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高二数学选修1-1综合测试题


高二数学选修 综合测试题 高二数学选修 1—1 综合测试题
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、已知命题 p 、 q ,如果 ?p 是 ?q 的充分而不必要条件,那么 q 是 p 的( )

( A )必要不充分条件 ( B )充分不必要条件 ( C )充要条件 ( D )既不充分也不必 要 2、命题“若 ∠C = 90 ,则 ?ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题
0

这四个命题中,真命题的个数是( ) ( A ) 0 (B) 1 (C) 2
2

(D)

3

3、一动圆的圆心在抛物线 y = 8 x 上,切动圆恒与直线 x + 2 = 0 相切,则动圆必定过 点( ) ( A ) (4,0)

( B ) (2,0)

( C ) (0,2)

(D)

(0,-2)

4、 抛物线 y 2 = 2 px 上一点 Q (6, y 0 ) ,且知 Q 点到焦点的距离为 10, 则焦点到准线的距 离是( ( A ) 4 ) (B)8

( C ) 12

(D)

16

5、中心点在原点,准线方程为 x = ±4 ,离心率为

1 的椭圆方程是( 2



( A )

x2 y2 + =1 4 3 x2 + y2 = 1 4

(B)

x2 y2 + =1 3 4
2

(C)

(D) x +

y2 =1 4

x2 y2 6、若方程 2 + = 1 表示准线平行于 x 轴的椭圆,则 m 的范围是( m (m ? 1) 2
( A ) m>



1 2

(B) m<

1 2

(C) m >

1 且m ≠1 2

(D) m<

1 且m ≠ 0 2

7、设过抛物线的焦点 F 的弦为 PQ ,则以 PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系 ( ) ( A ) 相交

( B )相切

( C ) 相离

( D ) 以上答案均有可能 )

x2 y2 8、如果方程 ? = 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2
( A )m > 2 ( C ) ?1 < m < 2 ( B ) m < 1或 m > 2 ( D ) ?1 < m < 1或 m > 2 )

9、已知直线 y = kx 与曲线 y = ln x 相切,则 k 的值为( ( A ) e (B) ?e (C)

1 e
1

(D)

?

1 e

10、 已知两条曲线 y = x ? 1 与 y = 1 ? x 在点 x0 处的切线平行, x0 的值为 则 (
2 3



( A ) 0

(B) ?

2 3

(C)0 或 ?

2 3

(D)

0 或 1

11、已知抛物线 x 2 = y + 1 上一定点 A(?1,0) 和两动点 P 、Q ,当 PA ⊥ PQ 时, Q ,点 的横坐标的取值范围( ( A ) ( ?∞,?3] ) ( B ) [1,+∞) ( C ) [ ?3,?1] ( D ) (?∞,?3] ∪ [1,+∞)

12、过双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的右焦点且与右支有两个交点的直线,其倾斜角范围是 ( ) ( A ) [0, π ) (C) (B) (

π π π

π 3π ( , ) 4 4

π 3π , )∪( , ) 4 2 2 4
) ∪ ( ,π ) 2 2


( D ) (0,

π

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 13、 “a、 都是偶数, a+b 是偶数” 命题 b 则 的逆否命题是

14、抛物线 y 2 = 4 x 上一点 A 到点 B (3,2) 与焦点的距离之和最小,则点 A 的坐标 为 。

15、双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1 的离心率为 e1 ,双曲线 2 ? 2 = 1 的离心率为 e2 ,则 e1 + e2 a2 b b a


的最小值为 16、已知椭圆

x2 y2 + = 1 , (a > b > 0) , A 为左顶点, B 为短轴端点, F 为右焦点, a2 b2


且 AB ⊥ BF ,则这个椭圆的离心率等于 二、 解答题 (17~21 每小题 12 分,22 题 14 分)

17、 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 通过点 A(1,1) , 且在 B ( 2,?1) 处与直线 y = x ? 3 相切, 求 a 、 b 、 c 的值。 17、解: y ' = 2ax + b 则

y ' | x = 2 = 4a + b = 1 ………………………………①

又抛物线过点 A(1,1) 则 a + b + c = 1 ………………② 点 B ( 2,?1) 在抛物线上 4a + 2b + c = ?1 …………③ 解①②③得 a = 3, b = ?11, c = 9 Y M(x,y)
2

o

F

A(a,0)

X

18、点 M ( x, y ) 为抛物线 y = 4 x 上的动点, A(a,0) 为定点,求 | MA | 的最小值。
2

解:解: y = 4 x
2

2p = 4

p =1 2

| MA |=

( x ? a)2 + y 2

= x 2 ? 2ax + 4 x + a 2
=

[x ? (a ? 2)]2 + 4a ? 4
a≥2

根号下可看作关于 x 的二次函数,这里 x ≥ 0

若a ? 2 ≥ 0

x = a ? 2 时, | MA | min = 4a ? 4
若 a ? 2 < 0 , a < 2 时, | MA | min =| a | 19、已知椭圆的中心在原点,它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,切此 焦点和 x 轴上的较近端点的距离为 4( 2 ? 1) ,求椭圆方程。

解:设椭圆的方程为

x2 y2 + = 1 , ( a > b > 0) a2 b2

? a ? c = 4( 2 ? 1) ? 根据题意 ? c 2 0 ? a = cos 45 = 2 ?
x2 y2 + =1 32 16

解得 ?

?a = 4 2 ? c=4

b 2 = a 2 ? c 2 = 16

椭圆的方程为

20、讨论直线 l : y = kx + 1 与双曲线 C : x 2 ? y 2 = 1 的公共点的个数。 解:解方程组 ?

? y = kx + 1 2 2 ?x ? y = 1

消去 y 得
2

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 = 0
x = ±1

当 1 ? k = 0 , k = ±1 时 当 1 ? k 2 ≠ 0, k ≠ ±1 时
2

? = (?2k ) 2 + 4 ? 2(1 ? k 2 ) = 8 ? 4k 2
得 ?
3

由 ? > 0 8 ? 4k > 0

2<k< 2

由? = 0 由? < 0

8 ? 4k 2 = 0 8 ? 4k 2 < 0

得k = ± 2 得k < ? 2 或k >

2

综上知 : k ∈ ( ? 2 ,?1) ∪ ( ?1,1) ∪ (1, 2 ) 时,直线 l 与曲线 C 有两个交点,

k = ± 2 时,直线 l 与曲线 C 切于一点, k = ±1 时,直线 l 与曲线 C 交于一
点。 21、 在直线 l : x ? y + 9 = 0 上任取一点 M , M 作以 过

F1 (?3,0), F2 (3,0) 为焦点的椭

圆,当 M 在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此椭圆方程。 分析:因为

| MF1 | + | MF2 |= 2a ,即问题转化为在直线上求一点 M ,使 M 到

F1 , F2 的距离的和最小,求出 F1 关于 l 的对称点 F ,即求 M 到 F 、F2 的和最小,FF2
的长就是所求的最小值。 解:设 F1 ( ?3,0) 关于 l : x ? y + 9 = 0 的对称点 F ( x, y )

?x ?3 y ? +9 = 0 ? ? x = ?9 2 则? 2 ?? y ?0 ? y=6 ? = ?1 ? x+3
F

y M’ M F1

L

F (?9,6) ,连 F2 F 交 l 于 M ,点 M 即为所求。
1 F2 F : y = ? ( x ? 3) 即 x + 2 y ? 3 = 0 2

O F2

X









? x + 2 y ? 3 = 0 ? x = ?5 ?? ? x? y+9 =0 ?y=4 ?

M (?5,4)

当点 M ' 取异于 M 的点时, | FM ' | + | M ' F2 |>| FF2 | 。

满足题意的椭圆的长轴 2a =| FF2 |= 所以 a = 3 5

(?9 ? 3) 2 + 6 2 = 6 5

c=3

b 2 = a 2 ? c 2 = 45 ? 9 = 36

椭圆的方程为:

x2 y2 + =1 45 36

22、如图,由 y = 0, x = 8, y = x 2 围城的曲边三角形,在曲线 OB 弧上求一点 M ,使得 过 M 所作的 y = x 2 的切线 PQ 与 OA, AB 围城的三角形 PQA 的面积最大。

4

Y 解: 设 M ( x0 , y 0 ) 则

B Q M

PQ : y = k ( x ? x 0 ) + y 0

y0 = x

2 0,

y ' = 2 x | x = x0 = 2 x 0
O P A

X

即 k = 2x 0 令y=0 令x =8

所以 y = 2 x 0 ( x ? x 0 ) + y 0 则 x = x0 ?

y0 = 2 x0 2 x0
2

P(

x0 ,0 ) 2

则 y = 16 x 0 ? x 0

2 Q (8,16 x0 ? x0 )

S = S ?PAQ =

x 1 1 3 2 2 (8 ? 0 )(16 x0 ? x0 ) = 64 x0 ? 8 x0 + x0 2 2 4

S ' = 64 ? 16 x0 +

3 2 x0 4 16 3

令 S ' = 0 ,则 x 0 = 16 (舍去)或 x 0 = 即当 x 0 =

16 4096 时 S max = 3 27 16 2 256 16 256 y0 = ( ) = M( , ) 3 9 3 9

附参考答案
一、选择题 1、B , 2、B, 3、B , 4、B , 5、C, 9、C , 10、 C , 11、 D, 12、 C 三、 填空题 13、若 a+b 不是偶数,则 a、b 都不是偶数。 14、 (1,2) 15、 2 2 解: M = e1 + e 2 = 1 + 6、D , 7、 B , 8、D ,

b2 a2 + 1+ 2 a2 b

b2 a2 b2 a2 M = 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 ≥ 2 + 2 + 2× 2 = 8 a b a b
2

M ≥2 2

16、

5 ?1 2
5

解:

BO 为直角三角形 ABF 斜边上的高,则 BO 2 = AO ? FO
2

即 b = ac

a 2 ? c 2 = ac

解得

c 5 ?1 = a 2

6


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