点评】本题是一次函数的简单应用,关键要把握坐标轴上的点的坐标特征,题的难度较小 7. (2009 年佛山市,14 题)答案:x<2 8.(2012 贵州贵阳,13,4 分)在正比例函数 y=-3mx 中,函数 y 的值随 x 的值的增大而增大,则 P(m,5) 在第 象限.

解析:由函数 y 的值随 x 的值的增大而增大,得-3m>0,解不等式得 m<0,故点 P(m,5)在第二象限内. 答案:二. 点评:本题虽然是一道填空题,但涉及一次函数的性质、不等式的解法、点的坐标与位置的关系等, 较综合,易错点多(三个知识点都是易错点) ,应注意. 9.(2008 年广州市,第 6 题,3 分)答案:B 10.(2012 浙江省湖州市,15,4 分)一次函数 y ? kx ? b (k.b 为常数,且 k≠0)的图象如图所示,根据图 象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=4 的解为 。

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【解析】由函数图象得,直线经过(0,1) , (2,3)两点,根据待定系数法求得一次函数解析式,将 y=4 代入所求的解析式,即求得 x 值。 【答案】 ∵ 一次函数 y ? kx ? b 过 (0,1) , (2,3) , ∴? 当 y=4 时,x=3. 【点评】本题主要考查一次函数解析式的求法及已知函数值求自变量的值,处理问题的关键是从图象 中挖掘信息(点的坐标),应用待定系数法求得函数解析式,是基础题。 11.(2012 贵州贵阳,7,3 分)如图,一次函数 y=k1x+b1 的图象 l1 与 y=k2x+b2 的图象 l2 相交于点 P,则方程 组 ?
b ?1 ?b ? 1 , 解得 ? , ∴ 一次函数解析式为 y ? x ? 1 , 2 k ? b ? 3 ? ?k ? 1 ?

? y ? k1 x ? b1 , 的解是 ? y ? k 2 x ? b2
L2 y l1 P 3





x -O 2 第 7 题图

A. ?

? x ? ?2, ?y ? 3

B. ?

? x ? 3, ? y ? ?2

C. ?

? x ? 2, ?y ? 3

D. ?

? x ? ?2, ? y ? ?3

解析:由图可知,P 点坐标是(-2,3),所以方程组 ? 解答:选 A.

? y ? k1 x ? b1 , ? x ? ?2, 的解是 ? ? y ? 3. ? y ? k 2 x ? b2

点评:本题主要考查一次函数与一次方程(组)的关系,两个函数的图象的交点坐标就是联立这两个 函数所得方程组的解.同时,本题的求解也体现了数形结合思想,即通过看交点的坐标确定方程组的解.

12.(2011 山东省潍坊市,题号 11,分值 3)11、若直线 y ? ?2 x ? 4 与直线 y ? 4 x ? b 的交点在第三象限, 则 b 的取值范围是( A. ) D. ? 4 ? b ? 8

?4?b?8

B. ? 4 ? b ? 0 C. b ? ?4 或 b ? 8

考点:一次函数的图像、二元一次方程组的解和解一元一次不等式组。 解答:因为直线 y ? ?2 x ? 4 与直线 y ? 4 x ? b 的交点坐标是就是二元一次方程组

-9-

?b?4 ? ?? b ? 4 x? ?0 ? ? y ? ? 2 x ? 4 ? ? ? 6 6 解得 ? 因为交点在第三象限所以 ? 解得 ? 4 ? b ? 8 ? ? y ? 4x ? b ?y ? b ? 8 ?b ? 8 ? 0 ? ? 3 ? ? 3
所以本题正确答案是 A. 点评:本题考查了“一次函数的图像、二元一次方程组的解和解一元一次不等式组”。根据已知条件得到 方程组和一元一次不等式组是解决本题的关键。

13.(2012 湖南湘潭,21,6 分)已知一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象过点 (0,2) ,且与两坐标轴围成的三 角形面积为 2 ,求此一次函数的解析式. 【解析】根据三角形面积确定一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象在 X 轴的交点为(2,0)或(—2,0) , 将两点坐标代入一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 中求出系数 k、b 的值。

解:设一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象与 X 轴交点为 D(d,0),因一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 图象过 点 (0,2) ,且与两坐标轴围成的三角形面积为 2 ,则

1 × 2 d =2,得 d=± 2。 2

将两点坐标(0,2) (2,0)代入一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 中,得 b=2,2k+b=0,k=—1。此一次函 数的解析式为 Y=—x+2. 将两点坐标(0,2) (—2,0)代入一次函数 y ? kx ? b?k ? 0? 中,b=2,—2k+b=0,k=1。此一次函数的 解析式为 Y=x+2. 【点评】此题考查一次函数的图象、性质与几何知识的应用,点、图形、点的坐标、方程几者之间的 关系。点在图形上,点的坐标就满足这个解析式(方程) ,利用待定系数法得到方程组,通过解方程组最 终解决问题.

- 10 -

14.(2012 山东省荷泽市,17(1),7)(1)如图,一次函数 y= ? x ? 2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B, 以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ ABC,∠ BAC=90? ,求过 B、C 两点直线的解析式.

2 3

【解析】利用三角形全等求出 C 点的坐标,然后利用待定系数法求出直线的解析式 【答案】(1)解: y= ? x ? 2 与 x 轴、 y 轴的交点坐标为(3,0),(0,2)。如图, 从 C 作 CD⊥ x 轴,因为 Rt△ ABC 是 等 腰 三 角 形 , 所 以 AB=AC , 轩 为 ∠ BAO+∠ CAD=90? , ∠ BAO+∠ ABO=90? , 所 以 ∠ CAD=∠ ABO , ∠ BOA=∠ CDA=90? ,所以△ AOB≌ △ CDA,所以 AO=CD=3,BO=AD=2,所以 OD=5,即 C(5,3) 把 B(0,2)与 C(5, 3)代入 y=kx+b 得,
2 3

?

1 ? 1 ? 2?b ,解之得: ? k ? 5 ,所以直线解析式 y ? x ? 2 3 ? 5k ? b 5 ? ?b ? 2

【点评】求一点的坐标,就是求该点到 x 轴、y 轴的距离,求函数的解析式常用的方法是待定系数法, 就是把点的坐标代入关系式,组成关于 k、b 的方程组,求出 k、b 的值即可以确定关系式.

15.(2012 浙江省衢州,22,10 分) 在社会主义新农村建设中,衢州某乡镇决定对 A,B 两村之间的公路 进行改造,并由甲工程队从 A 村向 B 村方向修筑,乙工程队从 B 村向 A 村方向修筑.已知甲工程队先施 工 3 天,乙工程队再开始施工.乙工程队施工几天后因另有任务提前离开,余下的任务由甲工程队单独 完成,直到公路修通.下图是甲乙两个工程队修公路的长度 y(米)与施工时间 x(天)之间的函数图象,请 根据图象所提供的信息解答下列问题: (1)乙工程队每天修公路多少米? (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度 y(米)与施工时间 x(天)之间的函数关系式. (3)若该工程由甲、乙两工程队一直合作施工,需几天完成?

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【解析】 (1)乙工程队一共修公路 720 米,总共修了(9-3)天; (2)观察图象,用待定系数法求修公路的长度 y(米)与施工时间 x (天)之间的函数关系式. (3)列出一元一次方程求解. 解: (1)∵ 720÷ (9-3)=120 ∴ 乙工程队每天修公路 120 米.
?3k ? b=0 (2)设 y 乙=kx+b,则 ? ?9k ? b=720 ? k=120 ∴? ∴ y 乙=120x-360 ?b= ? 360

当 x=6 时,y 乙=360 设 y 甲=kx,则 360=6k,k=60,∴ y 甲=60x (3)当 x=15 时,y 甲=900, ∴ 该公路总长为:720+900=1620(米) 设需 x 天完成,由题意得,(120+60)x=1620 解得 x=9 答:需 9 天完成 【点评】 本题考查了函数的图象和一次函数的应用, 培养学生观察图象的能力, 分析解决问题的能力, 要培养学生视图知信息的能力.解决此类题目最关键的地方是经过认真审题,从中整理出一次函数模型, 用一次函数的知识解决此类问题.

16.(2012 广州市,23, 12 分)某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过 20 吨,按每 吨 1.9 元收费:每户每月如果超过 20 吨,未超过的部分按每吨 1.9 元收费,超过的部分则按每吨 2.8 元 收费,设某户每月用水量为 x 吨,应收水费为 y 元。 {1}分别写出每月用水量未超过 20 吨和超过 20 吨时,y 与 x 间的函数关系式: [2]若该城市某户 5 月份水费平均为每吨 2.2 元,求该户 5 月份用水多少吨?
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【解析】 (1)把函数关系式按照自变量的取值范围分为两段, (2)分析得到 5 月份的用水量超过 20 吨, 代入相应关系式可求解。 【答案】 (1) y ? ?

x x<20) x x<20) ?1.9( ?1.9( 即: y ? ? (x≥20) (x≥20) ?2.8 x ? 18 ?2.8( x ? 20) ? 1.9 20

(2)由于 5 月份水费平均为每吨 2.2 元,超过 1.9 元,用水超过 20 吨,于是有 2.8x-18=2.2× x,解得 x=30 吨。 答:5 月份用水 30 吨. 【点评】本题考查了分段函数,按照自变量分为小于 20 和大于等于 20 吨两段分别列出解析式; (2) 代入相应的解析式列方程求解。

17.(2012 山东省临沂市,24,10 分)小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收,采摘上市 20 天全部销售完, 小明对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象,日销售量 y(单位:千克)与上市时间 x(单 位:天)的函数关系如图 1 所示,樱桃价格 z(单位:元/千克)与上市时间 x(单位:天)的函数关系 如图 2 所示。

(1)观察图象,直接写出日销售量的最大值; (2)求李明家樱桃的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式; (3)试比较第 10 天与第 12 天的销售金额哪天多? 【解析】 (1)观察图象 1,可直接得出第 12 天时,日销售量最大 120 千克; (2)观察图象 1 可得,日销售量 y 与上市时间 x 的函数关系式存在两种形式,根据直线所经过点的坐 标,利用待定系数法直接求得函数解析式; (3)观察图象 1,根据(2)求出的函数解析式,分别求出第 10 天和第 12 天的日销售量,再根据图 象 2,求出第 10 天和第 12 天的销售单价,求出第 10 天和第 12 天的销售金额,最后比较。 解: (1)120 千克; (2) 当 0≤x≤12 时, 函数图象过原点和 (12,120) 两点, 设日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式为 y=kx,
- 13 -

由待定系数法得,120=12k,∴ k=10,即日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式为 y=10x; 当 12≤x≤20 时, 函数图象过 (20,0) 和 (12,120) 两点, 设日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式为 y=kx+b, 由待定系数法得, ?
?12k ? b ? 120 ? k ? -15 ,解得 ? ,即日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式为 y=-15x+300; ?b ? 300 ? 20k ? b ? 0

(3)由函数图象 2 可得,第 10 天和第 12 天在第 5 天和第 15 天之间,当 5<x≤15 时,直线过(5,32) , (15,12)两点,设樱桃价格 z 与上市时间 x 的函数解析式为 z=kx+b,由待定系数法得, ?
? k ? -2 ,即樱桃价格 z 与上市时间 x 的函数解析式为 z=-2x+42, ? ?b ? 42
? 5k ? b ? 32 ,解得 ?15k ? b ? 12

∴ 当 x=10 时,日销售量 y=100 千克,樱桃价格 z=22 元,销售金额为 22× 100=2200 元; 当 x=12 时,日销售量 y=120 千克,樱桃价格 z=18 元,销售金额为 18× 120=2160 元; ∵ 2200>2160,∴ 第 10 天的销售金额多. 【点评】本题考查了一次函数的应用,此类题是近年中考中的热点问题.题目还考查了二元一次方程 组的解法,特别是应用待定系数法求一次函数的解析式时,此函数是一个分段函数,同时应注意自变量的 取值范围.

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