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重庆市2014年高2014级高三考前模拟数学试题(理科)


重庆市 2014 届高三考前模拟

数学(理)试题
满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并收回。 【试卷综析】本试卷是高三考前模拟理科数学试卷,命题模式与高考一致,紧扣考纲,考查 了高考考纲上的诸多热点问题,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生基本数学素养的考 查。知识考查注重基础、注重常规,也有综合性较强的问题。试题重点考查:函数、三角函 数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量、极坐标与参数方程、推理与 证明等,涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论等,试题题目新颖, 导向性强,非常适合备战高考的高三学生使用。 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)己知 i 为虚数单位,复数 的虚部是 (C)一 i (D) i

(A) (B)一 【知识点】复数的代数形式;复数的除法运算 【答案解析】A 解析:

1 1 1? i 1? i 1 1 ? ? ? ? i ,其虚部为 , 2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2

故选:A 【思路点拨】根据复数的除法运算把复数化成一般形式,再根据虚部的定义即可得到答案。 (2)设集合 A= {-1,0,2) ,集合 (A){1} (B){一 2} 【知识点】元素与集合的关系 【答案解析】A ,则 B= (C){-1,-2}

(D){-1,0}

解 析 : 当 x ? ?1 时 , 2 ? (?1) ? 3 ? A , 所 以 x ? ?1 满 足 题 意 , 此 时

B ? ?? x? ? ? 1? ; 当 x ? 0 时 , 2 ? 0 ? 2 ? A , 所 以 x ? 0 不 满 足 题 意 ; 当 x ? 2 时 ,
2 ? 2 ? 0 ? A ,所以 x ? 2 不满足题意,所以

1? , =?

故选:A 【思路点拨】根据已知知集合 B 中的元素属于集合 A,因为集合 A 中的元素不多,可以把各 个元素分别代入检验,从中选出符合条件的元素即可。 (3)若 p 是 q 的必要条件,s 是 q 的充分条件,那么下列推理一定正确的是
-1-

【知识点】充分条件和必要条件;推理与证明 【答案解析】C 解析:解:因为 p 是 q 的必要条件,s 是 q 的充分条件 所以 q?p,s?q, 所以 s?p, 所以 ?p ? ?s 故选:C 【思路点拨】因为 p 是 q 的必要条件,s 是 q 的充分条件,所以 q?p,s?q,所以 s?p,再由 逆否命题与原命题的真假一致得到答案。

【知识点】频率分布直方图 【答案解析】D 解析:由图可知,平均气温在 ?21.5,22.5? 和 ?22.5,23.5? 的频率相等,且组

距为 1,所以平均气温在 ?21.5,22.5? 的频率是

1 ? (0.10 ? 0.18 ? 0.22 ? 0.26) ? 0.12 ,低于 2

22.5? C 的频率是 0.10+0.12=0.22 ,而低于 22.5? C 的采集点个数是 11 ,所以样本容量为
11 ? 50 ,则平均气温不低于 25.5? C 的采集点个数为 0.18 ? 50 ? 9 个, 0.22
故选:D 【思路点拨】由频率分布直方图的意义可知,小矩形的面积表示频率,且面积和为 1,据此可
? 计算出未知的两个小矩形的面积, 即频率, 进而算出样本容量, 再根据平均气温不低于 25.5 C

的频率和样本容量计算出频数。

-2-

【知识点】含循环结构的程序框图 【答案解析】 A 解析:第一次循环: i ? 2014 成立, 10 不是奇数,所以 a ?

10 ?5, 2

i ? 1 ? 1 ? 2 ,进入下一次循环; 第二次循环: i ? 2014 成立,5 是奇数,所以 a ? 3 ? 5 ? 1 ? 14 , i ? 2 ? 1 ? 3 ,进入下一次循
环;

14 ? 7 ,i ? 3 ? 1 ? 4 ,进入下一次循环; 2 第四次循环: i ? 2014 成立,7 是奇数,所以 a ? 3 ? 7 ? 1 ? 20 , i ? 4 ? 1 ? 5 ,进入下一次
第三次循环:i ? 2014 成立,14 不是奇数,所以 a ? 循环 第五次循环: i ? 2014 成立,20 不是奇数,所以 a ? 环 第六次循环: i ? 2014 成立,10 不是奇数,所以 a ?

20 ? 10 , i ? 5 ? 1 ? 6 ,进入下一次循 2 10 ? 5 , i ? 6 ? 1 ? 7 ,进入下一次循环 2

从中可以发现 a 的值成周期性变化,周期为 5,当 i ? 2014 不成立即 i ? 2015 时,循环停止, 此时循环已经进行了 2014 次, 2014 除以 5 余数为 4, 所以最后输出的 a 的值与第四次循环里 的 a 值一致,所以输出的 a 的值为 20, 故选:A 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是反复计算变量 a 的值,对前几次循环中各变量的值进行分析,从中可以发现 a 的值成 周期性变化, 周期为 5, 根据周期计算停止循环时的 a 与第几次循环一致, 就可得到正确答案。 (6)某几何体的三视图如题(7)图所示,其侧视图是一个边长为 l 的等边三角形,俯视图是 两个正三角形拼成

-3-

【知识点】由三视图求几何体的体积、表面积 【答案解析】C 解析:由几何体的三视图可知:此几何体是两个相同的三棱锥拼接而成的, 由侧视图知三棱锥的高为

3 ,底面三角形是正三角形,边长就是侧视图三角形的底边长,即 2

1,所以底面三角形的面积为

1 3 ,所以所求几何体的体积为 ?1?1? sin 60 ? 2 4

1 3 3 1 ? ? ?2 ? , 3 4 2 4
故选:C 【思路点拨】先由三视图想象几何体的结构特征,由正视图和侧视图可知几何体为椎体,再 结合俯视图可判断其为两个相同的三棱锥拼接而成,求出一个三棱锥的底面积和高,带入三 棱锥的体积公式中,再乘以 2 就是所求几何体的体积。

(7)设 A、P 是椭圆

两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 B(异于点 P) ,若直线 AP、BP

分别交 x 轴于点 M、N,则 (A)0 (B)1 (C) (D)2

【知识点】椭圆的性质;向量的数量积运算 【答案解析】D 解析:不妨设点 P 是椭圆的右顶点,即 P ( 2,0) ,因为 A,B 关于 x 轴对称, 所以直线 AP、 BP 与 x 轴的交点都是点 P, 即 M,N,P 重合, 则 OM ON = ( 2,0) ( 2,0) ? 2 , 故选:D 【思路点拨】本题若用常规方法来解,需要大量的运算,故可采取“特殊值”法,给点 P 一 个特殊位置,即可快速的解出 OM ON 的值。 (8)对任意的实数 x,y,定义运算

值是 (A)a (B)b (C)c 【知识点】函数的单调性与导数;单调性的应用 (D)不确定

【答案解析】A 解析:由运算 ? 的规则知: x ? y 的作用是取两个实数 x , y 中较大的值,

? 所 以 b? c

a 就 是 取 a, b, c 三 个 数 中 的 最 大 值 , 令 f ( x) ?

ln x , 则 x2
, 当

1 2 ? x ? ln x ? (2 x) ' 2 2 ' (ln x ) ? x ? ln x ? ( x ) x ? 2 x ? ln x x(1 ? 2ln x) ' x f ( x) ? ? ? ? 4 4 x x x4 x4
-4-

1 ? 2 ln x ? 0 即 x ? e 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,所以
a, b, c 中的最大值,所以 b ? c ? a 的值是 a ,
故选:A

ln 2 ln 3 ln 4 ? ? ,即 a 是 4 9 16

【思路点拨】先读懂新运算 ? 的意思,再将 b ? c ? a 转化成求 a, b, c 三个数中的最大值,接 下来就是比较 a, b, c 的大小,观察三个数的特点,可构造一个函数 f ( x) ? 单调性比较大小。 (9)已知△ABC 中,D 是 BC 边的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于点 E、F,若 的最小值是 (A)1 (B) (C) 【知识点】向量的加法;共线向量定理;基本不等式 【答案解析】A 解析:由已知得: AB ? AC ? 2 AD , AB ? (D)

ln x ,通过函数的 x2

1

?

AE, AC ?

1

?

AF ,

所以

1

?

AE ?

1

?

AF ? 2 AD ,即 AD ?

1 1 AE ? AF , 2? 2?

因为 D,E,F 三点共线, 所以

1 1 ? ? 1, 2? 2 ?
2

1 ? ? 1 ? ? ? 1 1 ? 2? 2? ? 1 又 ? ? 0, ? ? 0 ,由基本不等式可得: ? ? ? ? 2? 2? ? 2 4 ? ? ? ?
所以 ?? ? 1 ,即 ?? 的最小值是 1, 故选:A 【思路点拨】由 D 是 BC 的中点可得 AB ? AC ? 2 AD ,然后转化成

1

?

AE ?

1

?

AF ? 2 AD ,

再由共线向量定理得

1 1 1 1 1 ? ? 1, ? 由基本不等式 “和定积最大” 可得 的最大值为 , 4 2? 2 ? 2? 2?

从而 ?? 的最小值是 1。

-5-

【知识点】零点的定义;指数幂的运算 【答案解析】B 解析:由题知, 2 x1 ? 1 ? k , 2 x2 ? 1 ? k , 2 x3 ? 1 ?

k k , 2 x4 ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 1

? 2 x2 ? x1 ?
1 3

1? k 3k ? 1 , 2 x 4 ? x3 ? k ?1 1? k

?2( x4 ? x3 ) ? ( x2 ? x1 ) ?

3k ? 1 4 ? ?3 ? 1? k 1? k

又 k ?[ ,1)

? ?3 ?
故选 B.

4 ?[3,??) ? x4 ? x3 ? x2 ? x1 ?[log2 3,??) , 1? k

【思路点拨】 由零点的定义及已知得 2 x1 ? 1 ? k ,2 x2 ? 1 ? k ,2 x3 ? 1 ? 从而得到 2
( x4 ? x3 ) ? ( x2 ? x1 )

k k ,2 x4 ? 1 ? , 2k ? 1 2k ? 1

?

3k ? 1 4 1 ( x ? x )?( x ? x ) ? ?3 ? ,根据 k ?[ ,1) 计算出 2 4 3 2 1 的范围,进 3 1? k 1? k

而解出 x4 ? x3 ? x2 ? x1 的最小值。 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题 卡相对应位置上. (11)己知 ________________ 【知识点】三角函数的诱导公式;同角三角函数的基本关系式 【答案解析】 2 2 解析:? sin(? ?

?
2

) ? cos ? ?

1 ? , ? ? (0, ) , 2 3

? sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

2 2 , 3

2 2 sin ? ? tan? ? ? 3 ? 2 2, 1 cos? 3
故答案为: 2 2 【思路点拨】由三角函数的引导公式可求出 cos? 的值,再根据同角三角函数的基本关系式先
-6-

计算出 sin ? ,进而计算出 tan ? 。

(12)等比数列{ an }满足:对任意 【知识点】等比数列的定义、通项公式 【答案解析】2 解析:由已知得: 2(a1q n?1 ? a1q n?1 ) ? 3a1q n , 两边约掉 a1q n ?1 并整理得: 2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 , 解得: q ? 2, q ? ?

1 , 2

? an?1 ? an ,
? q ? 1, ?q ? 2 ,
故答案为:2 【思路点拨】依据等比数列的通项公式化简已知条件,可得到一个关于公比 q 的一元二次方 程,解出 q,舍去不符合条件的答案,即可得到正确的答案。

(13)已知平面区域

,直线



两个不同的交点,直线 l 与曲线 C 围成的平面区域为 M,向区域Ω 内随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M) ,若 【知识点】几何概型;函数的单调性 【答案解析】 [ 0,1] 为? , 解析:如右图所示,设直线 l 与曲线 C 交于 P, Q 两点, ?POQ 的大小 ,则实数所的取值范围是 。

1 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2sin ? 2 1 扇形 OPQ 的面积 S扇形OPQ ? ? 2? ? 2 ? 2? 2
∴ ?OPQ 的面积 S ?OPQ ? ∴阴影部分面积 S ? S扇形OPQ ? S?OPQ ? 2(? ? sin ? ) ∴ P(M ) ?

S ? ? sin ? ? 2? ?

显然 ? ? [0, ? ] ,且 P( M ) 关于 ? ? [0, ? ] 递增,易得当 ? ?

?
2

时,

P(M ) ?
故答案为: [ 0,1]

? ?2 0 , 1 ] , 此时 m ? 1 ; 当 ? ? ? 时,P(M ) ? 1 , 此时 m ? 0 ; ∴ m ?[ 2?

【思路点拨】根据题意可判断这是一个几何概型,画出图示,确定区域 M 和区域Ω 的形状,
-7-

计算出各自的面积,即可得到 P ( M ) ? 围。

S ? ? sin ? ? ,根据 P( M ) 的范围即可得到 m 的范 2? ?

考生注意: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按 前两题给分.

【知识点】切割线定理 【答案解析】3 解析:? PA? PB ? PA 1 ? PB 1 , PA ? AB ? BC ? 3, A 1B 1 ?1

? PA ) ? 3 ? 2 3 ? 6 ,解得: PA 1 ?2 1 ? ( PA 1 ?1
? PB ? PC ? PB1 ? PC1 ,

?2 3 ? 3 3 ? 3 ? (3 ? B1C1 ) ,解得: B1C1 ? 3
故答案为:3 【思路点拨】在两个圆中分别利用切割线定理,分析各线段之间的关系,列出所求线段的方 程,解方程即可得到答案。

【知识点】简单曲线的极坐标方程;直线和圆的位置关系 【答案解析】 3 解析:直线的普通方程为: y ? ? 3x ,将曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别

转化为直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0, x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,解 ?

? ? y ? ? 3x 和 2 2 ? x ? y ? 4 y ? 0 ?

? 3 3 3 3 ? y ? ? 3x ,得点 A(? 3,3), B(? , ) ,所以 AB ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 , ? 2 2 2 2 2 2 ? ?x ? y ? 2 y ? 0
故答案为: 3 【思路点拨】将直线的参数方程的参数 t 消去即可求出直线的普通方程,利用极坐标转化成直 角坐标的转换公式求出两圆的直角坐标方程,分别与直线方程联立,解出 A,B 的坐标,代入 两点间距离公式即可。 (16)函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |, 若不等式 f(x)≥6 的解集为(—∞,-2] 实数 a 的值为 .
-8-

[4,+∞) ,则

【知识点】绝对值不等式 【答案解析】3 解析:? 不等式 f(x)≥6 的解集为(—∞,-2]

[4,+∞)

? x ? ?2, x ? 4 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |, =6 都成立,
将 x ? ?2 代入,得 a ? 3 或 a ? ?7 , 将 x ? 4 代入,得 a ? 3 或 a ? 5 ,? a ? 3 故答案为:3 【思路点拨】根据题意可判断: x ? ?2, x ? 4 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |, =6 成立,代入即可 计算出 a 的值。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 13 分) 已知向量 为 . (I)求ω 的值; . (II)设△ABC 的三边 a、b、c 满足:b2=ac,且边 b 所对的角为 x,若关于 x 的方程 f(x) =k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. 【知识点】向量的数量积;三角恒等变换;三角函数的图像和性质 【答案解析】 的最小正周期

解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 3 1 ? cos 2?x ? 1 sin 2?x ? cos2 ?x ? sin 2?x ? ? sin(2?x ? ) ? 2 2 2 6 2

?T ?

2? ? ? ?? ? 2; 2? 2

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? (Ⅱ) cos x ? 2ac 2ac 2ac 2
所以 4 x ?

?0 ? x ≤

?
3

?
6

? (?

? 7?
6 , 6

]
)?k ? 1 , 2 1 1 ? k ? ?1, 2 2

f ( x) ? k ? sin( 4 x ?

?
6

由函数 y ? sin x 的图象知,要有两个不同的实数解,需 ? 即?1? k ?

1 . 2

【思路点拨】 (Ⅰ)利用平面向量的数量积运算列出关系式,再利用二倍角的余弦函数公式及 两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据周期公式,由已知周期即可求出 ω 的值;
-9-

(Ⅱ)利用余弦定理表示出 cosx,将 b =ac 代入并利用基本不等式化简求出 cosx 的范围, 进而确定出 x 的范围,求出 4 x ?

2

?
6

的范围,根据 f(x)=k,得到 sin( 4 x ?

?

1 ) ? k ? ,利用 6 2

正弦函数图象即可确定出 k 的范围。 (18) (本小题满分 13 分) 某学校在一次运动会上,将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛,比赛实行三局 两胜制.已知每局比赛中,若甲先发球,其获胜的概率为

2 1 ,否则其获胜的概率为 ; 3 2

(I)若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球,试求甲在此局获胜的概率; (II)若第一局由乙先发球,以后每局由负方先发球.规定胜一局记 2 分,负一局记 0 分, 记 ? 为比赛结束时甲的得分,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? 。 【知识点】随机事件的概率;离散型随机变量的分布列、期望 【答案解析】 解: (Ⅰ)甲在第一局获胜包括两种情况:先发球获胜和后发球获胜, 第一种情况下的概率为: 第二种情况下的概率为: 故甲获胜的概率为 P ?

1 2 ? , 2 3 1 1 ? , 2 2

1 2 1 1 7 ? ? ? ? 2 3 2 2 12

(Ⅱ)由题知, ? 的取值为 0,2,4 ,

1 1 1 ? =0,即甲前两局都未得分,比赛结束,所以其概率为: ? ? 2 3 6

? =2 ,即甲在第一或 2 局获胜,其余两局输,比赛进行了三局,所以其概率为:
1 1 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 2 3 2 4
1 1 7 ? =4,即甲胜两局,其概率为:1- - = 6 4 12
分布列如下:

?

0

2
1 4

4
7 12

P

1 6

? E? ?

1 7 17 ? ? . 2 3 6

【思路点拨】 (Ⅰ)甲在第一局获胜包括两种情况:先发球获胜和后发球获胜,分别计算两种
- 10 -

情况下的概率,相加就是所求; (Ⅱ)由题知,? 的取值为 0,2,4 ,分别对应甲前两局都输、甲在第一或 2 局获胜,其余两 局输、甲胜两局三种不同的比赛结果,分析每局比赛的甲获胜或输的概率,相乘即 可得到对应的 ? 的概率,列出表格,再代入期望的计算公式即可解得期望。 (19) (本小题满分 13 分) 如题(19)图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=3, AC=BC=2,D 为 AB 中点,E 为 BB1 上一点,且 (I)当 ? ?

BE ??. EB1

(II)若直线 CE 与平面 A1DE 所成的角为 30°,求 ? 的值.

2 时,求证:CE⊥平面 A1C1D; 7

【知识点】直线和平面垂直;直线和平面所成角 【答案解析】 解: (Ⅰ)建立空间直角坐标系如图所示,则

C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), A1 (2,0,3), B1 (0,2,3), C1 (0,0,3), D(1,1,0) , 2 2 2 ? ? ? ? E (0,2, ) ? CE ? (0,2, ) 7 3 3
又 C1 A1 ? (2,0,0), C1 D ? (1,1,?3)

z

?CE ? C1 A1 ? 0, CE ? C1 D ? 0
? CE ? 平面 AC 1 1D ;
(Ⅱ)由题知 E (0,2,

C1 A1

B1

3? 3? ) , CE ? (0,2, ) , A1 D ? (?1,1,?3) , 1? ? 1? ?

DE ? ( ?1,1,

3? 3? ,3 ? ,0) ?平面 A1 DE 的一个法向量为 n ? (3 ? 1? ? 1? ?
?| n ? CE 1 |? | n | | CE | 2
- 11 -

3? ), 1? ?

E
C

B D

y

A
x

2(3 ?


3? ) 1? ?

4?(

3? 2 3? ) ? 2 (3 ? ) 1? ? 1? ?

?

1 2

解得 ? ? 2 . 【思路点拨】 (Ⅰ)由直三棱柱的特征可建立适当的坐标系,用坐标表示需要的点,求出向量

CE , C1 A1, C1D 的坐标,证明 CE ? C1 A1 ? 0, CE ? C1D ? 0 ,从而 CE ? C1 A1 , CE ? C1D ,由
线面垂直的判定定理即可证明 CE ? 平面 AC 1 1D ; (Ⅱ)直线 CE 与平面 A1DE 所成的角的正弦就是 CE 和平面 A1 DE 的一个法向量所成角的余弦 的绝对值,所以可求出平面 A1 DE 的一个法向量,利用直线 CE 与平面 A1DE 所成的角为 30° 列出关于 ? 的方程,解方程即可。 (20) (本小题满分 12 分) ’

【知识点】函数的单调性与导数;函数的极值与导数 【答案解析】 解: (Ⅰ) g ( x) ? xe ? x ? g ?( x) ? ( x ? 1)e ? 1 ,
x x

显然当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ?(0) ? 0 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,

? g ( x) 在 (?? ,0) 上单减,在 (0,?? ) 上单调递增;
(Ⅱ) f ?( x) ? ( x 2 ? (2 ? a) x)e x ? 2x ? x[(x ? 2 ? a)e x ? 2] ,令

h( x) ? ( x ? 2 ? a)e x ? 2 ,
则 h?( x) ? ( x ? 3 ? a)e ,? h( x) 在 (??, a ? 3) 上单减,在 (a ? 3,??) 上单增,
x

而 h(a ? 3) ? ?e

a ?3

? 2 ? 0 , 所 以 h( x ) 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 , 不 妨 记 为

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,
若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,则 h( x) 在包含 0 的某个区间内恒正,即 0 ? x1 或

x2 ? 0 , 所以 h(0) ? 0 ,即 (2 ? a ) ? 2 ? 0 ? a ? 0 .
x 【思路点拨】 (Ⅰ)把 a ? 0 代入函数解析式,得 g ( x) ? xe ? x ,求出 g ( x) 的导数,解出

- 12 -

g ?( x) ? 0 和 g ?( x) ? 0 的解集就可得单独区间。
( Ⅱ ) f ( x ) 在 x ? 0 出 取 得 极 小 值 , 则 f ' ( x) 在 x ? 0 左 侧 为 负 , 右 侧 为 正 , 求 出

f ?( x) ? ( x 2 ? (2 ? a) x)e x ? 2x ? x[(x ? 2 ? a)e x ? 2] ,令 h( x) ? ( x ? 2 ? a)e x ? 2 ,
讨论 h( x) 的情况,若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,则 h( x) 在包含 0 的某个区间内恒正, 所以 h(0) ? 0 ,即可得出 a 的范围。 (21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 x2 y 2 C : ? y 2 ? 1 的离心率相同,且点 和椭圆 ? ? 1( a ? b ? 0) 2 2 a 2 b2

( 2 ,1)在椭圆 C1 上. (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设 P 为椭圆 C2 上一点,过点 P 作直线交椭圆 C1 于 A、C 两点,且 P 恰为弦 AC 的中 点. 求证:无论点 P 怎样变化,△AOC 的面积为常数,并求出此常数. 【知识点】椭圆的性质和标准方程;直线与椭圆的位置关系 【答案解析】 解: (Ⅰ)由题知,

c 2 2 1 即 a 2 ? 4, b 2 ? 2 , ? 2 ? 1且 ? 2 a 2 a b 2 2 x y ? ? 1; ?椭圆 C1 的方程为 4 2

(Ⅱ)当直线 AC 的斜率不存在时,必有 P(? 2 ,0) ,此时 | AC |? 2 , S?AOC ? 2 当直线 AC 的斜率存在时,设其斜率为 k 、点 P( x0 , y0 ) ,则 AC:y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 与 椭 圆 C1 联 立 , 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2( y0 ? kx0 )2 ? 4 ? 0 , 设

A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,
则 x0 ?
2

x1 ? x2 2k ( y0 ? kx 0 ) ?? 2 1 ? 2k 2
2

即 x0 ? ?2ky0

又 x0 ? 2 y0 ? 2

? y0 ?

2

1 1 ? 2k 2

16k 2 ( y0 ? kx0 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )[2( y0 ? kx0 )2 ? 4] 1 | y ? kx0 | S?AOC ? ? 0 ? 1? k 2 ? 2 1 ? 2k 2 1? k 2

- 13 -

? 2

| y0 ? kx0 | 2(1 ? 2k 2 ) ? ( y0 ? kx0 ) 2 1 ? 2k 2

? 2

(1 ? 2k 2 ) | y0 | 2(1 ? 2k 2 ) ? (1 ? 2k 2 ) 2 y0 1 ? 2k 2

2

? 2 | y0 | 1 ? 2k 2 ? 2
综上,无论 P 怎样变化, ?AOC 的面积为常数 2 . 【思路点拨】 (Ⅰ)由已知可得

c 2 ? ,且点( 2 ,1)在椭圆 C1 上,代入椭圆方程中可得 a 2

2 1 2 2 2 ? 2 ? 1,又 a ? b ? c ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 2 ,就可得到椭圆方程; 2 a b
(Ⅱ)因为直线 AC 的情况不定,需要分类讨论,首先考虑斜率不存在时,必有 P(? 2 ,0) , 此时 S?AOC ? 2 ,在讨论斜率存在时,可设其斜率为 k 、点 P( x0 , y0 ) ,由点斜式求出

AC:y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 与 椭 圆 C1 联 立 , 消 去 y , 由 韦 达 定 理 得 出 x0 ? ?2ky0 ,

y0 ?

2

1 ,代入求 S ?AOC ,化简即可得出 S?AOC ? 2 也成立,所以无论 P 怎样变化, 1 ? 2k 2

?AOC 的面积为常数 2 .
(22) (本小题满分 12 分) 如题(22)图所示的两个同心圆盘均被刀等分(n∈N*,n ? 2) ,在相重叠的扇形格中依 次同时填上 1,2,3,?,n,内圆盘可绕圆心旋转,每次可旋转一个扇形格,格中两数之积 的和为此位置的“旋转和” 。 (I)求,2 个不同位置的“旋转和”的和; 当内圆盘旋转到某一位置时,定义所有重叠扇形 (II)当,z 为偶数时,求聍个不同位置的“旋转和”的最小值; (III)设刀=4m(m∈N*) , .在如图所示的初始位置将任意而 对重叠的扇形格中的两数均改写为 0,证明:当 m≤4 时, 通过旋转,总存在一个位置,任意重叠的扇形格中两数不同时为 0。

【知识点】等差数列前 n 项和;推理与证明;反证法 【答案解析】
- 14 -

解: (Ⅰ)由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积,故 n 个不同位置的“旋转和”的和 为

1? (1 ? 2 ?

? n) ? 2 ? (1 ? 2 ?

? n) ?

? n ? (1 ? 2 ?

? n)

? (1 ? 2 ?

? n) ? (1 ? 2 ?

? n) ?

n2 (n ? 1)2 ; 4

(Ⅱ)设内盘中的 1和外盘中的 k 同扇形格时的“旋转和”为 ak 则 ak ?1 ? 1? (k ? 1) ? 2 ? (k ? 2) ?

? (n ? k ) ? n ? (n ? k ? 1) ?1 ?

? n? k ?n

ak ? 1? k ? 2 ? (k ? 1) ? ak ?1 ? ak ? 1 ? 2 ?
? (1 ? 2 ? 3 ?
所以当 k ? 最小, 最小值 an
2

? (n ? k ) ? (n ? 1) ? (n ? k ? 1) ? n ?
n ?1 ) 2

? n ? (k ? 1)

? (n ? k ) ? (1 ? n)(n ? k ? 1) ? (n ? k ? 2) ?

? n) ? n(n ? k ? 1) ? n(k ?

n ?1 n ?1 n 时,ak ?1 ? ak , 当k ? 时,ak ?1 ? ak , 所以 k ? ? 1 时,a n ?1 2 2 2 2

?1

n n ? 1 ? ( ? 1) ? 2 ? ( ? 2) ? 2 2

?

n n ? n ? ( ? 1) ? 1 ? 2 2

? n?

n 2

? n(1 ? 2 ? 3 ?

n ? ) ? 2(12 ? 22 ? 2

?

n2 n(n ? 2)(5n ? 2) )? ; 4 24

(Ⅲ)证明:将图中所有非 0 数改写为 1 ,现假设任意位置,总存在一个重叠的扇形格中 两数同时为 0 ,则此位置的“旋转和”必大于或等于 2m ? 1 ,初始位置外的 4m ? 1 个 位 置 的 “ 旋 转 和 ” 的 和 为

(3m)2 ? 3m ,则有 (3m)2 ? 3m ≥ (2m ? 1)(4m ?1) ,即 m2 ? 5m ? 1≥ 0 ? m ≥

5 ? 21 , 2

这与 m ≤ 4 矛盾,故命题得证. 【思路点拨】 (Ⅰ)由题意:内盘中的任一数都会和外盘中的每个数作积,则 n 个不同位置的 “旋转和”的和为 1? (1 ? 2 ?

? n) ? 2 ? (1 ? 2 ?

? n) ?

? n ? (1 ? 2 ?

? n) ,利

用等差数列前 n 项和公式化简即可; (Ⅱ)设内盘中的 1和外盘中的 k 同扇形格时的“旋转和”为 ak ,求出 ak ?1 和 ak ,通过做 差法探讨 ak 的单调性,进而求出不同位置的“旋转和”的最小值; (Ⅲ)要证明当 m≤4 时,通过旋转,总存在一个位置,任意重叠的扇形格中两数不同时为 0 这一命题,直接证明比较困难,故采取反证法,先假设原命题不成立,即总存在一个重
- 15 -

叠的扇形格中两数同时为 0 ,在这个假设下,通过推导可得出

m2 ? 5m ? 1≥ 0 ? m ≥

5 ? 21 这与 m ≤ 4 矛盾,故命题得证。 2 ,

- 16 -


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