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2015高考理科数学《离散型随机变量及其分布列》练习题


2015 高考理科数学《离散型随机变量及其分布列》练习题
[A 组 一、选择题 1.下列 4 个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一个是( A. ) 基础演练·能力提升]

X P
B.

0 0.3

1 0.4

2 0.5

X P

/>0 0.3

1 -0.1

2 0.8

C.

X P
D.

1 0.2

2 0.5

3 0.3

4 0

X P

0 1 7

1 2 7

2 3 7

解析:利用离散型随机变量分布列的性质检验即可. 答案:C 2.带活动门的小盒子里有来自同一巢的 20 只工蜂和 10 只雄蜂,现随机地放 出 5 只做实验,X 表示放出的蜂中工蜂的只数,则 X=2 时的概率是(
4 C1 20C10 A. 5 C30 2 C3 20C10 C. 5 C30 3 C2 20C10 B. 5 C30 1 C4 20C10 D. 5 C30

)

3 C2 20C10 解析:依题意,X 服从超几何分布,∴P(X=2)= 5 . C30

答案:B 3.已知离散型随机变量 ξ 的分布列为
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ξ

1

2

3

? ?

n k n

P
则 k 的值为( A. 1 2 )

k n

k n

k n

B.1 D.3

C.2 解析:由 + +?+ =1, ∴k=1. 答案:B

k k n n

k n

4.(2014 年福州模拟)如右图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信 息量依次为 2,3,4,3,2.现记从 中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 ξ , 则 P(X≥8) 的值为( )

A. C.

1 5 3 5

B. D.

2 5

4 5

解析:由已知,X 的值为 7,8,9,10,
1 C2 1 2C2 ∵P(X=7)= 3 = , C5 5

P(X≥8)=1-P(X=7)= .
答案:D 5.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)=

4 5

a n n+

(n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则

P? <X< ?的值为(
A. 2 3

?1 ?2

5? 2?

) B. 3 4

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C.

4 5

D.

5 6

1 1 1 ? ? 1 + + + ?×a=1, 解析:由? 1×2 2×3 3×4 4×5 ? ? 4 5 知 a=1.∴a= . 5 4 1 5 1 5 5 ?1 5? 故 P? <X< ?=P(1)+P(2)= × + × = . 2 2 2 4 6 4 6 ? ? 答案:D 6.(2014 年长沙模拟)若离散型随机变量 X 的分布列为:

X P
则常数 c 的值为( 2 1 A. 或 3 3 C. 1 3 ) B.

0 9c2-c

1 3-8c

2 3

D.1

解析:由分布列的性质得:

? ?9c -c≥0 ?3-8c≥0
2

9c2-c+3-8c=1

1 ,解得 c= . 3

答案:C 二、填空题 7.从 4 名男生和 2 名女生中选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人中女生人数不超过 1 人的概率是 ________. 解析:设所选女生人数为 X,则 X 服从超几何分布,其中 N=6,M=2,n=3, 则 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)
3 2 C0 C1 4 2C4 2C4 = 3+ 3= . C6 C6 5

答案:

4 5

8.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,
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又记下它的颜色,写出这两 次取出白球数 η 的分布列为________. 解析:依题意 η 的取值可为 0,1,2. 1 1 1 ∴P(η =0)= × = 2 2 4

P(η =1)= × + × = P(η =2)= × =
1 2 1 2 1 4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

∴取出白球数 η 的分布列为: η 0 1 4 1 1 2 2 1 4

P
答案: η

0 1 4

1 1 2

2 1 4 (k=1,2,3),c 为常数,则 P(0.5<ξ <2.5)=

P
9.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =k)= ________.

c k k+

1 1 ? 4 2 ? 1 + + ?=1,∴c= .故 P(0.5<ξ <2.5)=P(ξ =1)+P(ξ =2)= 解析:由题意知 c? 3 3 ?1×2 2×3 3×4? 2 8 + = . 9 9 答案: 8 9

三、解答题 10.(2014 年福州模拟)某学院为了调查本校学生 2013 年 9 月“健康上网”(健康上网是指每天上 网不超过两个小时)的天数情况,随机抽取了 40 名本校学生作为样本,统计他们在该月 30 天内健康 上网的天数,并将所得的数据分成以下六组;[0,5],(5,10],(10,15],?,(25,30],由此画出样 本的频率分布直方图,如图所示.

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(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名,设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数,求

Y 的分布列.
解析: (1) 由图可知,健康上网天数未超过 20 天的频率为 (0.01 + 0.02 + 0.03 +0.09)×5= 0.15×5=0.75, 所以健康上网天数超过 2 0 天的学生人数是 40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2 .

P(Y=0)= 2 = ;P(Y=1)=
所以 Y 的分布列为:

C2 30 C40

29 52

1 C1 5 C2 3 10C30 10 = ; P ( Y = 2) = . 2 2 = C40 13 C40 52

Y P

0 29 52

1 5 13

2 3 52

11.口袋中有 n(n∈N*)个白球,3 个红球,依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继续取 球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X.若 P(X=2)= (1)n 的值; (2)X 的分布列. 7 C1 C1 7 3 n 解析:(1)由 P(X=2)= 知 1 × 1 = , 30 Cn+3 Cn+2 30 ∴90n=7(n+2)(n+3). ∴n=7. (2)X=1,2,3,4, 且 P(X=1)= 7 7 7 ,P(X=2)= ,P(X=3)= , 10 30 120 7 ,求: 30

P(X=4)=

1 . 120
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∴X 的分布列为

X P

1 7 10

2 7 30

3 7 120

4 1 120

12.(能力提升)(2014 年 大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会, 1 1 2 它们获得冠军的概率分别为 , , . 2 3 3 (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列; (2)若球队获得冠军,则给其所在学校加 5 分,否则加 2 分,求该高中得分 η 的分布列. 解析:(1)∵X 的可能取值为 0,1,2,3,取相应值的概率分别为

P(X=0)=?1- ?×?1- ?×?1- ?= , P(X=1)= ×?1- ?×?1- ?+?1- ?× ×?1- ?+?1- ?×?1- ?× = , P(X=2)= × ×?1- ?+?1- ?× × + ×?1- ?× = ,P(X=3)= × × = .
∴X 的分布列为 1 2 1 3 ? ? 2? 3? ? ? 1? 2? 1 3 2 3 1 2 ? ? 1? 3? 2 3 7 18 1 2 1 3 2 3 1 9 1 2 ? ? 1? 3? ? ? 2? 3? ? ? 1? 2? 1 3 ? ? 2? 3? ? ? 1? 2? ? ? 1? 3? 2 3 7 18

? ?

1? 2?

? ?

1? 3?

? ?

2? 3?

1 9

X P

0 1 9

1 7 18

2 7 18

3 1 9

(2)∵得分 η =5X+2(3-X)=6+3X, ∵X 的可能取值为 0,1,2,3. ∴η 的可能取值为 6,9,12,15,取相应值的概率分别为

P(η =6)=P(X=0)= ,P(η =9)=P(X=1)= , P(η =12)=P(X=2)= ,P(η =15)=P(X=3)= .
∴得分 η 的分布列为 η 6 1 9 9 7 18 12 7 18 15 1 9 7 18 1 9

1 9

7 18

P

[B 组

因材施教·备选 练习]

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1.若 P(ξ ≤x2)=1-β ,P(ξ ≥x1)=1-α ,其中 x1<x2,则 P(x1≤ξ ≤x2)等于( A.(1-α )(1-β ) C.1-α (1-β ) 解析:由分布列性质可有: B.1-(α +β ) D.1-β (1-α )

)

P(x1≤ξ ≤x 2)=P( ξ ≤ x2)+P(ξ ≥x1)-1
=(1-β )+(1-α )-1=1-(α +β ). 答案:B 2.(2014 年郑州调研)设随机变量 X 的概率分布列为

X P
则 P(|X-3|=1)=________.

1 1 3

2

3 1 4

4 1 6

m

1 1 1 1 解析:由分布列的性质可得,m=1- - - = . 3 4 6 4

P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= + = .
答案: 5 12

1 4

1 6

5 12

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