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相对论-2


2.2

狭义相对论的时空观

一、同时的相对性
由于光速不变,在S’系中不同地点同时发生的两个 事件,在S系中不再是同时的了。 爱因斯坦列车
y

在列车中部一光源发出光 信号,在列车中 AB 两个 o o' 接收器同时收到光信号,

y' A

/>B

v
x' x

但在地面来看,由于光速不变,A 先收到,B 后收到 。

在 S’系中不同地点同时发生两事件,

x1 ' ? x 2 ' , ? x ' ? x 2 ' ? x 1 ' ? 0 t1 ' ? t 2 ' , ? t ' ? t 2 ' ? t 1 ' ? 0
由洛伦兹变换得

S y

S' y'

t?

u x 2 c 1? u2 c2 t '?

u
x2'

? t ? t 2 ? t1 ?
? ?u?x' / c
2

u ?x ' 2 c 2 2 1? u c

o z

o' x ' 1 z'

x'

x

?0

所以在S 系中这两个事件不是同时发生的。 ---- 说明同时性是相对的 但是若

?x ' ? 0 ?t ' ? 0



?t ? 0

讨论:

? t ' ? t 2 '? t1 ' ?

t 2 ? ux 2 c 2 1? u2 c2

?

t1 ? ux1 c 2 1? u2 c2

a.对发生在不同地点的事件,同时性是相对的。 只有对发生在同一地点的两个事件,同时性才有绝 对意义。 b.在低速运动的情况下, u c ? ? 1 时得

? t ? ? t ?。

问题: 既然同时是相对的,事件的因果顺序是否会颠倒? “前因”与“后果”是相对的吗? u ?t ? 2 ?x c ?t ' ? 1 ? u 2 c2

对两个事件, 时间间隔

u uv ?t ? 2 ?x ?t (1 ? 2 ) c c ?t ' ? ? 1 ? u 2 c2 1? u 2 c2
?x v ? ?t

? 若该两事件有 因果联系,则

?x | v |? ? c ?t

u ? c

? ? t'



?t

同号

---事件因果顺序是绝对的
则两事件不可能有因果联系, 其先后顺序可随参照系选择 而变化。 超光速信号违反因果率。

? 若 | v |? ? x ? c ?t

开枪
事件1

v
子弹

鸟死
事件2





vu ?t ' ? ??t (1 ? ) cc
在S中:

?x | v |? ?t
在S’中

? c

?t ? t2 ? t1 ? 0

?t ' ? 0

---事件因果顺序是绝对的

例.(1)某惯性系中一观察者,测得两事件同时刻、 同地点发生,则在其它惯性系中,它们不同时发生。
(2)在惯性系中同时刻、不同地点发生的两件事, 在其它惯性系中必同时发生。 (3)在某惯性系中同时、不同地发生的两件事,在 其它惯性系中必不同时发生。 以上说法正确的是: (A)(1).(3) (C)(3) (E) 无

(B) (1).(2).(3) (D) (2).(3) (F) (2) [ E ]

二、长度收缩
如何测量长度? 同时测得两端坐标,相减 将杆固定在x轴上, K系中杆的长度:

K K'
x '1 x '2

l ? x 2 ? x1
' 2

x1
' 1

x2

K’系同时测得首尾坐标分别为x1’和x2’, 则在K'系中杆的长度为:
利用洛仑兹 变换式有:

l'? x ? x
x2 ?

x1 ?

x '1 ? vt ' 1? ?
2

;

x '2 ? vt ' 1? ?
2

? x 2 ? x1 ?
1? ?
2

x '2 ? x '1 1? ?
?1
2

?

l' 1? ?
2

K K'
x '1 x '2

? l ?l'

杆相对于观察者静止时测得的长度叫原长,也称静长 、固有长度。 杆相对于观察者运动时,在运动方向上测得的长度 缩短。这种现象称为长度收缩。

讨论: L ? L0 1 ? u c (1) 长度测量值与被测物相对观测者的运动有关,相对静 止时最长(固有长度)
2 2

(2)对运动物体的测量必须同时测量两端点的坐标 (3)相对论长度收缩只发生在有相对运动的方向上 (4)低速空间相对论效应可忽略。 (5)所有惯性系彼此等价,长度收缩是相对效应。

S系看S’系中的物体收缩,反之,S’系看S系中
的物体也收缩。

相对效应

K'
K

在K中的 观察者 K'
K

o? o

B

A

在K'中的 观察者 K'
K

o?

o

L B A

o

L

o?
A

B

地球上宏观物体最大速度103m/s,比光速 小5个数量级,在这样的速度下长度收缩约 10-10,故可忽略不计。

例.宇宙飞船相对于地面以速度 v 作匀速直线飞行, 某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯 号,经过Δ t(飞船上的钟)时间后,被尾部的接收 器收到,则由此可知飞船的固有长度为

( A ) c ? ?t

( B ) v ? ?t
(C ) c ? ?t ? 1 ? ?v / c ?
2

(D )

c ? ?t 2 1 ? ?v / c ?

[ A ]

例2.一固有长度为 L0=90 m的飞船,沿船长方向相对 地球以 v =0.80 c 的速度在一观测站的上空飞过,该 站测的飞船长度及船身通过观测站的时间间隔各是多 少?船中宇航员测前述时间间隔又是多少?

解:观测站测船身长 2 L ? L 0 1 ? ?v / c ? ? 54 (m )

.

通过时间 ?t ? L / v ? 2.25 ? 10 (s)
该过程对宇航员而言,是观测站以v通过L0

?7

? ?t '?

?7 / v L0 ? 3 .75 ?10 (s )

三、时间延缓
在一个惯性系中,相对于观察者运动的钟比相对于观 察者静止的钟走得慢。这种效应称时间延缓;或时 间膨胀;或动钟变慢效应。 固有时间t0:在一惯性系中测得的该惯性系同一地点先 后发生的两件事件的时间间隔。 也叫原时间。 第1 次

x 0 , t1

第2 次

x0 , t2

K

y
x 0

闪光

? ? 0 ? t 2 ? t1

0

x

同一参考系中不 同地点发生的两 事件的时间间隔 称为两地时间或 运动时间。

K

y

K'
0 '

y'
u

x'
x 0

0
? ? t 2 '? t1 ' ?
t 2 ? ux 0 c 2 1? u
2

x
?0
1? u2 c2
? ?0

c

2

?

t1 ? ux 0 c 2 1? u
2

c

2

?

---时间延缓

例: 在飞船上的钟测得飞船上某人吸烟用了5分钟。 在地面上可能测得这个人吸烟用了 8分钟。

1971年美国科学家在地面对准精度 为10-9秒铯原子钟,把4台原子钟放 到喷气式飞机上绕地球飞行一圈, 然后返回地面与地面静止的钟比较, 结果慢了59毫微秒。与相对论值只 差10%,后来将原子钟放到飞船上 实验精度进一步提高。

讨论:

??

?0
1? u2 c2

(1)由相对运动参照系测得的时间间隔比固有时间长,即 事件的时间间隔变大。 (2)相对观察者动钟比静钟慢(动钟变慢)。

(3) 运动是相对的。在地面上的人看宇宙飞船里的钟 慢了,而宇宙飞船里的宇航员看地面上的钟也比自 己的慢。

. a

.




.

.

⑷ 在日常生活中时间的延缓是可以忽略的。 例 飞船以v=9×103m/s的速率相对于地面(假定为 惯性系)匀速飞行。飞船上的钟走了5s的时间,用 地面上的钟测量是经过了多少时间?

解:把飞船参考系定为K’系,地面参考系为K系
K'中是原时 K中是两地时
?t ?

? t? ? 5 s
?t ' 1? v c2
2

? 5.000000002(s)

例:?子的寿命。

? 子在实验室中的寿命为2.15?10–6s,进入大气后 ?
子发生衰变:

? ? e ?? ??
? ?

速度为0.998c,从高空到地面约 10Km,问:? 子能 否到达地面? 用经典时空观 ? 子所走路程

y ? 0 .998 c ? ? 0 ? 644 (m )
还没到达地面,就已经衰变了。

但实际探测仪器不仅在地面,甚至在地下 3km 深的矿 井中也测到了 ? 子。

用相对论时空观 由

?

?t ? ??t0 地面 S 系观测 ? 子寿命 ?6 2 . 15 ? 10 ?0 ?6 ? ? 34 . 0 ? 10 s ? 2 2 1 ? (0 .998 c / c ) 1 ? (v / c )

地面 S 系观测 ? 子运动距离

y ? ? ? 0 .998 c ? 34 ? 10 ? 0 .998 ? 3 ? 10 ? 10190 (m ) 能够到达地面。
?6

8

也可以在 ? 子参照系中来考虑问题,结论完全 一致。

例. 观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系 K 和 K’ 中,甲测得在同一地点发生的两个事件间隔为 4s而乙 测得这两个事件的时间间隔为5s,求K’相对于K的运 动速度.
解:因两个事件在 K 系中同一地点发生,有时间延缓公 式: ?t 0

?t ?

1 ?v /c
2

2

甲相对事件是静止的测量的是固有时间△t0=4s,乙相 对事件是运动的,测量的是相对论时间△t =5s 。 解得

v ? [1 ? ?t / ?t ] c ? [1 ? 4 / 5 ] c
2 0 2 1/2

2

2 1/2

? (3 / 5 )c ? 1 .8 ? 10

8

m/s


2.1,


2.2,

P.101
2.4, 2.7,

2.9,

2.10


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